概率论与数学统计第六章假设检验

1、第六章第六章 假设检验假设检验6.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念6.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念优质核桃！每100个最多2个次品。摊主声称次品率小于等于摊主声称次品率小于等于0.02. 此时我们是否相信这种声明呢？此时我们是否相信这种声明呢？ 任取一个检验发现为次品任取一个检验发现为次品. 我们暂且相信摊主的声称，我们暂且相信摊主的声称，即提出假设：即提出假设：0:0.02Hp 若若 正确，则取到次品为小概率事件正确，则取到次品为小概率事件.0H在一次试验中，在一次试验

2、中，小概率事件是小概率事件是几乎不可能发几乎不可能发生的生的小概率原理小概率原理6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念犯了犯了“弃真弃真”错误错误 第一类错误第一类错误犯了犯了“纳伪纳伪”错误错误 第二类错误第二类错误00(|)PHH拒绝为真00(|)PHH接受为假当样本容量当样本容量n固定时，犯两类错误的概率不能同时减小固定时，犯两类错误的概率不能同时减小. 在实际应用中，通常控制犯第一类错误的概率，即给定在实际应用中，通常控制犯第一类错误的概率，即给定 ，然后通过增大样本容量减小然后通过增大样本容量减小 6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念（1）根据问题的需要提出假设）根据问

3、题的需要提出假设 0H，并暂且认为假设，并暂且认为假设 是正确的是正确的.0H（2）依据小概率原理进行推断）依据小概率原理进行推断. 当然这样作推断是要犯错误的当然这样作推断是要犯错误的. 小概率事件发生了，拒绝小概率事件发生了，拒绝0H小概率事件没发生，接受小概率事件没发生，接受0H （3）当犯第一类错误的概率为）当犯第一类错误的概率为0.05时，我们认为否定原假设时，时，我们认为否定原假设时，是冒着是冒着5%的风险下结论的的风险下结论的 ，也就是说有，也就是说有5%的风险把原来正确的结的风险把原来正确的结论否定掉论否定掉.0H6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念例例 用某种动物作试

4、验材料，要求动物的平均体重用某种动物作试验材料，要求动物的平均体重 ,若若需要再饲养；若需要再饲养；若 则应淘汰则应淘汰.又知动物体重服从正态分布，且又知动物体重服从正态分布，且由以往经验知由以往经验知 ,现从一批待试验的动物中，随机抽取现从一批待试验的动物中，随机抽取8只，只，称得体重称得体重(g)为：为：99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 100g100g100g1.5g问（问（1）这批动物能否供试验用）这批动物能否供试验用?（2）这批动物是否需要再饲养）这批动物是否需要再饲养? （3）这批动物是否应淘汰）这批动物是否应淘汰?针对（针对（

5、1）提出）提出00:H10:H0(100 )g针对（针对（2）提出）提出针对（针对（3）提出）提出00:H10:H00:H10:H6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念针对问题（针对问题（1），问这批动物能否供试验用），问这批动物能否供试验用?00:100,H解：解：提出假设提出假设1:100H在原假设为真时选统计量在原假设为真时选统计量0(0,1)XUNn确定拒绝域确定拒绝域2| 1.96WUuU推断推断100.25100100.25,|0.5271.961.510 xU所以接受原假设，认为这批小动物可以供试验用所以接受原假设，认为这批小动物可以供试验用 (0.05)2u2u225、

6、假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤 常用的统计量的分布为：常用的统计量的分布为： (0,1),N,t分布2,分布F分布3）确定拒绝域：）确定拒绝域： 根据小概率原理确定拒绝原假设的区域根据小概率原理确定拒绝原假设的区域. 00(|)PHH拒绝为真即确定满足即确定满足 拒绝域拒绝域W. 若检验统计量的值落入拒绝域，则拒绝原假设若检验统计量的值落入拒绝域，则拒绝原假设 4）作出统计推断：计算检验统计量的观测值）作出统计推断：计算检验统计量的观测值. 若检验统计量的值未落入拒绝域，则接受原假设若检验统计量的值未落入拒绝域，则接受原假设 小结小结1. 假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤2 . 在总

7、体方差已知时，对均值在总体方差已知时，对均值进行检验，选择的统计量为进行检验，选择的统计量为0(0,1)XUNn在对问题（在对问题（1）检验时，确定的拒绝域为）检验时，确定的拒绝域为2| 1.96WUuU222u2u6.2 单个正态总体参数的假设检验单个正态总体参数的假设检验 6.2.1单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验6.2.2单个正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验1. 方差方差 已知已知U检验检验22. 方差方差 未知未知t检验检验26.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念例例 用某种动物作试验材料，要求动物的平均体重用某种动物作试验材料，要求动物的平均

