连续型随机变量及其概率密度PPT精品文档

1、概率论概率论第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数概率密度函数的性质概率密度函数的性质三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量概率论概率论则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密度函数概率密度函数, 简称为简称为概率密度概率密度 .一、连续型随机变量及其概率密度函数一、连续型随机变量及其概率密度函数 xF xf t dt 有有,使得对任意使得对任意实数实数 , x对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) ,

2、,x P Xx连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续R(Continuous Random Variable) (Probability Density Function)概率论概率论概率论概率论二、概率密度函数的性质二、概率密度函数的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面积面积为为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件对于任意实数对于任意实数 x1 , x2, (x1 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或

3、或高斯分布高斯分布. X N(, 2)概率论概率论正态分布是概率论中非常重要的分布，正态分布是概率论中非常重要的分布，可以用正态分布来描述的实例非常多，可以用正态分布来描述的实例非常多，例如，各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；例如，各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等。热噪声电流强度；学生们的考试成绩等。正态分布的重要性可以由以下情形加以说明：正态分布的重要性可以由以下情形加以说明：1) 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，正

4、态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响， 但其中任何一个因素都不起决定性作用，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。2) 正态分布有许多良好的性质，正态分布有许多良好的性质， 这些性质是其它许多分布所不具备的。这些性质是其它许多分布所不具备的。3) 正态分布可以作为许多分布的近似分布。正态分布可以作为许多分布的近似分布。概率论概率论

5、 :具有下述性质具有下述性质xf ;12 dxxf ;01 xf 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1,2xt 令令则有则有 dxxfdtet202 122 202tedt 概率论概率论曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx 3 P hX P Xh 0h xexfx,21)(222)( 函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 单调减少单调减少, ,在在 取得最大值；取得最大值；x 22()23,2x xfxex 概率论概率论 xexfx,21)(222)( x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标；的两个拐点

6、的横坐标； 5 22()2223(),2x xfxex 当当x 时，时，f(x) 0. .f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 6概率论概率论决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置, , 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N xexfx,21)(222)( 概率论概率论若固定若固定的值而的值而变化时变化时,则密度曲线的形状不变则密度曲线的形状不变,它沿着它沿着x轴方向平行移动轴方向平行移动若固定若固定的值而的值而变化时，变化时，则密度曲线的位置不变，而其形状将改变，则密度曲线的位置不变，而其形状将改变，当当大时曲线平缓

7、，当大时曲线平缓，当小时曲线陡峭小时曲线陡峭概率论概率论 设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx 概率论概率论1, 0的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布( (Standard Normal Distribution) )3 221,2txxedtx 221,2x xex )(x )(x 概率论概率论的性质的性质 : ;2101 dtet 022210 21212122

8、dtet 221()2txxedtx ;1,2xxRx dtexxt 2221 2212uxutedu 22112uxedu x 1概率论概率论标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于在于, ,任何一个的任何一个的正态分布正态分布都可以通过线性变换转化为都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 则则若若证证: : Z 的分布函数为的分布函数为: : XP ZxPx ,tu 令令 则有则有: duexZPxu 2221 x 22212txedt P Xx 0,1 .XZN 故故 概率论概率论根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布函数

9、制成表，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题就可以解决一般正态分布的概率计算问题. . 2,XN 于是于是: : XFxP Xxx XxP概率论概率论书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表可以解决一般正态分布的概率计算查表. .正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时, (x)的值的值.4概率论概率论),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 则则概率论概率论由标准正态分布的查

10、表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明这说明, ,X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间内区间内, , 超出这个范围的可能性仅占不到超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974 3 3 准则准则5概率论概率论将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , 6826. 0)|(|XP9544. 0)2|(|XP9974. 0)3|(|

11、XP可以认为，可以认为，X X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. . 在统计学上称作在统计学上称作“3 3 准则准则” . .XZ N(0,1) X N(, 2) 时，时，概率论概率论标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 0,1 ,XN设设若数若数 满足条件满足条件u , 01P Xu 则称点则称点 为为u标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.)(x 1 uu u()1u 6 11P Xu 概率论概率论看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在在 0.01 以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 例例:解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h . .设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求概率论概率论因为因为 XN( (170, ,62