数值分析复习习题

1、第一作者李欣 指导邹曦数值分析复习习题第一章1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数.x1=5.420,x2=0.5420, x3=0.00542, x4=6000,x5=0.6 105.解 绝对误差限分别为：1=0.5 10-3, 2=0.5 10-4,3=0.5 10-5,4=0.5,5=0.5 104 .相对误差限分别为：r1=0.5 10-3/5.420=0.00923%,2=0.00923%,3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.有效数位分别为：4位,4位,3位,4位,1位.第二章1. 讨论求解方程组 Ax=b

2、的J迭代法和G-S迭代法的收 敛性.其中2 1 1 1 2 2(1)A111(2)A1111 12 2 2 1解(1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为02?02B D 1(L U) 1 01 ,G (D L) 1U 0 g g*舟000g(B)=, (G)=1/2,故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛.(2)类似可得(B)=0, (G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法 不收敛.2. 给定方程组3x y z 2试建立一个收敛的迭代格式，并说明收敛的理由 解 可建立如下形式的迭代格式1)21 、,(k)1(k)x-yz333、，（k1)31你）1yxz444(k1)31 x(k)1、，（k

3、）zxy224因为迭代矩阵为MM 3 1所以此迭代法收敛 第三章1用列主元Gauss消元法解方程组326x141070x27515x36回代得解x3=1, x2=-1, x1=032 641070 7107071 $消兀107 07326 400.166.151 56515 602.552.510707107073消元02.552.502.552.500.166.1006.26.22.对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中2 114A1 32,b 61 225解2 112111 21 1A13212522 A4 153221 221235354 i 1351y14y14解21y26，

4、得 y2412351y35y3352 11X14X11再解5232X24，得 x2135X335X313. 对矩阵A进行Crout分解，其中212A456解6151521 22121A4564323615 15612121 4 1故得Crouit分解：A431 1612114.对任意矩阵范:数，求证:(1) I证明1A3)11AB(1)因为 I = AI(2) 1 I = AA-1 A A-1 ，故 IA 1 闪.(3) A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1A-1B-1 A-B第一作者李欣 指导邹曦5.证明:如果A为正交矩阵，贝U Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵，则Co

5、nd2(A)= 1/ n, 1 和n分别为A的最大和最小特征值.证明 A 正交，则 ATA=AAT=l,Cond2(A)= A 2 A-1 2=1.(2) A 对称正定，ATA=A2, A 2= 1. A-1 2=1/ n. 第七章1. 设 (x)=cosx,证明：任取 x0,迭代式 xk+1= (xk),k=0,1,2, 均收敛于方程x= (x)的根.证明 因为对任意x0,都有x仁cosxO -1,1,所以只 需证明迭代式在区间-1,1收敛.因为 (x)=cosx 连续可导,| (x)|=|sinx| sin11,所以(x)是区间-1,1上的压缩映射，因此结论成立.2. 验证区间0,2是方程

6、x3+2x-5=0的有根区间，并建 立一个收敛的迭代格式，使对任何初值 x0 0,2都收敛，并说 明理由.解 记(x)=x3+2x-5 C0,2,且(0)= -50,所以方程在区间0,2内有根，建立迭代格式Xk 1 3 5 2xk,k 0,1,2,这里迭代函数(x)= 3 5 2x，由于01(x)3 52 , x 0,22 2且|(x)|= 3(5 2x)2/31 , x 0,2所以(x)是区间0,2上的压缩映射，故迭代式收敛.3. 给定函数 (x),设对一切 x, (x)存在且 0m(x)M,证明对任意 (0,2/M),迭代式Xk 1 Xk f (xk),k 0,1,2,均收敛于(x)=0的

7、根 .证明这里(x)=x- (x),由于对任意(0,2/M)-1=1 -2v(x)=1-(x)1所以| ( )|1,故迭代法收敛4. 已知1.3是4 3的一个近似值，用Newton迭代法求 4 3的更好近似值，要求准确到小数点后五位.Xk i Xk34Xk算结解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton迭代格式，则有3k0123xk1.31.31637461.31607411.3160740|xk+1-xk|0.01637460.00030050.0000001取 x0=1.所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后 6位.第四章1. 当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求

8、(x)的二次插值多项式P2(x).解法一.基函数法：p2(x)= IO(x)yO+11(x)y1 + I2(x)y2=-3 I1(x)+4l2(x)li(x),(x x0)(x x2)、1(x 1)(x 2)(Xi Xo)(Xi X2)6(x X0)(X xi)11)(x 1)(X2 Xo)(X2 xj 3p2(x)=-3I1(x)+4I2(x)14尹 1)(x 2)尹 1)(x 1)(x 1)(5x 14)6解法二.待定系数法，设p2(x)=(x-1)(ax+b),则有2(a-b)=-3, 2a+b=4,解得,a=5/6, b=7/3,所以p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)解法三.牛

