特别解析特征方程法求解递推关系中的数列通项

1、特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、（一阶线性递推式）设已知数列an的项满足ai b,ani ca. d,其中c 0,c 1,求这个数列的通项公 式。定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0 a1时，an为常数列,即an ai；当xo ai时,an bn xo，其中bn是以c为公比的等比数列，即 bn b1cn 1,b1 a1 x0.bn 1证明：因为c 0,1,由特征方程得Xoan 1 X0 cancan1 ccd1 c-作换元bnan X。,则1 cc(anX。)cbn.当X0 a1时，b1 0,数列bn是以c为公比的等比数列，故bn b” 1bn为0数列，故a

2、n a1,n N.（证毕）例1 已知数列an满足：an1解：作方程x 丄x 2,则x03.32数列bn是以1为公比的等比数列，31n1 111n1 3 ,bn b1（ ）（ ） ,anbn32321an2, n N, a14,求 an.3当a14 时，a1x,b1a131122于是:3111、n 1N.(),n223例2.已知数列an满足递推关系:an 1（2an 3）i,n N,其中i为虚数单位。当&取何值时，数列an是常数数列?解：作方程x （2x 3）i,则x01要使an为常数，即则必须5a1xo6 3i5二、（二阶线性递推式）定理2:对于由递推公式an 2 pa n 1qan, a1&

3、 给出的数列a“，方程x2px q 0 ,叫做数列an的特征方程。若X1,X2是特征方程的两个根,当X1X2时,数列an的通项为an Ax1n 1Bx2 1，其中A, B由印 ,a2 决定（即把玄朋:必必和n 1,2，代入an Ax； 1 Bx2 1，得到关于A、B的方程组）；当X1X2时，数列an的通项为an （A B）x1n 1，其中A, B由內 忌决定（即把ai,a2,xix和n 1,2 ,代入an （A Bn）x； 1，得到关于A、B的方程组）。例3:已知数列an满足a1a, a2 b,3an 2 5a1 2an 0(n0,nN），求数列an的通项公式。解法一（待定系数、迭加法）由3a

4、n 25an12an0，得 an 22 ( an 1 an ),且 a2a1b a则数列an 1an是以ba为首项，-为公比的等比数列,3于是： an 1 an2（b a）（3）n1,2,3,n代入,得:a3a2(b a)?2 n 2an an1 (b 叫)0把以上各式相加,得:ana1(b a)12 (2)33 I(3) (b21 -3a) o2an 3 3(3)n1(b a) a23(a b)(J1 3b 2a o解法二(特征根法)：数列an : 3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N) , d a, a? b 的特征方程是：3x25x 20。Xi1, X2anAx；Bx； 1

5、A B(|)n1。又由a1 aa2于是:B2B3A 3b 2aB 3(a b)3b2a23(a b)(3)三、（分式递推式）定理3:如果数列an满足下列条件:已知a1的值且对于n N，都有apa. q ran h（其中p、q、h均为常数，且phqr,r0, a1h），那么，可作特征方程PX q rx h(1)当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若a1,则a,n N;若a1，则an,n N,其中b bn(n 1)r,n N.特别地,P r当存在n0 N,使bn00时，无穷数列an不存在；（2）当特征方程有两个相异的根1、2时，则an盘 1，n N,其中 cn 色一(一)n1,nCn 1a1

6、2 P 2rN,(其中a12).例3、已知数列an满足性质：对于n N,am 乩上，且a1 3,求a.的通项公式. 2an 3解:依定理作特征方程x 丝上,变形得2x2 2x 4 0,其根为1 1, 22.故特征2x 3方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有：cn() 1，n N. - - an552 -()ni i,n N.2()ni i即an冷N.,n例5已知数列an满足：对于nN,都有ai3an 25an 3(i)若 ai 5,求 an；(2)若印3,求 a.;(3 )若 ai6,求 an；(4)当ai取哪些值时，无穷数列a.不存在?解：作特征方程x罟.变形得X2 I0x 2

