经典奥数时钟问题

1、时钟问题解法与算法公式时钟问题的关键点：时针每小时走 30 度分针每分钟走 6 度分针走一分钟(转 6度)时，时针走 0 5度，分针与时针的速度差为55 度。请看例题：【例题 1】从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A. 1次B. 2次C. 3次D . 4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为2次，还要验证：根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5 . 5= 16又4/11V 60,表示经过16又4/11分钟， 时针与分针第一次垂直；同理， 270/5 . 5 = 49又1/11V 60,表示经过49又1/11分钟，时针 与分

2、针第二次垂直。经验证，选 B 可以。【例题 2】在某时刻,某钟表时针在 10点到 11点之间,此时刻再过 6分钟后的分针和此时刻 3 分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为A. 10点15分B 10点19分C 10点20分D 10点25分【解法 1】时针 1011 点之间的刻度应和分针2025 分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上 6 分钟后在这一范围的只有 10 点 15分, 所以答案为 A。【解法 2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为 6 (X+6 )度，则此时刻3分钟前的时 针转的角度为 0 . 5 (X+ 3)度，

3、以0点为起始来算此时时针的角度为0 . 5 (X 3) +10X 30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0 . 5 (X 3) +10X 306 (X +6) =180度，解得X =15分钟。着名数学难题：时钟的时针和分针 由时钟的时针与分针的特殊关系,产生了许多有趣的数学问题,下面介绍几例,并研究它 们的解法。例 1 在钟表正常走动的时候,有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从 12点开始走过了 x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了 12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时,出现第一次分针和时针重合；

4、当分针又比时针多走60个刻度时,出现第二次分针和时针重合；直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示,即为：12x x=60m，其中 m=1 , 2,.度为 1 小时,对分针来说 1 个刻度就是 1 分钟。所以, 12点以后出现第 出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出,它们如果用m=11代入，解得x=60,出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻,可见,以上共有 11次出现两针重合的时间。例2 已知：挂钟比标准时间每小时慢 2分钟；台钟比挂钟每小时快 2分钟，闹钟比台钟每 小时慢 2 分钟，手表比闹钟每小时要快 2 分钟。试问：手表走时是

5、否标准，若不标准时， 判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解： (1)标准时间走 60 分钟时，挂钟时间走 58 分。(2) 因为台钟比挂钟每小时快 2 分钟，所以挂钟走 间走 60 分时，即挂钟走 58 分，台钟走 x1 分钟，(3) 因为闹钟比台钟每小时慢 2 分钟， 间走 60 分，台钟走 x1 分时，闹钟走(4) 因为手表比闹钟每小时快 2 分钟， 间走 60 分时，闹钟走 x2 分，手表走 答：手表走时不准，走慢了，每小时慢所以台钟走x2 分，则所以闹钟走x3 分，则0.133 分，60则6060分钟时，分钟时，分钟时，台钟走闹钟走手表走即大约慢 8 秒。62 分钟。58 分钟。

6、62 分钟。设当标准时设当标准时设当标准时(45 + x)分，由于分针例3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？ 解：设在钟盘面上时针转过 x 格后，它与分针重叠，这时分针转动了 转动的速度是时针的 12 倍，所以有方程例4时钟的分针和时针在 24小时中，形成过多少次直角？解：因为时针 1 小时转动 30，所以 1 分钟转动 0.5，分针每分钟转动 6设 x 分钟后，时针与分针成直角，则有方程 x(6 0.5 )=90针 24 小时会有多少次差 90 的倍数呢？设有 n 次，则 由此解得 n=88 在这 88 次中， 时针与分针所成角度分别为 90， 180， 270， 360，其中

7、 180， 360 不合要求，因此总共有 44 次直角。(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例5时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？直线上。 也可这样解： 设经 x 分钟后两针在一直线上，这时分针转动了 x 分的刻度，而时例6 在早上不到 6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是 5 时 x 分，在手表面上，因为分针 1 分钟转动 6，时针 1 小时转动 30，则1分钟转动0.5 ，时针从0点到5点x分转动了 (150+ 0.5x)度，分针从0分到x分转动 了 6x度。因为此时分针还差 3分钟

