数学专业英语吴炯圻第2版23

1、new words & expressions:brace 大括号大括号 roster 名册名册consequence 结论，推论结论，推论 roster notation 枚举法枚举法designate 标记，指定标记，指定 rule out 排除，否决排除，否决diagram 图形，图解图形，图解 subset distinct 互不相同的互不相同的 the underlying set 基础集基础集distinguish 区别，辨别区别，辨别 universal set divisible 可被除尽的可被除尽的 validity dummy 哑的，哑变量哑的，哑变量 visual 可视的

2、可视的even integer 偶数偶数 visualize 可视化可视化irrelevant 无关紧要的无关紧要的 void set(empty set) 2.3 集合论的基本概念集合论的基本概念basic concepts of the theory of setsthe concept of a set has been utilized so extensively throughout modern mathematics that an understanding of it is necessary for all college students. sets are a mea

3、ns by which mathematicians talk of collections of things in an abstract way. 3a notations for denoting sets集合论的概念已经被广泛使用，遍及现代数学，因此对大学集合论的概念已经被广泛使用，遍及现代数学，因此对大学生来说，理解它的概念是必要的。集合是数学家们用抽象的生来说，理解它的概念是必要的。集合是数学家们用抽象的方式来表述一些事物的集体的工具。方式来表述一些事物的集体的工具。sets usually are denoted by capital letters; elements are

4、 designated by lower-case letters.集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。we use the special notation to mean that “x is an element of s” or “x belongs to s”. if x does not belong to s, we write . 我们用专用记号来表示我们用专用记号来表示x是是s的元素或者的元素或者x属于属于s。如果。如果x不属于不属于s，我们记为。，我们记为。when convenient, we shall designa

5、te sets by displaying the elements in braces; for example, the set of positive even integers less than 10 is displayed as 2,4,6,8 whereas the set of all positive even integers is displayed as 2,4,6, the three dots taking the place of “and so on.”如果方便，我们可以用在大括号中列出元素的方式来表示集如果方便，我们可以用在大括号中列出元素的方式来表示集合。

6、例如，小于合。例如，小于10的正偶数的集合表示为的正偶数的集合表示为2,4,6,8，而所有正，而所有正偶数的集合表示为偶数的集合表示为2,4,6, 三个圆点表示三个圆点表示 “等等等等”。xsxsthe dots are used only when the meaning of “and so on” is clear. the method of listing the members of a set within braces is sometimes referred to as the roster notation.只有当省略的内容清楚时才能使用圆点。在大括号中列出集只有当省略的

7、内容清楚时才能使用圆点。在大括号中列出集合元素的方法有时被归结为枚举法。合元素的方法有时被归结为枚举法。 the first basic concept that relates one set to another is equality of sets:联系一个集合与另一个集合的第一个基本概念是集合相等。联系一个集合与另一个集合的第一个基本概念是集合相等。 definition of set equality two sets a and b are said to be equal (or identical) if they consist of exactly the same el

8、ements, in which case we write a=b. if one of the sets contains an element not in the other, we say the sets unequal and we write ab.集合相等的定义集合相等的定义 如果两个集合如果两个集合a和b确切包含同样的元素确切包含同样的元素,则则称二者相等，此时记为称二者相等，此时记为a=b。如果一个集合包含了另一个集如果一个集合包含了另一个集合以外的元素，则称二者不等，记为合以外的元素，则称二者不等，记为ab。example 1. according to this de

9、finition, the two sets 2,4,6,8 and 2,8,6,4 are equal since they both consist of the four integers 2,4,6 and 8. thus, when we use the roster notation to describe a set, the order in which the elements appear is irrelevant.根据这个定义，两个集合根据这个定义，两个集合2,4,6,8和和2,8,6,4是相等的，因为是相等的，因为他们都包含了四个整数他们都包含了四个整数2,4,6,8

