数列的综合应用范文

1、第五讲、数列的综合应用（主讲：叶导）数列的综合应用题一般包括数列的求和，数列不等式的证明（通常用放缩法或数学归纳法）,数列规律的探索、归纳分析，一般结合方程、函数和不等式，是考试的难点之一.一、知识要点1数列和函数的综合问题：（1已知函数，解决数列问题，这类问题 一般利用函数的图像和性质（奇偶性、对称性、周期性等）来研究数列的问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，这类问题一般要利用 数列的范围、通项公式、求和方法、对式子进行适当的变形方法：1）深刻理解等差、等比数列的性质，熟悉它们的推导过程不但熟知数列的概念和基本方法，而且熟悉中常见的思想方法；“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“

2、等价转换” 2、规律探索问题：形式比较多,有直线型（比如：1,1,2,1,1,2,3,2,1,）,135714矩阵型（768100）、金字塔型（1335717)911911131510121416192123252729 31方法：1）直线型一般要分组，通过每一组的首项或末项寻找规律 比如以上例子可分组：（1）1；（11 ）1,2,1（111 ）1,2,3,2,1发现每一组的末项都是1,即a.| = a4 = a91,得出ak2 1,这样就可以推算出an.（2）矩阵型一般研究每一行或每一列的首项，可以推导出第m行第n列的通项公式（比如以上例子a（m,n）=3m+2n-4）.（3）金字塔型一般研

3、究每一行的首项或末项，可以推导出第m行第n个数 的通项公式（比如以上例子 a（m,n）=2 n24n +2m+1,其中1兰n兰2m1）.3、实际应用问题：充分利用观察、归纳分析、猜想的方法建立等差数列、等比数列、递推数列等模型（得出通项公式或递推公式）,然后结合函数与方程、不等式的方法解决问题4、数列不等式的证明：（1）构造函数法：一般根据通项公式的特点构造函数用导数证明1 11常见的不等式：（l）x In（x 1）（x O）；（ll）ln（1 ） （x 0）.x +1xx数学归纳法：首先验证 n =1时成立，接着假设n = k时成立，再根据 已知条件和已验证的条件推导出n =k 1也成立.必

4、须要注意：n从k变为k 1所增加的项数不一定只有一项 ，有时有很多项.(3)放缩法：利用不等式的传递性设置一个中间量，将不等式的一边进行适当地放大或缩小.常用技巧：(|)适当地增加或舍弃某些项(II )在分式中适当地放大或缩小分子或分母(一般与裂项相消法有关)比如:1n(n -1)111 1 1 1茴廿” (n1)5一1厂2(匸1)(n 一2),1 4411、2 2 2( )n111n所以一 + _+ _+ + - 3 42n2注意问题：(I )放缩的方向要一致；(II )放缩的大小要适当;(III )有时候保留数列的第一项或前几项，后面的项放缩;(IV)放缩法的证明比较简单，但是技巧性极强，

5、稍有不慎，就会出现放缩不当的情况，所以对于放缩法，一定要把握住数列不等式的特点4n2(2n 1)(2n -1) 2n -1 2n 1注意：上面有三种方 法,放缩的程度不同因不同的题目而用(III )利用基本不等式进行放缩(一般用均值不等式).(IV )利用函数的单调性进行放缩(通常通过导数研究单调性).(V)构造等比数列进行放缩(一般分子分母有指数形式).比如:2n1 2n - 14n24n - 2n2n - 12n(2n 1)1=土(放缩后等比数列求和)(VI)利用错位相减法进行放缩(一般分子含一次函数，分母含指数函数).比如：却_：2n_l(放缩后错位相减法求和).2n2n +12n(VI

6、I )根据已知裂项条件进行放缩(不等式一边出现裂项的形式).比如:=2( Jn +1 _ 乔)(不等式右边出现 Jn +1).n 2 . n , n 1 -叮 n丄丄2 1 4丄824816(VIII )分组成几个部分放缩(一般用于末项不是通项公式的题型).比如：1 111n求证.2 342n2证明：1111 11 1 1 1因为()()()()23 458916212n1二二、例题分析例1瓶子里有3个活细胞,每分裂一次数目增倍但是都要死一个, 要使活细胞总数超过40000个,分裂的次数至少是()A 14B、5C、16D、17解：构造数列an满足,q =5,an=2an -1(n为分裂次数).

7、an 1- 2an -1 = (an 1 =2(an _1).可知数列an -1是公比为2的等比数列，首项 -1 =4, 所以an -1 =4 公二=2n1,得an =2n1 1.由已知得2n 11 - 40000(n N*),解得n _15,故选B.例2、某方形矩阵的第一行是正奇数，每一列都是公比为2的等比数列,135726101414如左图所示.则(1)第m行第n列的通式a(mn)=()412208244056斜对角线上1,6,20,56，n个数的和Sn =(). 解:(1由题意知，第m行第1个数的通式qm,1)=2m,因为第m行的数是公差为2m的等差数列，所以第m行第n列的通式qm,n)

8、=2m +(n 1)= (2n 1) 0由(1知,斜对角线上的数可以表示为a(n)=(2n-1)22 所以 & =1 3 2 5 22 (2n -1) 2心2Sn = 2 3 225 23 (2n -1) 2n.两式相减得-Sn = 1 2(2 - 22 2心)-(2n-1) -2n, 即-Sn -12(2n -2) -(2n -1) 2n,得q =(2n-3) 2n 3.1 1 1 一例3、求证：(1+1)(1 -)(1 一)(1).2 n 1.3 5 2n -12n 1证明：因为 4n24n21,即4n2 (2n 1)(2n-1),所以上厶 也J,得直 2厂即1 .丄 加1(2n-1)22

9、n-1 2n-1 Y 2n -1 2n-1 2n-132n 2n 1.2n 1573511 1所以(1+1)(1 )(1 )(1)352n-1注意：不等式右边出现的21 一般通过根式的累加或累乘相消得到;因为左边式子是乘积的形式，所以采用根式的累乘相消法即可 可知、2n 1二、3、5 72n ；,这样没有剩余项，于是只要证明冷鳥鳥即可,所以累乘相消的思考方向正确:2( n1)( n2)1 1 1 常见变式：(1)求证(1+1)(1)(1)(1)_ .2n 2.352n -1求证(1+1)(1)(1)(11 )35 2n1经验告诉我们：不等式里面含有等号的1 1 1证明：(1)(1+1)(1+)

10、(1 +)(1 +) 53，一般保留第一项不放缩2n 11=22n 1 4(2 n 1)只要证明 2.- . 2n 22n 2=8n 4 _ 6n 633=2n _2u n _1因为n _ 1显然成立，所以原不等式成立.证明:(|)当n =1时,2 2显然成立.(II )当 n _2时,4n3 -(2n -1)2(n 2) = 4n3 -(4n2 -4n 1)(n 2)2-4n7n -2 - -4 n(n - 2) (n 2) ： 0,2所以 4n3 : (2 n -1)2 (n 2),得 4n 2 : n+2 (2n1) n1 1 1所以(1+1)(1 )(1 )(1) _2352n 12n

11、2n -1n+2=211.n 1、n 2 =3,得425364n -22(n1)(n2),所以原不等式得证.例 4、数列 1,2,2,1,3,3,3,2,1,4,4,4,2,1,122123331234444(1)求数列的第2013项;(2)求前2013项所有真分数之和2 2 13 3 3 2 1解：(1)将数列可分 k组：(l )1;(ll )-,-,1 ；III )3,-,-,-,1.发现每一组1 2 21 2 3 3 3的末项都是组数的倒数，即a1 =1,01=1,39=1,得出2312025 -20131当 k = 45时,a2025 *,推知 a2013 :4545由(1)知,第1组

12、没有真分数，第2组的真分数为2_ 1345第3组的真分数之和 -1 =1,第4组的真分数之和333 213T r =4 442144 二 22.2可以推知第45组的真分数之和4443454545可知这45组的真分数之和是公差为1的等差数列2所以前2013项所有真分数之和二前2025项所有真分数之和(022) 45,1211 .1454545真分数之和-后面12项1528)=495491.451515352n 1例5已知函数f (x) =x2 -1曲线y二f(x)在点(an, f (an)处的切线 与x轴的交点为(an1,0),其中a0,n N*.用an表示an1;(2)当印.1时,求证：an

13、.1 : an;若ai =3,求数列an的通项公式.解：(1)f(x)二 x2 - 1,f(x) =2x,所以过点(an, f(an)处的切线方程为y - f(an)二f(an)(x - an),即 y (an - 1 = 2an(X务).因为过点(an 1 ,0),所以- (an -= 2an (an 1 - an ),显然 anan2an由a1 1 0,可知an0,所以an1=0,所以an 12an2an因为a1 .1,所以an1,于是 an1 一 an2an1(1 an )(1 an)an :2an2an因为0 : an ：1,所以 an 1 - an2 :0,即卩an 1 ： an成立

14、.由an 1乩=,得an1 12anan2 1(an 1)22an2an又可以得到an1 一1二丁2an-1(an -1)22an两式相比得an=(乩V)2.设2=0,则bn1弋2, an 1 - 1an - 1an -1两边取对数得 Igbn1 =lgbn2 =2lgbn,得 Igbn =2nlg.因为 b 二 =2,所以 Igbn =2“* -Ig2,得b = 2 . a1 -12“ _L于是得至U a = 22 ,解得 an二1.an 12-12 2n ann 1-：2n 3 -例6、已知正项数列a.的前n项和Sn,且印”2,an1二_ 2 2an ,得(n 1)2am2 n2%2 =2

15、n 3,n +1即(n 1)2耳 12 -(n 2) n2%2 -(n 1) =0.设bn 二 n2an2 - (n 1),可知 0 彳 0 = 0,且b| = aj - 2 = 0.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：& 4n-2. 解：(1由 an+ = J2n+3所以 bn =0,即n2an2 -(n，1)=0,因为an0,所以 a.二一1当 n _2 时,因为、.4n 2.4 n- 6： . 2（4 n 2 4n 6） = 2、4 n 4,所以.n 1（、4n -2 亠,4n-6） ；：Jn1 2.4n 4 = 4. n2 _1 ： 4n,所以丄.4二4n 一 2 - _ 4n -

16、 6（ n _ 2）.n ,4n -2,4n -6所以 Sn =n(n 1)n(n 1)nn 1所以T ln2-也 + 也一空+ ln(n Un(n *2)=1 n2-ln(n *2)n223nn+1n+1 2n +所以(n 1)Tn (n 1)l n2_l n(n 2)=1 n n + 2例9、求证:誥汕冷）讣（缶三）分析：此题主要是通过分式的裂项相消法来做.3n -14n(3n1),就会想到1 ；3n-2 3n+14n,容易想到1- 1 (n_ 2).4(n_1) 4n1 1 1 1 - ) - 3 3n -2 3n 1 2n -1 2n 4(n -1) 4n 证明：因为(3n - 2)(

17、3 n 1)-2 2n(2n -1) = (n -1)(n 2) _ 0, 所以(3n - 2)(3n 1) _2 2n(2 n -1),1 1 1 2 2 1 1所以(-),2n1 2n 2n(2n -1)(3n-2)(3n+1)3 3n-2 3n + 1111 11所以(1)()()23 42n-1 2n、2“1 丄11 丄丄 11、2“1、2n(1 ) (1 ) .3447 3n -2 3n 13 3n 1 3n 1又因为111】(二1)( n_2),2n 12n2n(2n 1)4n(n 1)4 n 1n1 1 1 1 1所以(1)()()234-1 1 1 1 1- (1 24223

18、n -1所以(1 一丄)* _丄)3n 十1234观察左边式子的分母观察右边式子的分母2我们只要证明（1即可.2n -1 2n11、 1 11、 3n-1) (1 ) n2 4n 4n,11、. 3n -1 亠2n-1 2n 4n1 * 例10、设函数fn(x) =xn _2xn 1在区间(0,2)上的最大值为an(n. N*).1(1)求数列an的通项公式；求证：an _歹；5 设数列an的前n项和为Sn,求证：Sn ：.24解:(1)fn(x) =xn 2xn*, fn (x) = nxn -2(n +1)xn = n 一2(n +1)xxn，令fn (x) =0,得x n 或x =0(不合题意,舍去).2( n 1)当 X (0, n)时,fn(x)0；当 x (2( n +1)所以当x n 时,fn (x)有最大值an2( n +1)n 、. n-(1 ) n :nn+1 2(n+1) n+1 2(n +1)设 0 =(),可知,b2 =4_1n , 1)时，fn (x) :：: 0.2(n 1) 2 “ 2 -22(n