8、与时针重合，即还差 3X 6 =18。，所以有方程 150 +0.5x6x=18解之，得 x=24 所以，此时为 5时 24分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。 我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨 越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他 的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在 12 点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6点整时，如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在 6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上

9、所指的仍是实际上可能的时间？ 爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨 不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花 的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢？ 第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例 1 中已经解决，总共在 钟面上有 11 个位置。除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了 x个刻度，分针走了 y个刻度，仿照例1有方程 当两针对调后，就变成时针走了 y 个刻度，分针走了 x 个刻度。如果设分针已在此之前走 了 n 圈，又可得方程把 m， n 看成已知数解这个方程组，得由Ow x

10、, yw 60, m , n为正整数，可知 m , n只能取从0到11,总共有144组解。其中当 m=0 ， n=0 与 m=11 ， n=11 时，两针都是在 12 这个位置 , 当 m=n 时，就是第一类情况中的 11个重合的位置。当 m工n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。对一个卧病之人,爱因斯坦的思维仍这样敏捷,不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。 行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法1 、二点到三点钟之间,分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向 12,时针指向2,分针在时针后5X 2= 10 （小格）。而分针 每分钟可追及1 =（小格），要两针重合，分

11、针必须追上10小格，这样所需要时间应为 （10 *）分钟。解： （5X 2）-（ 1 ）= 10-= 10 （分）答： 2 点 10 分时,两针重合。2、在 4 点钟至 5 点钟之间,分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时,两针之间相差 30小格。在 4点钟的时候,分针指向 12, 时针指向4,分针在时针后5X 4= 20 （小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须 追上时针（ 20 小格）并超过时针（ 30 小格）后,才能成一条直线。因此,需追及（20 30）小格。解： （5X 4+ 30）-（ 1 ）= 50-= 54 （分） 答：在 4 点 54 分时,分

12、针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间,分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差 15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后 5X 1 = 5 小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5X 1+ 15）小格或追及（5X 1 + 45）小格。解：（5X 1+ 15）-（ 1 ）= 20-= 21 （分）或（5X 1 + 45）-（ 1）= 50-= 54 （分）答：在 1 点 21 分和 1 点 54 分时,两针都成直角。4、星期天,小明在室内阳光下看书,看书之前,小明看了一眼挂钟,发现时针与分针正好 处在一条直线上。看完书之后,巧得很,时针

13、与分针又恰好在同一条直线上。看书期间, 小明听到挂钟一共敲过三下。 （每整点,是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几 点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内,一共敲了三下,说明小明看书的时间是在中午12点以后。 12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（ 0+ 30）-（ 1 ）= 30-= 32（分）即 12点 32分。第二次成一条直线时刻是：（5X 1 + 30）-（ 1 ）= 35-= 38 （分）即 1点 38分。第三次成一条直线的时刻是：（5X 2+ 30） + （ 1- ）= 40-= 43 （分）即 2 点 43 分。如果从 12点 32分开始，到 1 点

14、38分，只敲 2下，到 2点 43分，就共敲 5下（不合题意） 如果从 1 点 38 分开始到 2 点 43 分，共敲 3 下。因此，小明应从 1 点 38 分开始看书，到 2 点 43 分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢 5 分钟，标准时间中午 12 点时，把钟与标准时间对准。现在是标 准时间下午 5 点 30 分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到 5 点 30 分？分析： 1 、这钟每小时慢 5 分钟，也就是当标准钟走 60 分时， 这挂钟只能走 60- 5= 55（分）， 即速度是标准钟速度的=2、 因每小时慢5分，标准钟从中午 12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了 5X（ 17

