2010年海淀区高三年级第二学期一模文科试题参考答案

1、3分，第二空2分，共二、填空题30分）9.410.2y =8x 11.612.3013.14.二，12 二15.解:（本小题满分13分）（I ）由图可知，A=1丄 ,所以T = 2二42所以 = 1ji又 f(2)=sin()=1，且ji 2海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）参考答案及评分标准2010. 4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第I卷（选择题共40 分）题号12345678答案ACBCDABA、选择题（本大题共 8小题,每小题5分,共40分）（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空第II券（非选择题 共110分）所以=-4所以 f (x)二sin(x

2、).(H )由(1)f(x)5(x 盲),所以 g(x)二 f (x ) f (x ) = sin(x) sin(x-4444n= sin(x )sin x2=cosx sinx10分1sin 2x2因为 x 0,，所以 2x 0,二,sin2x 0,121 _ 1故：一sin 2x 0, ,2 21当x 时，g (x)取得最大值_ . 13分4216. (本小题满分13分)解：(I)设“甲获得优惠券”为事件 A 1分因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，一 一 一 1所以指针停在20兀，10兀，0兀区域内的概率都是 3分3顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或1

3、0元区域，1 1 2根据互斥事件的概率，有 P(A), 6分3 332所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是上.3(II)设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B 7分因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为X元，第二次获得优惠券金额为 y元，则基本事件空间可以表示为：11 二(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)即门中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为10分而乙获得优惠券金额不低于20元，是指x y _ 20 ,所以事件B中包含的基本事件有 6个,11分所以乙获得优惠

4、券额不低于20元的概率为p(B)詣13分20元的概而PA _平面又 paam(II)因为 SamcJam2又PA _底面ABCD,PA =2,所以 AN =1答：甲获得优惠券面额大于 0元的概率为-，乙获得优惠券金额不低于32率为317. (本小题满分14分)证明：(I )因为ABCD为菱形，所以 AB=BC又.ABC =60，所以 AB=BC=AC ,又M为BC中点，所以BC _ AMABCD , BC 平面 ABCD，所以 PA _ BC二A，所以BC _平面AMN1所以，三棱锥N-AMC的体积VSamc an(III)存在10分取PD中点E,连结NE, EC,AE,1因为N, E分别为P

5、A PD中点，所以NE AD 11分21又在菱形ABCD中，CM/AD2所以NE/MC，即MCE是平行四边形12分所以，NM/EC，又EC 平面ACE，NM二平面ACE所以MN /平面ACE , 13分即在PD上存在一点E,使得NM /平面ACE ,1此时 PE PD 二 2 . 14 分218. (本小题满分14分)解：(I)因为 f(1)=0,g(1) =0,所以点(1,0)同时在函数f (x), g(x)的图象上因为 f (x) =x2 1,g(x)二alnx , f (x) =2x , 3分g(x) 5 分x由已知，得f(1)=g(1)，所以2=，即a = 26分1(II)因为 F(x

6、)二 f (x) _2g(x) = x2 -1 - 2aln x( x 0) 7 分所以F(x)=2x_迦二坐8分xx当a ：0时，2因为x0,且x -a 0,所以F(x)0对x 0恒成立，所以F(x)在(0：)上单调递增，F(x)无极值 10分;当a 0时，令 F(x) =0,解得 x a, x2 = - a (舍) 11 分所以当x 0时，F (x), F(x)的变化情况如下表:x（0,応）（品F(x)0+F(x)极小 值匚所以当X = a时，F (x)取得极小值，且综上，当a ： 0时，函数F（x）在（0,：）上无极值;当a 0时，函数F(x)在x = _ a处取得极小值 a -1 -

7、aln a.19.（本小题满分13分）解:2 2（l）设椭圆C的方程为 笃 与=1,（a b 0），由题意可得a b又 a2 = b2 c2，3 所以b2a24因为椭圆C经过9(1, 3 )，代入椭圆方程有4+尹=12a23 2a4所以c=1，b22 2=4 -3故椭圆C的方程为-y 143解法一:33当直线l - x轴时，计算得到：A(-1,- ), B(-1,),2 21 13S AOB | AB| |OF1|1 3，不符合题意.2 22当直线I与x轴不垂直时，设直线I 的方程为：y =k(x - 1),k = 013分14分y = k(x 1)由x2y2，消去y ,得14 32 2 2

