东华大学电路分析PPT第7章 一阶电路与二阶电路的时域分析

1、第第7 7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路1. 1. 动态电路的方程及其初始状态动态电路的方程及其初始状态3.3.一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应l 重点重点：(First-Order Circuits and Second-Order Circuits) 2. 2. 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应4.4.一阶电路的全响应一阶电路的全响应6.6.二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应5.5.二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1 1. . 动态电路动态电路 7.1

2、7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。特点例例0ti2/RUiS)(21RRUiS过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路+-usR1R2（t = 0）ii = 0 , uC= Usi = 0 , uC = 0 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：达到新的稳定状态：k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电

3、路处于稳定状态：电容电路电容电路k+uCUsRCi (t = 0)+- - (t )+uCUsRCi+- -前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuct0?iRUS有一过渡期有一过渡期uL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到新的稳定，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：状态，电感视为短路：k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电感电路电感电路k+uLUsRi (t = 0)+- -L (t )+uLUsRi+- -前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新

4、的稳定状态t1US/Rit0?uLSU有一过渡期有一过渡期 (t )+uLUsRi+- -k未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：uL= 0, i=Us /Rk断开瞬间断开瞬间i = 0 , uL = 工程实际中在切断电容或电感电路时工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。会出现过电压和过电流现象。注意k (t )+uLUsRi+- -过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。时间来完成。

5、twp电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化p0 t)(ddSCCtuutuRC应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：若以电流为变量：若以电流为变量：)(d1StutiCRittuCitiRd)(dddS2 2. . 动态电路的方程动态电路的方程 (t 0)+uCUsRCi+- -)(SCtuuRituCiddC例例RC电路电路)(SLtuuRi)(ddStutiLRi应用应用KVL和电感的和电感的VCR得得：tiLuddL若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：)(dSLLtuutuLRttutuuLRd)(dddSLL

6、 (t 0)+uLUsRi+- -RL电路电路有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。一阶电路。)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC)(SCtuuuRiL二阶电路二阶电路tuCiddC2C2ddddtuLCtiLuL (t 0)+uLUsRi+- -CuCRLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的VCR得得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性

7、常微分方程，称二阶电路。为二阶线性常微分方程，称二阶电路。一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。 描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程； 动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。结论高阶电路高阶电

8、路电路中有多个动态元件，描述电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。电路的方程是高阶微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn动态电路的分析方法动态电路的分析方法 根据根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程；复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法 求解微分方程求解微分方程经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。稳态分析和动态分析的区别稳态分析

9、和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的通解微分方程的通解任意激励任意激励SUxatxa01dd0 dtdx tSUxa 0直流时直流时 t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条件电路的初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件为初始条件为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数及其各阶导数的值。的值。注

10、意0f(t)0()0( ff00)0()0( fft图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求求开关闭合后电容电压随时间的变化。开关闭合后电容电压随时间的变化。例例解解0ddccutuRC)0( 0tuRic特征根方程：特征根方程：01RCpRCp1通解：通解：oUk RCtptckeketu)(代入初始条件得：代入初始条件得：RCtoceUtu )( 在动态电路分析中，初始条件是得在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。到确定解答的必需条件。明确R+CiuC(t=0)d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCi

11、Cut = 0+ 时刻时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+- 电容的初始条件电容的初始条件0当当i()为有限值时为有限值时q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q =C uC电荷电荷守恒守恒结论d)(1)(tLuLtid) )(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL 电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻0d)(1)0(0tLuLi当当u为有限值时为有限值时iLuL+-L (0)= L

12、 (0)iL(0)= iL(0)LLi 磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0) 换路定律换路定律 电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流

13、保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保持不变。 换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。注意 电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8VmA2 . 010810)0(Ci(1) 由由0电路求电路求 uC(0)uC(0)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)电电容容开开路路+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路等效电路+-10ViiC