15、12）= 27（分），也就是此挂钟要差 27分才到 5点 30分。3、此挂钟走到 5 点 30 分，按标准时间还要走 27 分，因它的速度是标准时钟速度的，实际 走完这 27 分所要时间应是 27+。解： 5X（1712）=27（分）27+= 30（分）答：再经过 30 分钟，该挂钟才能走到 5 点 30 分。解题关键： 时钟问题属于行程问题中的追及问题。 钟面上按“时”分为 12大格， 按“分” 分为 60小格。每小时，时针走 1 大格合 5小格，分针走 12大格合 60小格，时针的转速是 分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一

16、次成了直线?5 时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25 个小格 （表面上每个数字之间为 5 个小格 ），如果要成直线， 则分针要超过时针 30 个小格， 所以在此时间段 内，分针一共比时针多走了 55 个小格。由每分钟分针比时针都走 11/12个小格可知，此段 时间为 55/（11/12）=60 分钟，也就是经过 60分钟时针与分针第一次成了直线。例 2：从 6 时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合 ?6 时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30 个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为 0，那么分针要比时针多走 30 个小格，此段时

17、间为 30/（11/12）=360/11 分钟。例 3：在 8 时多少分，时针与分针垂直 ?8 时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40 个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15 个小格 （分针落后时针 ），也就是分针比时针多走了 25个小格，此段时间为 25/（11/12）=300/11 分钟;另一次是第二次垂直， 此时两者间隔仍为 1 5个小格（但分针超过时针 ），也就是分针比时针多走了 55个小格，此段 时间为 55/（11/12）=60 分钟，时间变为 9时，超过了题意的 8时多少分要求， 所以在 8 时 300/11 分时，分针与时针

18、垂直。由上面三个例题可以看出， 求解此类问题 （经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非 常好的方法。 解决此类问题的一个 关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格 ， 而不论 两者分别走了多少个小格。 下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直 线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有 60个小格，这里计算就以小格为单位。

19、1分钟时间，分针走 1个小格， 时针指走了 1/60*5=1/12 个小格，所以每分钟分针比时针多走 11/12 个小格，以此作为后续 计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例 4 ：从 9 点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为 45 个小格。如果要第 一次成直线，也就是两者之间间隔变为 30 个小格，那么分针要比时针多走 15 个小格，此 段时间为 15/(11/12)=180/11 分钟。例 5 ：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9 时整时，分针指向正上方

20、，时针指向正右方，两者之间间隔为 45 个小格。如果要分 针追上时针，也就是两者之间间隔变为 0 个小格，那么分针要比时针多走 45 个小格，此段 时间为 45/(11/12)=540/11 分钟。例 6 ：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为 0 个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔 变为 30 个小格，那么分针要比时针多走 30 个小格，此段时间为 30/(11/12)=360/11 分钟。 【针对性练习】1. 十点与 11 点之间，两针在什么时刻成直线 (不包括重合情况 )？ ( )A. 10 时 21 分 B. 10 时 2

21、2 分 C.10 时 21 D.10 时 21 分2 现在是下午 3 点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在 4 点与 5 点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9 点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“ 9”的两边？【参考答案详解】1. 答案 A 满足. 分针：6 度/分时针 0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为 x 分，则如图有 60-0.5x=180-6x ，x= 分，即 10 时分两针成直线。答案 A 满足。2. 现在

22、是下午 3 点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针： 6 度 /分时针 0.5 度 /分3 点整，时针在分针前面 15 格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走 15 格，即90 度， 用追及问题的处理方法解： 90/(6-0.5)度/分=16 分钟，所以下午 3 点 16 分钟，时针 和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？ 解析：分针： 6 度 /分时针 0.5 度 /分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转 360 度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24 X 60=1

23、440分，所以两针在一昼夜重合的次数： 1440 分/(720/11)分/次=22 次4. 钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针： 6 度 /分时针 0.5 度/分5 点零 8 分，时针成角： 5X 30+8X 0.5=154 度，分针成角： 8X 6=48 度，所以夹角是 154-48=106 度。5 在 4 点与 5 点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整 4 点时，分针指向 12，时针指向 4。此时，时针领先分针20 格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针 15 格，或分针领先时针 15 格。因此，在相同时间内，分针 将 比 时 针 多 走 (20-15