7、50,特征方程有两个相同的特征根5.依定理2的第(1)部分解答.5,ai-对于nN,都有an5；3,aiiair(n i)-P r令 bn 0 ,5.故数列an从第5项幵始都不存在，当n 2.a!p r a1 58n 1.当a1 5n 13 （其中n N且N2）时，数列a.从第n项幵始便不存在.n 1于是知：当a1在集合 3或空史：n N,且n 2上取值时，无穷数列an都不存在.n 1定理3证明：（分式递推问题）：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于n N，都有an 1 皀一q （其中p、q、r、h均为常数，且ph qr,r 0,印 -），那么，可 ran hr作特征方程x 卫.rx

8、h（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若a1,则an, n N;若使bn00时，无穷数列an不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1、 2 （称作特征根）时，则an 上11，nN,Cn 1其中 Cn 色一（一）n 1 ,n N,（其中 a12）.a1 2 p 2 r证明：先证明定理的第（1）部分.作交换dnan, n N ,则 dn 1an 1panqan(Pr) q h(dn)(Pr) q hranhran hr(dn)hdn(P r) r 2 (h p) q rdn h r是特征方程的根,P q r 2(hp)q 0.r h将该式代入式得dn 1 dn( P 2,n N.rd

9、n h r的根P代入特征方程可整理得Ph qr,这与已知条件Phr,于是prqr矛盾.故特征方程r 0.当di0，即 aidi时，由式得0,nN,故adn,n N.当di0即a1时，由、两式可得0,nN .此时可对式作如下变化:rd n hdn(Prr)h r 1 rP r dn p r是方程px rx hq的两个相同的根可以求得P h2rp hr2r_p hpr2r将此式代入式得 丄一，n N.令bn 丄，n N.则dn1 dn p rdbn 1bn,n rN.故数列佝是以为公差的等差数列. rbi(nN.其中bi1di1aiN,b0时，a丄bn,n N.当存在no N,使bn。0时,an0

10、 dn。1 无意义.故此时，无穷数列an是不存在的.bn。再证明定理的第(2)部分如下：特征方程有两个相异的根1、 2，二其中必有一个特征根不等于a1，不妨令2 a1.于是可作变换Cn勺一,n N.an2故Cnan 11an 1，将 an 1-2pan ranq代入再整理得hCn 1an(p1r) q 1h,nNan(p2r) q 2h由第(1)部分的证明过程知x不是特征方程的根，故1 , 2卫rrr故p 1r 0, p2r 0.所以由式可得:a q_1h annp 2q 2hanp 2特征方程xpxq有两个相异根1、2方程rxh2，而方程xq 与方程rx x(hp) qpxrq1hq2hp1

11、 :1r1p2r2根0又是同解方程.1、rx2 x(h p) q0有两个相异将上两式代入式得当Ci0,即ai1时，数列6是等比数列，公比为 .此时对于n N都有P当c10即a14时，上式也成立.由 Cn n且 12 可知 Cn 1,n N.an 2所以 an -Cn1 ,n N.（证毕）Cn 1注：当ph qr时，竺 q会退化为常数；当r 0时,n 1 竺 q可化归为较易解ran hran h的递推关系，在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列n 满足n 1 nb. 其中 c 0,ad bc,n N*.c an d定义1

12、:方程x X-为的特征方程，该方程的根称为数列an的特征根，记为cx d定理i：若，ai且,则电一an ia Can定理2:若ai且a d 0,则冬 -an ia d an例i （09 江西理22）各项均为正数的数列an , ai a,a2 b ,且对满足m n p qam an的正数m,n,p,q都有（编力和apaq(1 ap)(1aq)当a扣时,求通项an；(2)例2已知数列an满足ai2,an2丄，nan iN*,求通项a例3已知数列an满足ai2, an2），求数列an的通项an例4已知数列an满足ai 2,an i4H(nN*），求数列an的通项an2.已知数列an满足aann 2Cn iC2an 其中Ci,C2为常数，且C2 0,n N .定义2:方程x2Cix C2为的特征方程，该方程的根称为数列an的特征根，记为定理3:若i 2,则an bi in b2 2n,其中bi,b2常数，且满足aia2bi i2I ib2 2b2 22.2例5已知数列an满足务