8、体重 ,若若需要再饲养；若需要再饲养；若 则应淘汰则应淘汰.又知动物体重服从正态分布，且又知动物体重服从正态分布，且由以往经验知由以往经验知 ,现从一批待试验的动物中，随机抽取现从一批待试验的动物中，随机抽取8只，只，称得体重称得体重(g)为：为：99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 100g100g100g1.5g问（问（1）这批动物能否供试验用）这批动物能否供试验用?（2）这批动物是否需要再饲养）这批动物是否需要再饲养? （3）这批动物是否应淘汰）这批动物是否应淘汰?针对（针对（1）提出）提出00:H10:H0(100 )g针对（针对（2）

9、提出）提出针对（针对（3）提出）提出00:H10:H00:H10:H6.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念针对问题（针对问题（1），问这批动物能否供试验用），问这批动物能否供试验用?00:100,H解：解：提出假设提出假设1:100H在原假设为真时选统计量在原假设为真时选统计量0(0,1)XUNn确定拒绝域确定拒绝域2| 1.96WUuU推断推断100.25100100.25,|0.47141.961.58xU所以接受原假设，认为这批小动物可以供试验用所以接受原假设，认为这批小动物可以供试验用 (0.05)2u2u226.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验1.

10、方差方差 已知已知U检验检验20010:,:HH0010:,:HH0010:,:HH 注意：我们总把含注意：我们总把含有有“等号等号”的情形的情形放在原假设放在原假设 在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H因为因为 2,XNn(0,1)XNn所以所以0(0,1)XUNn设总体设总体 服从正态分布服从正态分布2( ,)XN 6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 2|WUuWUuWUu 0010:,:HH0010:,:HH0010:,:HH2u2u226.2.1 单个正态

11、总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验0.05例例 设某地区小麦平均亩产量为设某地区小麦平均亩产量为390公斤，标准差为公斤，标准差为30公斤现在公斤现在推广使用一种复合肥料，从推广使用一种复合肥料，从25个试验地各取一亩，得平均亩产量个试验地各取一亩，得平均亩产量为为450公斤假设小麦亩产量服从正态分布，标准差仍是公斤假设小麦亩产量服从正态分布，标准差仍是30公公斤试以斤试以 的显著水平检验这种复合肥料是否使小麦增产的显著水平检验这种复合肥料是否使小麦增产. 解解 设小麦亩产量设小麦亩产量 2( ,30 )XN（1）提出假设）提出假设 01:390,:390HH390(0,1)3025

12、XXUNn0.05WUu（3）确定拒绝域）确定拒绝域1.645U（4）推断）推断 450390103025UW 认为这种复合肥料能显著使小麦增产认为这种复合肥料能显著使小麦增产（2）在原假设）在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验2. 方差方差 未知未知t检验检验2原假设和备择假设：原假设和备择假设：0010:,:HH0010:,:HH0010:,:HH 注意：我们总把含注意：我们总把含有有“等号等号”的情形的情形放在原假设放在原假设 2XUn由于未知，不再是统计量统计量22S用代替 (1)XTt nSn

13、在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验2. 方差方差 未知未知t检验检验2 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 2|(1)WTtn(1)WTtn(1)WTtn 0010:,:HH0010:,:HH0010:,:HH2t2t22tt6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验0.05例例6.2 正常人的脉搏平均每分钟正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得次，某医生测得10例四乙基铅例四乙基铅中毒患者的脉搏数（次中毒患者的脉搏数（次/分）如下：分）

14、如下：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布试问四乙基铅已知人的脉搏次数服从正态分布试问四乙基铅中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异? 解解 设中毒者的脉搏次数设中毒者的脉搏次数 2( ,)XN （1）提出假设：）提出假设： 01:72,:72HH0.052|(9)WTt（3）确定拒绝域）确定拒绝域| 2.2622T（4）推断）推断 认为四乙基铅中毒患者脉搏与正常人有显著差异认为四乙基铅中毒患者脉搏与正常人有显著差异 2未 知 (1)XTt nSn67.4,5.929,xs67.472|2.4535.92910T

15、W（2）在原假设）在原假设 为真的前提下，选择统计量为真的前提下，选择统计量0H6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验0.05练习练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小小时，有一实验室检验了该公司制造的时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数套电池，得到如下的寿命数据（单位：小时）：据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25设电池寿命服从正态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该设电池寿命服从正态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该公司所声称的寿命？公司所声称的寿命？ 0

16、.05练习练习1 环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过过0.5，假定有害物质含量，假定有害物质含量X服从正态分布服从正态分布 .现现在取在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530，0.542，0.510，0.495，0.515，0.530能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 2( ,0.017 )XN6.2.2 单个正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验原假设和备择假设：原假设和备择假设：22220010:,:H

17、H22220010:,:HH22220010:,:HH 注意：我们总把含注意：我们总把含有有“等号等号”的情形的情形放在原假设放在原假设 22220(1)(1)nSn在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H设总体设总体 服从正态分布服从正态分布2( ,)XN 6.2.2 单个正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验22220010:,:HH22220010:,:HH22220010:,:HH对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 2222221(1)(1)Wnn22(1)Wn221(1)Wn21222yx22yx221yx6.