14、10k电电容容用用电电压压源源替替代代注意)0()0(LLuuiL(0+)= iL(0) =2AV842)0(Lu例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关S , ,求求 uL(0+) 先求先求A24110)0(Li 应用换路定律应用换路定律: :电电感感用用电电流流源源替替代代)0( Li解解电感电感短路短路iL+uL-L10VS14+-iL10V14+- 由由0+等效电路求等效电路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意求初始值的步骤求初始值的步骤: :1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和

15、和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b. b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. a. 换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。小结iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求求 iC(0+) , uL(0+)0)0(RRiiiSsC例例3解解由由0电路得电路得：由由0+电路得电路得：S(t=0)+uLiLC+

16、uCLRiSiCRiS0电路电路uL+iCRiSRiS+得得0+电路电路：V24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii例例4求求S 闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解A83/ )2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu由由0电路得电路得：由由0+电路得电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC12A24V+-48V32+-iiC+-uL求求S 闭合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值解解 确定确定0值值A12020)0()0(LLiiV10)0()0(CCuu 给出给出0等效电路等效电路A2

17、110101020)0(kiV1010)0()0(LLiuA110/ )0()0(CCui例例5iL+20V-10+uC1010iL+20V-LS10+uC1010C1A10Vki+uLiC+20V-10+10107.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电动态元件初始储能产生的电压和电流。压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC (0)=U00CRuutuCiCdd uR= Ri零输入响应零输入响应iS(t=0)+uRC+uCR0)0(0ddUuutuRCCCCRCp1 特征根特征

18、根特征方程特征方程RCp+1=0tRC eA1 ptCeAu 则则代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR000teIeRURuiRCtRCtC0 0teUuRCtcRCtRCtCeRURCeCUtuCi00)1(dd 或或tU0uC0I0ti0令令 =RC, , 称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 秒伏安秒欧伏库欧法欧 RC 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续连续函数函数跃变跃变 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC 有关有关;

19、 ;表明时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（ C一定一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小 大C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 储能大储能大11 RCp物理含义物理含义a. :电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为, , 经过经过 35 , 过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.00

20、7U0 t0 2 3 5t ceUu 0U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 注意 t2 t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于211C1C0C0)()(1dd11tttutueUtutttU0tuc0t1t2)(368. 0)(1C2Ctutu次切距的长度次切距的长度RCteUu 0Cb. 时间常数时间常数 的几何意义：的几何意义： 能量关系能量关系tRiWRd02电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻

21、吸收（消耗）能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20| )2(RCteRCRUuCR+C例例1图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有24V电压，求电压，求S 闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：+uC45Fi1t 0等效电路等效电路0 0CteUuRCti3S3+uC265Fi2i1s 2045 V 240RCU+uC45Fi10 V2420 teutc分流得：分流得：A6420 1tCeuiA43220 13t

22、eiiA23120 12teiii3S3+uC265Fi2i1例例2求求:(1)图示电路图示电路S 闭合后各元件的电压和电流随闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。刻的储能及电阻的耗能。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：F42112CCCCCu (0+)=u(0)=-20Vu1（0-）=4VuSC1=5F+-iC2=20Fu2（0-）=24V250k+uk4F+-i20V250k020 teuts 1104052 3RCA80102503teuiV2016 d

23、805141(0)00111)e(ted)( iCuuttttV204 d8020124d1(0)00222)e(te)( iCuuttttJ40)16105(216-1wJ50005800 初始储能初始储能J5760)241020(2126-2w最终储能最终储能J5000201020)5(2126-11www电阻耗能电阻耗能J800d)80(10250d02302RtttetRiw2.2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp特征根特征根 代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I001)0()0(IRRUiiSLL00ddLLtRitiLptAeti)

24、(L0)(00LteIeItitLRptt 0iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLRRLt LLeRItiLtu/0)( dd0)(/ 0teItiRLtLtI0iL0连续连续函数函数跃变跃变 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明-RI0uLt0iL+uLR 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关有关; ;秒欧安秒伏欧安韦欧亨 RL 令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 = L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短

25、L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定： 能量关系能量关系tRiWRd 02电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReIRLt d2/00)( 2021LI teRIRLt d/2020 0220| )2/(RCt eRLR