24、) 格 或 (20+15) 格 。 (20-15)/(1-1/12)=60/11, 即 4 点 5 分 ， (20+15)/(1-1/12)=38 分，即 4 点 38 分。6. 9 点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“ 9”的两边？解析：设经过 X分，0.5X X=270-6 X X ,解得X=540/13分，所以答案是 9点过41分。 行测数学运算：时钟问题作者 :公务员考试网 时间 :2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源 :中 国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1. 设时钟一圈分成了 12 格，则时针每小时转 1 格，分针每小时转 12 格

25、。2 .时针一昼夜（ 24 小时）转 2 圈，分针一昼夜转 24圈。3. 钟面上每两格之间为 30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4. 时针与分针一昼夜重合 22次，垂直 44 次，成 180也是 22次。【例 1 】清晨 5 点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A. 30 度 B. 60 度 C. 90 度 D. 150 度答案 D解析清晨5点时，时针和分针相差 5格，贝U 5X 30 = 150。【例 2】中午 12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚 12点时，时针与分针还 要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案 B解一从中午

26、12点到晚上 12点，时针走了 1圈，分针走了 12圈，比时针多走了 11圈。 因此，时针与分针重合了 11 次。选择 B。解二根据基本知识点：由于时针和分针 24小时内重合 22 次，所以 12小时内重合 11 次。【例 3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时 针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了 1 小时多少分？（） #中国公务员考试信 息网A. 51 B. 47 C. 45 D. 43答案 A解析根据题意，会议开了 1 个多小时，那么分针应该转了 1 圈多不到 2 圈，时针转了 1 格多不到 2 格。由于“时针和分针恰好互换了位置” ，所以时针

27、和分针所转角度之和应该是 整整两圈。假设这个过程经过了 T 小时，时针 12 小时转一圈，那么 T 小时应该转了 T/12 圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了 T圈，那么T+T/12 = 2，得到T = 24/13小时，约 合1小时 51分。【例 4】某时刻钟表时针在 10点到 11点之间， 此时刻再过 6分钟后分针和此时刻 3分钟前 的时针正好方向相反且在一条直线上，贝此时刻为几点几分？（）A. 10点15分 B. 10点19分C. 10点20分 D. 10点25分答案 A解析代入B、C、D，很明显，这三个时刻的 3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟 面上的“ 10”与“ 11”之间，而

28、这三个时刻 6分钟之后已经至少是 25分了，即分针已经在 钟面上的“ 5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“ 4”与“ 5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T = T0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。 T0 为静态时间，即假设时针不动，分针和时针 “达到条件要求”的时间。例 5 从钟表的 12 点整开始， 时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A. 43 分钟 B. 45 分钟 C. 49 分钟 D. 61 分钟答案 C解析从1

29、2点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间TO = 45 （分钟），根据公式，其间隔时间T = T0+T0/11疋49 （分钟）。【例6】（国家2006 一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直 角的机会有多少次 ?（）A. 1 次 B. 2 次 C. 3 次 D. 4 次答案 B解一从 12时到 13时，时针旋转了 30；分针旋转了 360。分针与时针所成的角度 从 0变化到 330（其中包括 90和 270），因此有 2次成直角的机会。选择B。解二根据公式：从 12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为 15分钟或 45分 钟，追及时间为

30、15+1511=16411、 45+4511=49111 分钟，所以垂直两次。【例 7】（广东 2008年）时针与分针在 5点多少分第一次垂直？（）A. 5 点 10分 B. 5点 101011分 C. 5点 11分 D. 5点 12分答案 B解析根据公式：时针与分针 5点后第一次成直角的“静态时间”为 10分钟，追及时间为 10+1011=101011 分钟，所以选择 B。 强华公务员【例 8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32 B. 32811 分 C. 33 分 D. 34 分答案 B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时间为 3

