版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、特征根法在求递推数列通项中的运用 各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如:(08年广东高考)设p、q为实数,、是方程x2-px+q=0的两个实数根,数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1)2)求数列xn的通项公式。3)若,求数列xn的前n项的和sn(09年江西高考)各项均为正数的数列 中,1)当。像上述两道题,如果不能顺利求出数列的通项公式,就不能继续做后面的题,想得高分就难,对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字遗憾
2、。本文就一、两种题型进行探讨,重点强调求解数列通项公式的方法之一特征根法的运用,希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为(其中p,q均为非零常数)。先把原递推公式转化为,其中满足,显然是方程的两个非零根。1) 如果,则,成等比,很容易求通项公式。2) 如果,则成等比。公比为, 所以,转化成: ,( i )又如果,则等差,公差为,所以,即: 可以整理成通式: ii)如果,则令,,就有,利用待定系数法可以求出的通项公式所以,化简整理得: ,小结特征根法:对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中a,b由决定(即把和,代入,得到关于a、b的
3、方程组);当时,数列的通项为,其中a,b由决定(即把和,代入,得到关于a、b的方程组)。简例应用(特征根法):数列:, 的特征方程是:,。又由,于是故 下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用:设p、q为实数,、是方程x2-px+q=0的两个实数根,数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1)2)求数列xn的通项公式。3)若,求数列xn的前n项的和sn解:2)显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0,而、是方程x2-px+q=0的两个实数根,所以可以直接假设:1 当=时,设,因为x1=p,x2=p2-q
4、,所以 解得2 当时,设,因为x1=p,x2=p2-q,所以 解得,+3),时,由第2)小题的项可以直接得到 ,可以用错位相减法求和顺利拿下第3)小题。本题是08年广东高考真题,开始前两问均以字母的形式出现,给考生设置了接题障碍,如果在考前曾经学过特征根法,记住公式,那本题对这同学来说无疑是几分种的事情,或对特征根法有一定的了解,也许是多花点时间的问题,至少是接题思路和方向明确,绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答:类型二、 解法:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常
5、数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果则;如果则是等差数列。当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。(证明方法如同类型一,从略)例:已知数列满足性质:对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根,则有 即例:已知数列满足:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?解:作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)对于都有(2) 令,得.故数列从第5项开始都不存在, 当4,时,.(3) 令则对于(4)、显然当时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,时,数列是存在的,当时,则有令则得且2.当(其中且n2)时,数列从第项开始便不存在。于是知:当在集合或且2上取值时,无穷数列都不存在。变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分12分)数列记()求b1、b2、b3、b4的值;()求数列的通项公式及数列的前n项和解:由已知,得,其特征方程为解之得,或, 下面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题各项均为正数的数列 中,1)当解:由得化间得,作特征方程,。所以 从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 手术分级管理制度
- 2023年常规冷却塔资金需求报告
- 店面转让合同
- 江西南昌市西湖区第二十四中学2024届中考数学押题试卷含解析
- 漏洞挖掘理论与技术综述
- 第三单元核心素养测试-2024-2025学年语文六年级上册统编版
- 专题01 数与式的相关概念(原卷版)
- 综合教学楼外墙装饰装修工程施工组织设计方案
- 山东农田复垦的施工组织设计
- 公开课教案教学设计课件苏教初中语文九上《与朱元思书》课件-(一1)
- 《商品信息采集与处理》职业活动教学设计(第一章)
- 2024-2025一年级上册科学教科版1.5 《植物的变化》课件
- 2024语文新教材培训讲座:初中语文教材修订的变与不变
- 5《协商决定班级事务》第一课时教学设计-2023-2024学年道德与法治五年级上册统编版
- 无人机遥感网
- 橡胶和塑料的数字化与智能化
- 养殖水环境及控制课件
- [设计]北大汇丰高尔夫球队组建方案
- 霸气YY游戏频道设计模板
- 超简约个人简历模板
- 钢筋混凝土挡土墙模板、脚手架施工方案(完整版)
评论
0/150
提交评论