18、2.2 单个正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验0.05例例6.3 一个混杂的小麦品种，株高标准差为一个混杂的小麦品种，株高标准差为14(cm)，经提纯后随，经提纯后随机抽取机抽取10株，株高为：株，株高为：90，105，101，95，100，100，101，105，93，97（单位（单位:cm）.设小麦株高服从正态分布，试问提纯后设小麦株高服从正态分布，试问提纯后的群体是否比原来群体整齐的群体是否比原来群体整齐? 解解 设小麦株高设小麦株高 2( ,)XN （1）提出假设）提出假设 222201:14 ,:14HH（3）确定拒绝域）确定拒绝域（4）由样本计算得）由样本计算得 认为

19、提纯后的株高高度更整齐认为提纯后的株高高度更整齐. 22220(1)(1)nSn221 0.05(9)W23.32522220(1)218.11.11314nSW（2）在原假设）在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H6.2.2 单个正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验0.05练习练习1 电工器材厂生产一批保险丝电工器材厂生产一批保险丝,抽取抽取10根试验根试验,其熔化时间为其熔化时间为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55假设熔化时间服从正态分布假设熔化时间服从正态分布,试问可否认为整批保险丝的熔化时间试问可否认为整批保险丝的熔化时间的

20、方差为的方差为80? 0.05练习练习2 某台机器加工某种零件，规定零件长度为某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差，标准差不得超过不得超过2cm.每天定时检查机器的运行情况，某日抽取每天定时检查机器的运行情况，某日抽取10个零件，个零件，测得平均长度测得平均长度 101cm，样本标准差为，样本标准差为2cm.设加工的零件长度服从设加工的零件长度服从正态分布，问改日机器工作状态是否正常正态分布，问改日机器工作状态是否正常 ？6.3 6.3 双正态总体参数的假设检验双正态总体参数的假设检验 6.3.1双正态总体均值的差异性检验双正态总体均值的差异性检验6.3.2两个正态总体方差的

21、齐性检验两个正态总体方差的齐性检验22121.方差，已知22122.方差未知6.3.1双正态总体均值的差异性22121.方差，已知012112:,:HH012112:,:HH012112:,:HH 在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H12222212121212()()(0,1)XYXYUNnnnn设总体设总体211(,)XN 样本样本211,.,nXXX S 总体总体222(,)YN 样本样本212,.,nYYY S22121.方差，已知 对于显著性水平对于显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 2|WUuWUuWUu 012112:,:HH012112:,

22、:HH012112:,:HH22226.3.1双正态总体均值的差异性6.3.1双正态总体均值的差异性例例 根据历史资料知道，某种苗木的苗高服从正态分布，且标准差为根据历史资料知道，某种苗木的苗高服从正态分布，且标准差为1.4(cm)，今在砂土与壤土两种土壤上进行育苗试验，秋后随机调查，测得苗高资料如下今在砂土与壤土两种土壤上进行育苗试验，秋后随机调查，测得苗高资料如下(cm).试在的水平试在的水平 下，检验壤土的苗高是否显著高于沙土的苗高？下，检验壤土的苗高是否显著高于沙土的苗高？ 砂土苗高：砂土苗高：32 34 76 72 75 64 66 40 38 42 壤土苗高：壤土苗高：50 51

23、55 87 91 93 55 57 62 74 76 720.05（1）提出假设）提出假设 012112:,:HH壤土苗高壤土苗高22(,1.4 )YN（2）在）在 为真时，确定统计量为真时，确定统计量0H221212( 0 ,1)XYUNnn（3）确定拒绝域）确定拒绝域0.05WUu 1.645U （4）计算）计算 解解 设设砂土苗高砂土苗高 21(,1.4 )XN24.5U 53.9,x 110,n 58.68y212,n 1.645 拒绝0H，认为壤土的苗高显著地高于砂土的苗高 222122.方差=未知012112:,:HH012112:,:HH012112:,:HH注意：我们总把含注意

24、：我们总把含有有“等号等号”的情形的情形放在原假设放在原假设 在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H121222112212 (2)11(1)(1)2XYTt nnSnnnSnSSnn22212由于=未知，221212XYUnn不再是统计量不再是统计量 6.3.1双正态总体均值的差异性222122.方差=未知012112:,:HH012112:,:HH012112:,:HH 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 212|(2)WTtnn12(2)WTtnn12(2)WTtnn 2t2t22tt6.3.1双正态总体均值的差异性6.3

