高职《经济应用数学》系列精品课件5

1、函数极限的概念函数极限的概念Functional limitFunctional limit函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)&知识目标知识目标 掌握函数的极限的概念掌握函数的极限的概念&能力目标能力目标 会用函数的极限概念翻译经济与趋势相关问题会用函数的极限概念翻译经济与趋势相关问题函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate) 子任务导入子任务导入公司为了有效激励员工的发展，决定设立一项奖励基金，

2、用于对年度优秀员工的奖励。公司相关规定要求：（1）.该项奖励基金每年发放一次，发放时间为每年年底；（2）.每年发放奖金总额为A万元。为了保证基金的有效运转，公司决定先拿出一笔钱作为了保证基金的有效运转，公司决定先拿出一笔钱作为奖励基金，已知该基金投资的固定收益。你作为该为奖励基金，已知该基金投资的固定收益。你作为该项目的决策者之一，试根据基金设定年限（一定年限项目的决策者之一，试根据基金设定年限（一定年限的基金或永续基金），科学地作出基金投入金额决策。的基金或永续基金），科学地作出基金投入金额决策。函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)子任

3、务分析子任务分析 基金的投入资金取决于基金的年限，投入资金的固定收益计算等，因此，要科学地作出该项基金的资金投入决策，必须解决如下几方面的问题：1单利或复利形式下的资金本息的计算；2资金的现值计算；3函数值的计算和函数极限的计算 函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)单利或复利形式下的资金本息的计算知识回顾知识回顾单利形式下的资金本息和)1 (0rtASt复利形式下的资金本息和ttrAS)1 (0设某笔贷（存）款本金为 元 ，年利率为 ，投资 0Ar年限为 年tmttmrAS)1 (0年复利连续复利函数极限和计算函数极限和计算(Functi

4、onal limit and calculate)资金的现值计算按单利方式，该票据的现值P为 rtSPt1按年复利方式，该票据的现值P为 ttrSP)1 ( 函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)则每年年金现值之和为：若每年末年金为，则按年复利计算公式可得第年到第t年末年金现值P，P，,Pn为：1Ar2(1)Ar3,(1)Ar(1)tAr1APr2(1)Ar3(1)Ar(1)tAr11(1)tArr函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)如果这笔基金设置t年，那么开始投入的资金为11(1)

5、tAPrr如果这笔基金设置为永久基金，那么开始投入的资金怎么计算呢？11(1)tAPrr找出年限无限增长( )时，P的变化趋势t 如何求一个对象的变化趋势？新课题啦！新课题啦！函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)3函数值的计算和函数极限的计算 新课题新课题函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate) 实例实例1 1【变化趋势问题变化趋势问题】 小时候，我们调皮时，父母经常会教训我们： “孩子呀，你如果长期这样下去，就完蛋了！” 请问这句话包含一种什么样的思想？ 如果用数学语言描述它，请问你如

6、何描述？采用什么样的数学符号来表示这类问题呢？数学描述：数学描述：如何变化？时，问表示我们的变化趋势表示时间设ytyt,函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)实例实例1 1【储蓄问题储蓄问题】某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行，年利率为5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？数学描述：数学描述：如何变化？时，问表示一年后的本息和表示结算次数设ynyn,函数极限和计算函

7、数极限和计算(Functional limit and calculate) 这类问题有一个共同特征：当自变量逐渐增大时，这类问题有一个共同特征：当自变量逐渐增大时，相应函数值接近于某一常数相应函数值接近于某一常数 极限极限 极限的本质：极限的本质：找事物的变化规律（当自变量在某找事物的变化规律（当自变量在某一变化过程中）一变化过程中）函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)定义： 如果当x趋向正(或负)无穷大时(x+)(或x-) ，函数f(x)无限接近于一个确定的常数(yA）,那么A称为函数f(x)当x趋向正无穷大时的极限，记作 (或 )A

8、f(x)limx021lim:例如xx一、当一、当xx时时, ,函数函数 的极限的极限)(xfAf(x)limx01limxx函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)该例结论又可写成 =0例1 已知函数y= ,判断当x+和x-时函数的极限x1解： limx0 x1x+和x-可以写为xlimxx1作 图象x1y limx0 x1函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)实例训练实例训练1 1【设备折旧费设备折旧费】某厂对一生产设备的投资额是1万元,每年的折旧费为该设备账面价格(即以前各年折旧费用

9、提取后余下的价格)的 ,那么这一设备的账面价格(单位:万元)第一年为1,第二年为 ,第三年为 ,第四年为 ,-,那么按此变化趋势,随着年数的增加,账面价格如何变化?1011092)109(3)109(解解: : 按此变化趋势,第n年时，设备的账面价格为：1)109(n0)109(1limnn函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)定义：当x时，函数f(x)无限接近于某个确定的常数,那么A称为函数f(x) 当x时的极限，记作 f(x)=A或(当x时f(x)A)。 limxAAxxxf(x)limf(x)limf(x)lim:注函数极限和计算函数