8、2(34 x 8 x 412-0 7分显然： 0成立，设 A(x1, y1), B(x2, y2)，则 xx24k2 -123 4k2F( .a) = ( .a)2-2aln、a 二a-1-alna.又 I ABE.lX - X2)2 (% -y2)2 f 讹 -X2)2 k2(x1 -X2)2=、1k2_ (% X2)21k2.(xx2)2 4%x21 k2,64k42 2 _4(4k2_12)Y(3 +4k2)23 +4k2即 |AB|k 近3 + 4k3+4k10分又圆O的半径rk_二k 1k 1Ji +k2Ji +k21所以 S AOB t 1 AB| r =专21 12(k1)3 4

9、k2_|k|_ = 6|k| ;Vk2 _ 6.2一3 4k2-4 2 2 2化简，得 17k k -18=0,即卩(k -1)(17k18)=0,18解得k = 1,k2(舍)17所以，r=k|2，故圆O的方程为：x2y2J22(n)解法二：11分12分13分化简得到 18t4 -t2 -17 =0，即(18t217)(t2 T) = 0 ,设直线I的方程为 x二ty -1，x =ty -1由x2y2，消去 X,得(4+3t )y _6ty_9 = 0 7 分+ = 1.43因为-恒成立，设A(xyj, B(x2, y2),则 y1yr63t?,y1y24 3t2所以 |% * |= Oy2

10、)2 -4% y?所以S.aob36t236 (4 3t2)24 3t2| F1O | | 乂一业 F_12t214 3t26t2 143t2627解得 t12 =1,t22 二J7 （舍）18又圆0的半径为|0 -t 0 1|.1 t2.1 t211分12分1所以r二.vt2=2，故圆o的方程为:2X2y2a3 W 220 .(本小题满分13分)解：（I）因为 ai =1,所以 a2 = 1 2ai = 3 ,a“1+2a2=7, a2a2 2(n)由题意，对于任意的正整数n , bn = a2n丄 1,所以 bn 1 = a2n 14 分又 a2n 1 = （2a2n 1） 1 = 2（a

11、2nL 1） = 2bnT所以bn1 =2bn 6分又0 = a21丄1 =印 1 = 2 7分所以fbn?是首项为2,公比为2的等比数列，所以bn =2n 8分(III )存在.事实上，对任意的 m_2,kN*，在数列an中，a2m a2m十a2m七.，a2m七m这连续的2项就构成一个等差数列10分我们先来证明：“对任意的 n_2,n N* , k（0, 2n4）,k N*，有 a* =2n -1” 由（II ）得 bn =a2n丄 2n，所以 a2n= 2n -1 .1 1当k为奇数时，a2n_k爲2护上2222当k为偶数时，a2nf =1 +2a2n=1 +2&2心車-2k, k为偶数，

12、记匕二三2-1, k为奇数,2kk因此要证a2ni.k =2n -1，只需证明Qn* =2n其中 ki（0, 2心）,kiN（这是因为若a2n _2 k - 2 - 1 - 2，则当k =W 时，则k 一定是奇数,2有 a2nlk =2 2a2n2 罗2（2n J -i -号）1 2（2nJ2k -i2 n k-i=2n -i -2 2k当ki 时，则2k一定是偶数，有a2j =i 2a2n 丄 k =i 2冬上 k2说明：当 口2 1 （其中1 - 2, 口1 N , 口2 N ）时,k=i 2（2n-i -号）=i 2（2ni 一_|） =2n i 一）n2 ki如此递推，要证ak =22一1一号，只要证明a2n* =2心-1-号，&,&为偶数，其中 k2 =三 2，k2 （0,2n；）,k2 N匸，ki为奇数，2如此递推下去，我们只需证明a2i ,kn 2k宀诗， T-N55即/广22亠厂3一2 9，即2，由（I）可得,所以对 n _ 2, n N* , k （0, 2n，）,k N*,对任意的m _ 2, m N ，口 i丄i 1.分.j = 21 -，如 i I = 2