9、顿插值法，构造差商表2. 设 I0(x),I1(x), -I,(x)是以 x0,x1, -xn 为节点的 n 次Lagrange插值基函数，求证：n kk(1) Xjlj(x) X , k 0,1,n.j 0nk(2) (Xj x) lj(x)0, k 0,1,n.j 0证明 记(x)=xk,则 yj= (xj)= xjk,j=0,1, 于是nf (n 1)()nxk f (x) yjlj(x) -:n 1(X) xj|j(x)j 0(n 1)!j 0记(t)=(t-x)k,则 yj= (xj)=(xj-x)k,j=0,1, 于是n- (n 1) ()n(t x)k f(t)yjlj(t)-

10、辟 n l(t)(Xj x)k|j(t)j 0(n 1)!j 0n取 t=x,则有(Xj x)k|j(x) 0j 03. 设(x) C2a,b,且(a)= (b)=0,证明f(x) 1(b a)2M2, a x b其中，M 2 max f (x).a x b证明 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0，故| (x)| = | (x)-L1(x)|2(x a)(x b) 8(b a) M24. 设 (x)=x4+2x3+5,在 区 间-3,2上,对节点 x0=-3,x1=-1,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在小区 间x0, x1上的表达式及误差公式解 在-3,-1上,由

11、y0=32,y1=4,y0 =-54,y1 =2, h=2,得H3(x)=32 0(x)+4 1(x)-54 0(x)+2 1(x)令 0(x)=(x+1)2(ax+b), 可 得 a=1/4,b=1, 所 以0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得：1(x)=-(x+3)2x/40(x)=(x+3)(x+1)2/41(x)=(x+3)2(x+1)/4所以有H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1)二6x3-22x2-24x-4误差为R(x)=(x+3)2(x+1)25.给出函数表xi-1-0.500.250.751y

12、i0.220.822.53.84.2试分别作出线性，二次曲线拟合，并给出均方误差. 解 线性拟合，即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T,1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.贝U得正贝U方程组:6a+0.5b=13.52a 2.078971b 2.0923530.5a+2.875b=7.055所以，线性拟合曲线为：y=2.078971+2.092353x均方误差为：II * II 2= (a bxi yi)2 =0.38659 二次拟合，即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量0=(1

13、,1,1,1,1,1)T,1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T ,=(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.则得正则方程组：6a+0.5b+2.875c=13.520.5a+2.875b+0.3125c=7.0552.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191二次拟合曲线为：y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.均方误差为：II * II 2= J (a bXi c2 yj2=0.06943.第五章1.确定

14、下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？h(1) hf (x)dx A/( h) Aof(O) Af(h)解令公式对(x)=1,x,x2都精确成立，则有A- 1+A0+A1=2h-hA -1+hA1=0h2A -1+h2A1=2h3/3解得：A- 1=A1=h/3,A0=4h/3hL*求积公式为：hf(x)dx -f( h) 4f(0) f(h)(x)=x3时，左=右=0,公式也精确成立(x)=x4时，左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立所以公式的代数精确为3.2用辛普森公式计算积分1x4dx0的近似值，并估计结点误差1 13.对积分oln- f (x)

15、dx,导出两点Gauss型求积公式 入解 区间0,1上权函数为ln(1/x)的正交多项式为P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252令 p2(x)=0，解出Gauss点为：x115-1064215-10642再令公式对(x)=1, x精确成立，可得A1+A2=1,A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出1 92 4、106A2丄 924、106所以两点Gauss型求积公式为1 1Jn f (x)dx1 9 */15 .10619 */15 .106、2 4J09)f()(2 4、109)f()第六章1.用梯形方法和四阶标准R-K方法求解初值问题y +

16、y=0 ，0x 1y(0)=i取步长h=0.1,并与精确解y=e-x相比较.解 这里(x,y)=-y ,故梯形公式为：yn+仁 yn-0.05(yn+yn+1),也就yn+1=(0.95/1.05)yny0=1四阶标准R-K公式为：yn+仁yn+(0.1/6)(K1+2K2+2K3+K4)K仁-yn,K2=-(yn+0.05K1),K3=-(yn+0.05K2),K4=-(yn+0.1K3)就是：yn+1=0.9048375yny0=1计算结果为xn梯形公式ynR-K方法yn精确解y(xn)01110.10.904760.904840.904840.20.818590.818730.81873

17、0.30.740630.740820.740820.40.670100.670320.670320.50.606280.606530.606530.60.548540.548810.548810.70.496300.496590.496590.80.449030.449330.449330.90.406260.406570.4065710.367570.367880.36788第八章1利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中解记42 1A(024 212 4取 i=1，j=2，则有d(0) (0) ai1a222諧0,cossin00.70710.70710R1R12()sincos00.70710.70710001001602.12132Ar1ta(0)r1020.707112.121320.707114cos =(1+t2)-1/2=0.7071,sin =tcos =0.7071类似地有7.3637800.19264A01.627810.010980.192640.010983.008417.372280.000480a(5)0.000481.627810.0109700.010972.999917.345210.3786807.345210.325830.