31、0+3011=32811 分钟，所以选择 B。解二根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直 44次，所以垂直间隔为：24 X6044=32811 分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题” 。解题的关键是抓住“标准比” ，按比 例计算。【例 9】（国家 2005二类-46）有一只钟，每小时慢 3分钟，早晨 4点 30分的时候，把钟对 准了标准时间，则钟走到当天上午 10点 50分的时候，标准时间是多少 ?（）A. 11 点整 B. 11点 5分 C. 11 点 10分 D. 11 点 15分答案 C解析标准比：标准时间走 60 分钟时，慢钟走 57 分钟。此时，慢钟从 4点

32、30 分走到 10 点50分，一共走了 6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了 x分钟，那么：x : 380=60 : 57,可得：x = 400 （分钟）。说明标准时间比慢钟快 400-380 = 20分钟，慢钟走到了 10点 50 分，实际上应该是 11 点 10分了。【例 10】（国家 2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟,一个慢钟每小时比标 准时间慢 3分钟。如将两个钟同时调到标准时间,结果在 24小时内,快钟显示 10点整时, 慢钟恰好显示 9 点整。则此时的标准时间是多少？（）A. 9 点 15分 B. 9点 30分 C. 9点 35分 D. 9点 45分

33、答案 D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1 : 3。假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示 9点整），那么（60-x） ：（ x-0） = 1 : 3,解得：x= 45。所以标准时间是 9 点 45 分。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求时间差：例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？A.8 小时 B.8 小时 30分 C.9 小时 30 分 D.9 小时 50 分解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是 14.45-5.15=9.30 C求慢(快)表在几小时后显示什么时间？例：有一只钟，每小时慢 3

34、分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到 当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是 ( )。A . 11点整 B. 11点5分c. 11点10分D. 11点15分解析：慢表显示经过的时间是： 1 0： 50-4： 30=6 小时 20 分钟 =380 分钟，实际经过的时间应该是：380- (60-3) /60=400 分钟=6 小时 40 分钟，答案为 C : 4: 30+6 : 40=11: 10。 例：一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟。如将两 个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好

35、显示 9 点整。 则此时的标准时间是 ( )。A. 9点 15 分 B 9 点 30分 c. 9 点 35 分 D 9 点 45分解析:这是 2 个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。 我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有 4 分钟的差距，而 4 分钟里面， 1 分钟时快走 造成的， 3分钟时慢走造成的。所以当它们(快慢钟)的差距有60分钟时，那么一样， 1/4的时间 =15 分钟时快走造成的， 3/4 的时间( 45 分钟)时慢走造成的。所以标准时间为 9 点45 分，答案为 D。戴晓东总结:其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说

36、的一小时慢(快)多少，然后再推广到几个小时后，而这种比 例是不变的。延伸:通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问 题中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的 类型。求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。例:中午 12点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点，时针与分针重合多少次？ 万学金路戴晓东强调要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有 60 个小格，这里计算就以小格为单位。 1 小时时间，分针走 60 个小格，时 针只走了 5 个小格，所以每小时分针比时针多走

37、 55 个小格。解析:就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题: 时针 : v1=5 格 /小时 分针: v2=60 格 /小时 n*60= ( v2-v1 ) *12 即:重合一次，多走 60 个格，假设重合了 N 次，所以多走了 n*60 ； 再有，一小时多走( 60-5)个格，总共走了 12 小时，所以多走了( 60-5) *12 个格。解出: n=11例:从 6 时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？30 个小格。如果要解析: 6 时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30 个小格，此段时间为30/55=

38、6/11 小时 =360/11 分钟。45 个小格。如果要例:一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？解析: 9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为 分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为 0 个小格，那么分针要比时针多走 45 个小格，此段时间为 45/55 小时 =540/11 分钟。总结： 这类题型其本质就是追击问题 。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速 度差。 而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是 一小时差 55 格(前面已经分析过) 。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。 大家可以看看下面这两个问题：供