10、极限和计算(Functional limit and calculate)例2 已知函数y=arctanx,试讨论当x时,y=arctanx是否有极限，为什么？解：作图由图可见，x+时，arctan x2x-时，arctan x -2不存在所以因为arctanxlimarctanx,limarctanxlimxxx-7.5-5-2.52.557.5-1.5-1-0.50.511.522xy函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)实例训练 建立一项奖励基金，每年年终发放一次，资金总额为10万元，若以年复利率5%计算，试求：（1）、奖金发放年限为

11、10年，基金P应为多少？（2）、若奖金发放永远继续下去，即奖金发放年数（此时称为永续性奖金），基金P又应为多少？ 设P为第n年末年金现值，n为第n年末年金，为年利率，则按年复利基本计算公式为解：nnRPS)1 ( 注：复利年金现值是指按复利计算时每年发生的年金现值之和函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)RARRAnn)1 (11 lim则每年年金现值之和为：若每年末年金为，则按复利计算公式可得第年到第n年末年金现值，n为：RA12)1 (RA,)1 (3RAnRA)1 ( RAP12)1 (RA3)1 (RAnRA)1 ( )1 (11

12、nRRA当年金的年数永远继续，即时，称为永续年金n函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)故永续年金的现值计算公式为：RAP (1)、当奖金发放年限为10年时，所求为普通年金现值217.77)05. 01 (11 05. 01010P(2)、当奖金发放年限为 时，所求为永续年金现值n所以20005. 010P函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)实例实例 如果你计划工作五年后的存款达到30万元，想根据自己当前的存款速度，预测五年后能否实现存款计划。如何利用数学工具进行预测？ 数学描述：数学

13、描述：如何变化？时，问年末存款的总额表示到表示时间设yxxyx5,函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)定义定义3 3：如果当x无限接近于定值x，即 x x（x可以不等于x ）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数，那么称为函数f(x)当x x 时的极限，记作:A时f(x)xA或当xf(x)lim0 xx0二、当二、当 时时, ,函数函数 的极限的极限)(xf0 xx函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate):函数值的变化情况2时当x,2x4x1和函数f(x)2x观察函数f(x)2xy0

14、22xy0 2412)(xxf24)(2xxxf2、函数在xx0时有无极限与函数在x0处有无定义无关注意：1、定义中“xx0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x02) 12(lim2xx424lim22xxx函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)数学训练：讨论下列极限是否存在：xx1lim) 1 (0 xx1sinlim)2(0 xy(1,1)0y=x1不存在解xx1lim:0不存在解xx1sinlim:0 xy1sin 函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)引例【药物总量】

15、一个病人每隔4小时注射一次150mg药物，图1-12显示了病人血液中药物的总量f (t )与时间t 之间的关系，讨论当t 4 时，函数f (t ) 的极限。84tf(t)0图1-12 在函数极限的定义中 ，tt0 的方式是任意的。该函数为分段函数，在t = 4的左、右两侧，函数f (t )的表达式不同，此时只能先对t = 4 的左、右两侧的变化趋势进行讨论。三函数在点x0的左、右极限 函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)Af(x)limf(x)limAf(x)lim:注000 xxxxxxAAf(x)limf(x)lim00 xxxx或定

16、义4: 如果当 趋于 , 即 （或 ）时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,那么A 称为函数f(x)当 xx0时的左极限(或右极限),记作 )(00 xxxx或0 x0 xx0 xx函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)1212-1试分别讨论,x1x21x0 x0 x1x设函数f(x) 例321) 1(lim)(lim00 xxfxx:解0lim)(lim200 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx不存在)(lim0 xfx1lim)(lim:211xxfxx解1)2(lim)(lim11xxfxx1)(lim)(lim1

17、1xfxfxx1)(lim1xfx1时f(x)的极限.0和x当x函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate) 练习练习1【循环数循环数】观察循环数列，或，nkk110199999. 0999. 099. 09 . 0的变化趋势此数列无限接近于1，即11019lim1nkkn解：可以看出，随着项数n的无限增大，函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)11232100,32100,32100,32100100nn或，从数列的变化趋势可以看出，随着次数n的无限增大，数列无限接近于0，即032100li

18、m1nnlim0,1nnqq解：得数列 练习练习2 【弹球模型弹球模型】一只球从100米的高空掉下，每次弹回的高度为上次高度的 , ,这样下去,用球第32, 2 , 1n次的高度来表示球的运动规律函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)练习练习3【房贷分析房贷分析 】小王工作后为了买婚房，需要从银行贷款P元，贷款年利率为r，若贷款月数为 n个月，请帮小王分析按等额本息还款方式，他每个月需要还款金额。 解解 设St表示第t个月后仍欠银行的金额，x表示每个月的还款金额， 表示月利率，则 120rr 一个月后还欠xrPS)1 (01210(1)SSrx两个月后还欠200(1)1 (1)Prxr函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)三个月后还欠n个月后还欠320(1)SSrx32000(1)1(1)(1) Prxrr )1 ()1 ()1 (1 )1 (102000nnnrrrxrPS000 1)1()1 (rrxrPnn函数极限和计算函数极限和计算(Functional limit and calculate)1)1 ()