26、IiL+uLRiL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1t=0时时, ,打开开关打开开关S，求求uv0/ t eit L。电压表量程：。电压表量程：50VsRRLV4104100004 0100002500 teiRutLVV解解iLS(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+ +- -例例2t=0时时, ,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及电感电压和电流及开关两端电压开关两端电压u12。s 166RL解解A26366/32424)0()0(LLii66/)42(3 Ri+uL66Ht 0iLS(t=0)

27、+24V6H3446+uL2120 V12A 2 tetiLueitLLtLddV424242412tLeiui+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应起的响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。函数。teyty )0()(iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路电路 RL电路电路小结 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。称为零输入线性。 衰减快慢取决于时间常数衰减

28、快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结 = R C = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路电路RL电路电路动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：CCCuuu 1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解iS(

29、t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtAeu C变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量）特解（强制分量）CuSCCddUutuRC的特解的特解全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 ARCtAeUuutu SCCC)() 0( )1 ( S SSCteUeUU

30、uRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd-USuC“uCUStiRUS0tuC0 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）表明+ 响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 大，大，充电慢，充电慢， 小充电就快。小充电就快。 响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系； 能量关系能量关系2S21CU电容储存能量：电容储存能量

31、：电源提供能量：电源提供能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CU电阻消耗能量：电阻消耗能量：tRRUtRiRCted)(d20S02 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。表明RC+-US例例t=0时时, ,开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0)=0，求求(1)电容电容电压和电流电压和电流, ,(2) uC80V时的充电时间时的充电时间t1 。解解 (1)(1)这是一个这是一个RC电路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：)0( V)1 (100 )1 (200 SCt-eeUut-RCts

32、1051050035RCA2 . 0d200SCtRCteeRUtuCid(2)(2)设经过设经过t1秒秒，uC80V .t-et-s0458)1 (1008012001m50010F+-100VS+uCi2. 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtiLdd)1 (SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUSiLS(t=0)US+uRL+uLR+)1 (SLtLReRUitLReUtiLuSLLdduLUSt0iLS(t=0)US+uRL+uLR+例例1t=0 时时, ,开关开关S打开，求

33、打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：200300/20080eqRs01. 0200/2/eqRLt 0A10)(LiA)1 (10)(100LtetiV200010)(100100eqLtteeRtuR80iLS+uL2H10A200300iL+uL2H10AReq例例2t=0开关开关s 打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：201010eqRV201020Us1 . 0

34、20/2/eqRLiL+uL2HUoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1 ()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIu105iLs+uL2H2A10+u7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。SddUutuRCCC以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1. 1. 全响应全响应全响应全响应iS(t=0)US+uRC+uCR解为：解为： uC(t) = uC + uC“ 特解特解 uC

35、 = US通解通解tCAeu = RCuC (0)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值定由初始值定A0)(0 teUUUAeUutSStSC强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )自由分量自由分量( (暂态解暂态解) )2. 2. 全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应 = 强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )+ +自由分量自由分量( (暂态解暂态解) ) 着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰全响应全响应 = = 零状态响应零状态响应 + +

36、零输入响应零输入响应)0()1 (0 teUeUuttSC 着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC (0)=U0+S(t=0)USC+RuC (0)=U0S(t=0)USC+RuC (0)= 0)0()1 (0 teUeUuttSC零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0例例1 t=0 时时 , ,开关开关S 打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。解解 这是这是RL电路全响应问题，电路全响应问题，有：有：s20/112/6 . 0/RLA64/

37、24)0()0(LLiiA6)(20tLeti零输入响应：零输入响应：A)1 (1224)(20tLeti零状态响应：零状态响应：A42)1 (26)(202020tttLeeeti全响应：全响应：iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8或求出稳态分量：或求出稳态分量：A212/24)(Li全响应：全响应：A2)(20 tLAeti代入初值有：代入初值有：62AA=4例例2 t=0时时 , ,开关开关K闭合闭合，求求t 0后的后的iC、uC及电及电流源两端的电压。流源两端的电压。解解这是这是RC电路全响应电路全响应问题，有：问题，有：)1,V1)0(FCuC稳态分量：稳态分量：V11110)

38、(Cu+10V1A1+uC1+u1V1011)(5 . 0tCetuA5)(5 . 0tCCetutiddV512111)(5 . 0tCCeuitus21) 11 ( RC全响应：全响应：V11)(5 . 0tCAetu+10V1A1+uC1+u13. 3. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：teAtftf )()(令令 t = 0+Atff 0)()0( 0)()0(tffAcbftfadd其解答一般形式为：其解答一般形式为：特特解解tefftftf )0()0()()( 时时间间常常数数初初始始值值稳稳态态

39、解解三三要要素素 f f )0()( 分析一阶电路问题转为求解电路的三分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。个要素的问题。用用0+等效电路求解等效电路求解用用t的稳态的稳态电路求解电路求解直流激励时：直流激励时：)()0()(fftfteffftf )()0()()(A注意V2)0()0(CCuuV667. 01) 1/2()(Cus2332eqCR033. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 t eeuttC例例1已知：已知：t=0 时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)解解tuc2(V)0.6670tCeuuutu)()0()()(CCC1

40、A213F+-uC例例2t=0时时 , ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(6 . 0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(LiiL+20V0.5H55+10Vi2i1tLLLLeiiiti )()0()()(三要素公式三要素公式046)62(6)(55 t eetittLV10)5()4(5 . 0)(55ttLLeetiLtuddA225/ )10()(51tLeutiA245/ )20()(52tLeuti三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(6 . 0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/

41、205/10)(Li046)62(6)(55 t eetittLA22)20(2)(551tteetiA24)42(4)(552tteetiA0110)2010()0(1iA2110)1020()0(2iA25/10)(1iA45/20)(2i0等效电路等效电路+20V2A55+10Vi2i1例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后的求换路后的uC(t)解解三要素为：三要素为：V12624)(111iiiuCV8)0()0(CCuu4+4i12i1u+10/1011 iuRiueq2A410.1F+uC+4i12i18V+12teuuutu)()0()()(CCCCV201212

42、812)(Ctteetus11 . 010eqCR例例4已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。+1H0.25F52S10Vi解解三要素为：三要素为：V10)0()0(CCuu0)( Cus5 . 025. 02eq1CRV10)()0()()(2CCCCtteeuuutu0)0()0( LLiiA25/10)(Lis2 . 05/1/2eqRLA)1 (2)()0()()(5ttLLLLeeiiiti)A5)1 (2(2)()()(25ttCLeetutiti+1H0.25F52S10Vi已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能t = 0 时合时合S

43、1 , t =0.2s时合时合S2 ，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2sA52/10)(5 . 02/1/A26. 1)2 . 0(2iRLiAei26. 122)2 . 0(2 . 05 A74. 35)()2 . 0(2tetii10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-tei522(0 |P1|下 页上 页0 电容电压电容电压返 回)()(21120CttcppeePPLUtuCiddt=0+ ic=0 , t= ic=0ic0 t = tm 时时ic 最大最大tmic)(2112120CttPPePePPPUutU0uc0 电容和电感电流电容

44、和电感电流U0uctm2tmuLic)()(2121120ttLppePePPPUtiLudd)(2112120CttPPePePPPUu0 t 0，t tm i 减小减小, uL 0t=2 tm时时 uL 最大最大0 , , 00LLutUutRLC+-t0 电感电压电感电压iC=i 为极值时，即为极值时，即 uL=0 时的时的 tm 计算如下计算如下:0)(2121ttppePeP 2112ppppntm由由 duL/dt 可确定可确定 uL 为极小时的为极小时的 t .0)(212221ttppePePmtt2)()(2121120ttLppePePPPUtiLudd21122ppppn

45、tmmtPtPeePP2112 能量转换关系能量转换关系0 t tm uC减小减小 ，i 减小减小.RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0 2 )2( CLR LCLRLRP1)2(222, 1 jP( (谐谐振振角角频频率率) ) ( (衰衰减减系系数数) ), ,令令 1 20LCLR： 220(固有振荡角频率)(固有振荡角频率)uc 的解答形式：的解答形式： )( 21)(2121tjtjttptpCeAeAeeAeAu经常写为：经常写为：)sin( tAeutC共轭复根共轭复根0cossin)(0)0(sin)0(00AAdtduUAUuCC由初始条件由初始条件arctgU