39、大家思考，也是对这类问题的延伸。例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔 66 分钟重合一次 ,这只钟每昼夜慢多少分钟 ? 解析：正常的钟每隔 (12/11)小时 =(720/11) 分钟重合一次，爷爷家的老式钟是 726/11 分钟重合一次，慢了 6/11 分钟。每小时这个钟就会慢【 (6/11)/(720/11) 】*60=1/2 分钟。一昼夜共慢了 1/2*24=12 分钟。 时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。例： 1 个小时内分针和秒针共重叠( )次。A.60 B.59 C.61 D.55这个题目很多人认为是 61 次，我们来讨论一下： 首先，从一个理想状态来研究，因

40、为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻 分针和秒针都是在 12 上0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，。 58， 59， 60 我们来仔细分析当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在 01之间却是没有重合的，因为当秒针从12转一圈之后回到12,此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从 12分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了5960分钟之间，最后是分针和秒针同时到达 12上，形成了最后一次重复。在 5960间隙里面也是没有重 合的。这样我们就可以把开始 0 位置上的重合看作是 0 1 上的重合， 60 上的重合看作是 5

41、9 60 之间的重合，整个过程就发现就是 60次。其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了 2 个结果。就是看间隔。59 个间隔至少有 59次相遇。第一次的间隔没有。这里有一个问题， 很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果 题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。 时钟问题经典例题详解例：现在是 2 点，什么时候时针与分针第一次重合？ 析： 2 点时候，时针处在第 10 格位置，分针处于第 分钟的时间。例：中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60 /11/12 =

42、 720/11分钟，而12小时能追随及 12*60 时针与分针又完全重合在 12 点。如果不算中午 果题目是到下次 12 点之前，重合几次，应为 2.分针与秒针 秒针每秒钟走一格，分针每 60 秒钟走 多0 格，相差 10 格，则需经过 10 / 11/1212 点时，时针与分针重合多少次？60 格，则分针追赶时针一次，耗时分钟/ 720/11 分钟/次=11 次，第 11 次时，12 点第一次重合的次数，应为 11 次。如次重合的次数。11-1 次，因为不算最后格，则分针每秒钟走1/60 格，每秒钟秒针比分针走 59/60 格例：中午 12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午 1 点时，两针

43、重合多少次？ 析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了 60 格，则秒针 追分针一次耗时， 60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到 1 点时，总共有时间 3600 秒，则 台匕能追赶， 3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第 59 次时，共追赶了， 59 次*3600/59 秒/次=3600 秒，分针走了 60 格，即经过 1 小时后，两针又重合在 12 点。则重合了 59 次。3. 时针与秒针秒针每秒走一格，时针 3600 秒走 5 格，则时针每秒走 1/720 格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。例：中午 12 点，秒针与时

44、针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与秒针重合了多少次 析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针 60 格，每秒钟追 719/720 格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而 12 个小时有 12*3600 秒时间，则可以追 12*3600/43200/719 = 710 次。此时重合在 12 点位置上，即重合了 719 次。4. 成角度问题例：在时钟盘面上， 1 点 45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？析：一点时，时针分针差5格，至U 45分时，分针比时针多走了11/12*45 = 41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是 360/60 =

45、 6度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。5 .相遇问题例： 3 点过多少分时，时针和分针离“ 3”的距离相等，并且在“ 3”的两边？析：作图，此题转化为时针以每分1/12 速度的速度，分针以每分1 格的速度相向而行，当时针和分针离 3 距离相等，两针相遇，行程 15 格，则耗时 15 / 1+ 1/12 =180/13 分。例：小明做作业的时间不足 1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、 分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？析：只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧 B-A ，时针走了小弧 A-B ，即这段时间时针和 分针共走了 60 格，而时针每分

46、钟 1/12 格，分针 1 格，则总共走了 60/ （1/12+1）=720/13 分钟， 即花了 720/13 分钟。钟表上的追及问题新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如： 在 3 点和 4 点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针： （1）重合；（2）成平角；（3）成直角。 许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转 的速度慢， 而旋转的方向却是一致的。 因此上面这类问题也可看做追及问题。 通常有以下两 种解法：. 格数法1钟表面的外周长被分为 60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转分12 格，分针一分钟

47、转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析 (1 )设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走 个分格。12因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合x4时，分针比时针多走 15个分格，于是得方程 x15，解得x 16 o12114所以3点16 -分时，时针与分针重合。11(2) 设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比x1时针多走了 45分格，于是得方程x 一 45，解得x 49。12111所以3点49

48、分时，时针与分针成平角。11(3) 设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到x4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程 x 30，解12得 x 32 。118所以3点32-分时，时针与分针成直角。11二.度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针 1小时旋转一圈，转过的角度都是 360 , 所以时针1分钟转过的角度是 0.5，分针1分钟转过的角度是 6o故也可以利用时针与 分针转过的度数来解决这道题。解析 (1 )设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x，分针旋转的角度是6x。整3点时，时针与分针的夹角是90,当两针重

49、合时，分针比时针多转了490,于是得方程6x 05x90，解得x 16。11(2) 设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90 +180 =270 ,1 于是得方程6x 0.5x270，解得x 49 。11(3) 设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了90 90180，于是得方程6x 0.5x180 ,解得x 32 。11练一练1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合?2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40的角?4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案：1.9

50、点49 分；2. 5点43上或5点1010分;11 11 11I 773. 3点9分或3点23 分；4. 2点43分。）II 11111、钟表指针重叠问题时钟问题详细讲解我只是在论坛看到相关内容，并加以整理：一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？（2006国家考题）A、10 B、11 C、12 D、13 答案 B2、 中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？A、60 B、59 C、61 D、62 答案 B讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！给大家介绍我认为网友比较经典的解法：考友1.其实这个题

51、目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格/秒，那么秒针的速度就是 60格/秒，设追上的时候路程是S,时间是t,方程为（1+60）t= S即61t = S,中午12点到下午1点，秒针一共走了 3600格，即S的范围是0S3600 ,那么t的范围就是 0t3600/61,即0t59.02，因为t只能取整数，所以t为159,也就是他们相遇 59次。第1题跟这个思路是一样的，大家可以算算！给大家一个公式吧 6仃=S （S为题目中最小的单位在题目所要求的时间

52、内所走的格数，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了如第1题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12小时，也就是说分针走了720格T（max）=720/61.8，取整数就是 11。1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？A、10 B、11 C、12 D、13考友2.这道题我是这么解，大家比较一下：解:可以看做追及问题，时针的速度是:1/12格/分分针的速度是:1格/分 .追上一次的时间=路程差/速度差=60/（1-1/12）=720/11分从12点到12点的总时间是 720分钟，所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720

53、/11 次、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你: 设X时时，夹角为30X , Y分时，分针追时针 5.5,设夹角为A.（请大家掌握） 钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走 6度，时针走 0.5度，能追5.5度。1. 【30X 5.5Y】或是360 【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义（求角度公式）变式与应用2. 【30X 5.5Y】=A或是360 【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中一个的公 式。3由变式2可以变为30X （X-Y/5） + Y/60=A 或 30X （X+12）-Y/5 + Y/60=A说明变式3实质上完全等同

54、变式 2.例题3 2000年国家考题某时刻钟表时间在 10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时刻正好方向相反且在一条直线上，则从时刻为（）A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2解出30 X 10 5.5Y=180解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分，本题最接近 A.（说明此国考题不 够严谨！）思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10点到11点之间，那么根据“正好方向相反且在一 条直线上”分针必在 4点到5点之间（相对时针而言），那么在6分钟以前分针必在 3点附 近（相对时针而言），运用排除法选 A（说明到这里基本规律已完毕，在考题中已经可以应付了，后面的讲解作为大家了解，我也 是从网络搜索的，只是前面知识的运