25、.1双正态总体均值的差异性例例 设成年男性的身高（设成年男性的身高（cm）服从正态分布）服从正态分布. 10年前随机测量年前随机测量100个个成年男性的体重，得其平均值为成年男性的体重，得其平均值为171，标准差为，标准差为15. 现在又随机测现在又随机测量量100个成年男性的身高，得平均值为个成年男性的身高，得平均值为179，标准差为，标准差为17. 假设假设10年年前后身高的方差没有显著变化，是否有理由认为随着生活水平的提前后身高的方差没有显著变化，是否有理由认为随着生活水平的提高，成年男性的身高有显著变化？高，成年男性的身高有显著变化？0.05012112:,:HH10年后身高年后身高2

26、2(,)YN 在在 为真时，确定统计量为真时，确定统计量0H确定拒绝域确定拒绝域0.025(198)WTt1.96T推断推断 解解 设设10年前身高年前身高 21(,)XN 3.088T 1171,15xS1100,n 2178,17yS2100,n 1.96 拒绝0H，认为变化显著 121222112212 (2)11(1)(1)2XYTt nnSnnnSnSSnn0.0250.025(198)1.96t,16.031S6.3.2两个正态总体方差的齐性检验 对方差的检验，原假设和备择假设的形式有：对方差的检验，原假设和备择假设的形式有：2222012112:,:HH2222012112:,:

27、HH2222012112:,:HH注意：我们总把含注意：我们总把含有有“等号等号”的情形的情形放在原假设放在原假设 在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H22212112222122(1,1)SSSFF nnS设总体设总体211(,)XN 样本样本211,.,nXXX S 总体总体222(,)YN 样本样本212,.,nYYY S2222012112:,:HH2222012112:,:HH2222012112:,:HH对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 2212121(1,1)(1,1)WFFnnFFnn12(1,1)WFFnn

28、112(1,1)WFFnn12F2Fyx22yxFyx1F6.3.2两个正态总体方差的齐性检验例例 测定测定16位青年男子和位青年男子和25位老年男子的血压值（收缩压位老年男子的血压值（收缩压mmHg）经计算得）经计算得 ，假设人类的血压值，假设人类的血压值是服从正态分布的，问老年人血压个体间波动是否显著高于青年人是服从正态分布的，问老年人血压个体间波动是否显著高于青年人? 2212193.4937.7SS，解解 设青年和老年男子的血压值设青年和老年男子的血压值 221122(,),(,)XNYN （1）提出假设：）提出假设： （3）确定拒绝域）确定拒绝域（4）计算得）计算得 （5）认为老年人

29、的血压值在个体间的波动显著地高于青年人）认为老年人的血压值在个体间的波动显著地高于青年人. （2）确定统计量）确定统计量2222012112:,:HH211222(1,1)SFF nnS1 0.05(15,24)WFF0.051(24,15)FF12.29F0.437F193.40.206937.7FW 6.3.2两个正态总体方差的齐性检验练习练习 某大学进行某大学进行“概率统计概率统计”期末考试，男生成绩与女生成绩均期末考试，男生成绩与女生成绩均服从正态分布，任取服从正态分布，任取20名女生和名女生和25名男生，计算考试分数如下：名男生，计算考试分数如下： 112220,78.6,7.3;2

30、5,74.3,8.2nxsnys能认为女生的平均成绩显著高于男生吗？能认为女生的平均成绩显著高于男生吗？ 分析：分析：女生和男生成绩女生和男生成绩221122(,),(,)XNYN 221212,均未知（1）首先进行齐性检验）首先进行齐性检验.提出假设提出假设 2222012112:,:HH若原假设成立，即若原假设成立，即22212方差=未知（2）检验女生的平均成绩是否显著高于男生）检验女生的平均成绩是否显著高于男生. 提出假设提出假设 012112:,:HH6.3.2两个正态总体方差的齐性检验6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验1. 方差方差 已知已知U检验检验20010:,:HH0010:,:HH0010:,:HH 注意：我们总把含注意：我们总把含有有“等号等号”的情形的情形放在原假设放在原假设 在原假设在原假设 为真的前提下，确定统计量为真的前提下，确定统计量0H因为因为 2,XNn(0,1)XNn所以所以0(0,1)XUNn设总体设总体 服从正态分布服从正态分布2( ,)XN 6.2.1 单个正态总体均值的假设检验单个正态总体均值的假设检验对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域W 2|WUuWUuWUu 0010:,:HH0010: