4-2中心极限定理ppt课件

1、一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、内容小结四、内容小结第四章第二节 中心极限定理实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差这种偏差X是大量微小的偶然因素是大量微小的偶然因素Xi 造成的微小误差的总和造成的微小误差的总和: 这些因素包括这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量如外形、重量等等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温如风速、风向、能见度、温度等度等) 的作用的作用, .1

2、niiXX所有这些不同因素所引起的微小误差相互独立所有这些不同因素所引起的微小误差相互独立.问题问题:在什么条件下，在什么条件下，时时的分布当的分布当 nXXnii1以正态分布为其极限分布？以正态分布为其极限分布？二、基本定理二、基本定理定理定理4.6（林德贝格（林德贝格-列维中心极限定理）列维中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1满满足足对对于

3、于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)(定理定理4.6表明表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxte).(d2122lim)(limxYPxFnnnn lim1xnnXPnkkn 注注 0)( nnXEYEn)()1()(2XDnYDn 1)1(22 nn准化随机变量准化随机变量的标的标是是 niinXY1)()()(11 niinXXXDXEXY， nXEXEnii )()(1)()()(11 niiniiXDXDXD2 n )1 , 0(12NYnn近似近似时，时，当当)1(),(21 nnnNXX

4、nii 近似近似)()(XDXEXYn 3 中心极限定理的意义中心极限定理的意义 无论无论Xi ( i=1,2, ) 具有怎样的分布，只要满足定理具有怎样的分布，只要满足定理4.6的条件，则当的条件，则当n充分充分大时，其和大时，其和 niiXX1近似地服从正态分布近似地服从正态分布. xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(d21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量证证根据第三章第二节例题可知根据第三章第二节例题可知,1 nkknX 分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互

5、独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理4.7( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) ),)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk 根据定理根据定理4.6得得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxte).(d2122 注注1 定理定理4.7表明表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分大时充分大时, 可以利用该定理来计算可以利用该定理来计算二项分布的概率二项分布的概率.，则则若若即即)10;,

6、 2 , 1(),( pnpnBn 的标准化随机变量：的标准化随机变量：n )()(nnnnDEY )1(pnpnpn )1()1 , 0(时时当当近近似似 nN2 由泊松定理也知由泊松定理也知，有有，一一般般地地，很很小小时时，当当)1 . 010(1 pnpnknkknnppCkP )1( )(!npekk ), 2, 1, 0(nk 问题：问题：泊松分布和正态分布都可作为二项分布的近似分布，那么哪一种泊松分布和正态分布都可作为二项分布的近似分布，那么哪一种近似更好呢？近似更好呢？ 当当n很大，很大，p很小，很小， = np不大时，不大时，可用泊松分布；可用泊松分布； 当当n很大很大时，时

7、，可用正态分布可用正态分布.( p 可较大可较大)下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理 Thm 4.8Thm 4.8( (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布) ) 李雅普诺夫定理是李雅普诺夫定理是独立独立但但不同分布不同分布情形下的中心极限定理，该定情形下的中心极限定理，该定理表明：理表明： 若所讨论的随机变量由大量独立的，且若所讨论的随机变量由大量独立的，且“均匀均匀”的小的随机变量的小的随机变量相加而成，则当相加而成，则当n很大时，这个随机变量的分布近似地服从正态分布很大时，这个随机变量的分布近似

8、地服从正态分布.中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.三、典型例题三、典型例题.105,)10, 0(,),20, 2 , 1(20201的的近近似似值值求求记记上上服服

9、从从均均匀匀分分布布且且都都在在区区间间机机变变量量设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随个个噪噪声声电电压压一一加加法法器器同同时时收收到到 VPVVkVkkk解解, 5)( kVE).20, 2 , 1(12100)( kVDk例例1)()(VDVEVZ 2012100520 V 105VP20121005201052012100520 VP387. 0 ZP387. 01 ZP 387. 02d2112tet)387. 0(1 .348. 0 )()(VDVEVZ 2012100520 V由定理由定理4.6, 随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1), 某保险公司

10、的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每年交每人每年交200元元. 若老人在该若老人在该年内死亡年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例22001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321. 2)1(pnpnpXP.

11、01. 0)321. 2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率四、内容小结四、内容小结两个中心极限定理两个中心极限定理 林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加当独立随机变量的个数增加时时, 其和的分布趋于正态分布其和的分布趋于正态分布. 李雅普诺夫资料李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 June 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov 1918 in O

12、dessa, Russia德莫佛资料德莫佛资料Abraham de MoivreBorn: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France例例3试分别用切比谢夫不等式和中心极限定理确定当掷一枚均匀硬币时，试分别用切比谢夫不等式和中心极限定理确定

13、当掷一枚均匀硬币时，需投多少次，才能保证使正面出现的频率在需投多少次，才能保证使正面出现的频率在0.4与与0.6之间的概率不少之间的概率不少于于90%.解法解法1(切比谢夫不等式切比谢夫不等式)设需投掷设需投掷n次，次， 次掷出反面次掷出反面第第次掷出正面次掷出正面第第iiXi, 0, 1.), 1(独独立立则则iiXpBX，则，则令令 niiXnX115 . 0)1()(1 niiXnEXE), 2 , 1(4125. 0)(, 5 . 0)( iXDXEii)1()(1 niiXnDXDn41 nXDXnDnii)()(12 由切比谢夫不等式，得由切比谢夫不等式，得5 . 0)( XEnX

14、D41)( 6 . 04 . 0 XP1 . 05 . 0 XP1 . 0)( XEXP2)1 . 0()(1XD n401. 011 9 . 0 解得解得.25041000 n解法解法2(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)6 . 04 . 0 XP)(1 . 0)()(XDXDXEXP 5 . 0)( XEnXD41)( 2 . 04/15 . 0nnXP )1 , 0(4/15 . 0NnX近近似似 )2 . 0()2 . 0(nn 1)2 . 0(2 n9 . 0 95. 0)2 . 0( n)645. 1( ,645. 12 . 0 n从从而而,65.67 n即即.68 n取取注注

15、两种结果相比较，按切比谢夫不等式估计要多做两种结果相比较，按切比谢夫不等式估计要多做182次试验！次试验！ 对于一个学生而言对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一设一个学生无家长、个学生无家长、1名家长、名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从且服从同一分布同一分布. (1) 求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率; (2) 求有求有1

16、名家长来参名家长来参加会议的学生数不多于加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解, )400 , 2 , 1( )1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 例例4 的的分分布布律律为为则则kX15. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易易知知)400, 2 , 1(,19. 0)( kXDk , 4001 kkXX而而根据根据定理定理4.6 19. 04001 . 1400 4001 kkX随随机机变变量量 19. 04001 . 1400 X),1, 0( N近似服从正态分布近似服从正态分布 19. 04001 . 140045

17、019. 04001 . 1400 XP450 XP于于是是 147. 119. 04001 . 14001 XP;1357. 0)147. 1(1 , )2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y ),8 . 0,400( bY则则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,350 XP 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400 YP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400 YP.9938. 0)5 . 2( 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击已知每遭受一次海浪的冲击,

18、 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概的概率为率为1/3, 若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500次纵摇角大次纵摇角大于于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,则则X是一个随机变量是一个随机变量,).31,90000( bX且且例例2所求概率为所求概率为3050029500 XPkkkk 900003050029501323190000分布律为分布律为kXP kkk 90