46、A， sin00)sin( tAeutc0sin00UA，的的关系关系 )sin( 00teUutC)sin( 00teUutC弦弦函函数数。为为包包线线依依指指数数衰衰减减的的正正是是振振幅幅以以00UuCt=0 时时 uc=U0uC =0：t = -，2- . n- t-2- 20U0uCteU00teU00t-2- 20U0uC iCteLUtuCitCCsin 0dd )sin( 00teUtiLutLdduL=0：t = ，+，2+ . n+ic=0：t =0，2 . n ，为为 uc极值点，极值点，ic 的极值点为的极值点为 uL 零点零点。能量转换关系：能量转换关系：0 t t

47、- t 0+电路的微分方程电路的微分方程(b)求通解求通解(c)求特解求特解(d)全响应全响应= =强制分量强制分量+ +自由分量自由分量定定常常数数由由初初值值)0()0( )(dtdffe7.7 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应1. 1. 单位阶跃函数单位阶跃函数l 定义定义 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )(1)(0)(000tt tt ttt (t-t0)t001t = 0 合闸合闸 i(t) = Is)(t 在电路中模拟开关的动作在电路中模拟开关的动作t = 0 合闸合闸 u(t) = E)(tl

48、 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用SUSu(t)(StUu(t)Is)(tik)(tISu(t) 起始一个函数起始一个函数tf (t)0)()sin(00tttt t0 延迟一个函数延迟一个函数tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt l 用单位阶跃函数表示复杂的信号用单位阶跃函数表示复杂的信号例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 4() 3() 1(2)( ttttf例例 21t1 f(t)0243) 1()1()()( tttttf例例 41t1 f(t)0) 1() 1()( tttt) 1() 1( tt)(t

49、t)4() 3() 1()()( tt tttf例例 31t1 f(t)0243)()() 1 (tt u 例例 5t1 02已知电压已知电压u(t)的波形如图，的波形如图，试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。)1()2()4( tt u ) 1() 1()3( tt u )() 1()2(tt u t1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021)( )1 ()( tetuRCtC)( 1)( teRtiRCt)( teiRCt和和0 teiRCt的区别的区别2. 2. 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应

50、。中产生的零状态响应。阶跃响应阶跃响应iC +uCRuC (0)=0)( t注意)( teiRCt0 teiRCtt01it01ituC10tiC0激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t =t0开始。开始。t- t0RCCeRi 1( t - t0 )(10 tteRRC- t不要写为：不要写为：iC (t -t0)C +uCRR1t0注意)5 . 0(10)(10ttuS求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例10k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效)5 . 0(10)(1

51、0ttuS应用叠加定理应用叠加定理)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5 . 01051010036RCmA )( 51dd2CtetuCitC )( )1 ()(2t tetuC阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22teteittCmA)5 . 0()()5 . 0(22tetett)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)5 . 0()()5 . 0(22teteittC0)5 . 0( 1)( 5 . 00ttt

52、tei2C)5 .0(21)5 .0(2)5 .0(22C632.0 )1(tttteeeeei1)5 . 0( 1)( 0.5sttt分段表示为：分段表示为：分段表示为：分段表示为：s)0.5(mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-2C tetetittt(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.3682. 2. 二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应S0.5RCLCiiiii)(5 . 0tiiiLCR对电路应用对电路应用KCL列结点电流方程有列结点电流方程有已知图示电路中已知图示电路中uC(0-)=0, , iL(0-)=0，求单位阶跃求单位阶跃响应响应

53、 iL(t）例例解解iS0.25H0.22FA)(tiRiLiC0.5iCddRLRuiLiRRt22ddddtiLCtuCiLCC)(44dd5dd22tititiLLLiiiL tptpAAi21ee21 0452pp11p42p代入已知参数并整理得：代入已知参数并整理得：这是一个关于这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为的二阶线性非齐次方程，其解为特解特解特征方程特征方程通解通解解得特征根解得特征根1 i4121eettLiAA (0 )(0 )0LLii(0 )(0 )0CCuu04012121AAAA 4A41( )( )1ee33ttLi ts tt代代初始条件初始条件阶跃响应阶

54、跃响应电路的动态过程是过阻尼性质的。电路的动态过程是过阻尼性质的。341A312A7.87.8* * 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数l 定义定义)0( 0)(tt1d)(ttt(t)10单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限 / 21/ tp(t)- / 21 0)()(lim0ttp)2()2(1)(tttpl 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟1d)()( 0)(000tttttttt (t-t0)t00（1）l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质 冲激函数对时间的积分等于阶跃函数冲激函数对时间的积分等于阶跃函数)( 0 10

55、 0d)(tttttt)(d)( d ttt 冲激函数的冲激函数的筛分筛分性性 )0(d )( )0(d)()(fttftttf)(d)()(00tfttttf同理同理 d)6()(sin tttt02. 162166sin 例例t(t)10f(t)f(0) f(t)在在 t0 处连续处连续f(0)(t)注意)(ddtRutuCccuc不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KCL不成立不成立分二个时间段考虑冲激响应分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为电容充电，方程为(1) t 在在 0 0+间间例例12. 2. 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中激励为单位

56、冲激函数时，电路中产生的零状态响应。产生的零状态响应。冲激响应冲激响应求单位冲激电流激励下的求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。电路的零状态响应。解解注意uC(0)=0iCR(t)C+-uC)0(1)0(CCuCu电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。1d)(dddd0000C00CtttRuttuC01)0()0(CCuuC结论(2) t 0+ 为零输入响应（为零输入响应（RC放电）放电）iCRC+uCCu1)0(C01 CteCuRCt01 CCteRCRuiRCtuCt0C1)(1)()(1 C CteRCtiteCuRCtRCtiCt1RC10

57、)(ddttiLRiLL例例2求单位冲激电压激励下的求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应分二个时间段考虑冲激响应解解L+-iLR)(t+-uL0)0(LiiL不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KVL不成立。不成立。注意1d)(dd000000tttdtdiLtRiLL0(0 )-(0 ) =1-+LLL ii)0(1)0(LLiLi(1) t 在在 0 0+间间方程为方程为电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。)0(1)0(LLiLi结论(2) t 0+ RL放电放电LiLR+-uLRLLiL1)0(0

58、1 teLitL0 teLRRiutLL)(1 teLitL)()( teLRtutLiLt0L1uLt1RL0零状态零状态R(t)(te3. 3. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)tttd)(d)()(dd)(tstth激励激励响应响应)()(ttiS先求单位阶跃响应：先求单位阶跃响应：求求: :is (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应uC(t)和和iC (t).例例解解)()1 ()(teRtuRCtCuC(0+)=0 uC()=R = R

59、C iC(0+)=1 iC()=0 )( CteiRCt再求单位冲激响应再求单位冲激响应, ,令：令：)()(Stti令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC)()1 (dd teRtuRCtC)()1 (teRRCt)(1teCRCt)(1teCRCt)()0()()(tfttf0)(dd CtetiRCt)(1)( teRCteRCtRCt)(1)( teRCtRCtuCRt0iC1t0uCt0C1冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应iCt1RC10有限值有限值有限值有限值KVL方程为方程为)(ddddCC2C2tutuRCtuLC0000C00C002C2d)(dddddddtttutt

60、uRCttuLC例例4. 4. 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应RLC+-+-uCiR (t)求单位冲激电压激励下的求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。电路的零状态响应。解解t 在在0至至0间间1ddd002C2ttuLC1)0(dd)0(ddCCtuLCtuLC1ddd002C2ttuLCLiiCL1)0()0(t0+为零输入响应为零输入响应0ddddCC2C2utuRCtuLC 2 CLR ttppeAeAu2121CLCPAPAAA1022112112121PPLCAA0)0()0(CCuu 2CLR )()sin(1 CtteLCut )sin( CtAeut)j( 21