10、。因此，当我们用枚举法来描。因此，当我们用枚举法来描述集合的时候，元素出现的次序是无关紧要的。述集合的时候，元素出现的次序是无关紧要的。example 2. the sets 2,4,6,8 and 2,2,4,4,6,8 are equal even though, in the second set, each of the elements 2 and 4 is listed twice. both sets contain the four elements 2,4,6,8 and no others; therefore, the definition requires that w

11、e call these sets equal. 例例2. 集合集合2,4,6,8 和和2,2,4,4,6,8也是相等的也是相等的，虽然在第二个虽然在第二个集合中，集合中，2和和4都出现两次。两个集合都包含了四个元素都出现两次。两个集合都包含了四个元素2,4,6,8，没有其他元素，因此，依据定义这两个集合相等。，没有其他元素，因此，依据定义这两个集合相等。this example shows that we do not insist that the objects listed in the roster notation be distinct. a similar example is

12、 the set of letters in the word mississippi, which is equal to the set m,i,s,p, consisting of the four distinct letters m,i,s, and p.这个例子表明我们没有强调在枚举法中所列出的元素要互不这个例子表明我们没有强调在枚举法中所列出的元素要互不相同。一个相似的例子是，在单词相同。一个相似的例子是，在单词mississippi中字母的集合中字母的集合等价于集合等价于集合m,i,s,p, 其中包含了四个互不相同的字母其中包含了四个互不相同的字母m,i,s,和和p.from

13、a given set s we may form new sets, called subsets of s. for example, the set consisting of those positive integers less than 10 which are divisible by 4 (the set 4,8) is a subset of the set of all even integers less than 10. in general, we have the following definition.3b subsets一个给定的集合一个给定的集合s可以产生

14、新的集合，这些集合叫做可以产生新的集合，这些集合叫做s的子集。的子集。例如，由可被例如，由可被4除尽的并且小于除尽的并且小于10的正整数所组成的集合是的正整数所组成的集合是小于小于10的所有偶数所组成集合的子集。一般来说，我们有如的所有偶数所组成集合的子集。一般来说，我们有如下定义。下定义。in all our applications of set theory, we have a fixed set s given in advance, and we are concerned only with subsets of this given set. the underlying se

15、t s may vary from one application to another; it will be referred to as the universal set of each particular discourse. （35页第二段）页第二段）当我们应用集合论时，总是事先给定一个固定的集合当我们应用集合论时，总是事先给定一个固定的集合s，而我们只关心这个给定集合的子集。基础集可以随意改变，而我们只关心这个给定集合的子集。基础集可以随意改变，可以在每一段特定的论述中表示全集。可以在每一段特定的论述中表示全集。it is possible for a set to conta

16、in no elements whatever. this set is called the empty set or the void set, and will be denoted by the symbol . we will consider to be a subset of every set.（35页第三段）页第三段）一个集合中不包含任何元素，这种情况是有可能的。这个集一个集合中不包含任何元素，这种情况是有可能的。这个集合被叫做空集，用符号表示。空集是任何集合的子集。合被叫做空集，用符号表示。空集是任何集合的子集。some people find it helpful to

17、think of a set as analogous to a container (such as a bag or a box) containing certain objects, its elements. the empty set is then analogous to an empty container.一些人认为这样的比喻是有益的，集合类似于容器（如背一些人认为这样的比喻是有益的，集合类似于容器（如背包和盒子）装有某些东西那样，包含它的元素。包和盒子）装有某些东西那样，包含它的元素。to avoid logical difficulties, we must disti

18、nguish between the elements x and the set x whose only element is x. in particular, the empty set is not the same as the set . （35页第四段）页第四段）为了避免遇到逻辑困难，我们必须区分元素为了避免遇到逻辑困难，我们必须区分元素x和集合和集合x，集集合合 x中的元素是中的元素是x。特别要注意的是空集和集合是不同的。特别要注意的是空集和集合是不同的。in fact, the empty set contains no elements, whereas the set

19、has one element. sets consisting of exactly one element are sometimes called one-element sets.事实上，空集不含有任何元素，而有一个元素。由一个元素事实上，空集不含有任何元素，而有一个元素。由一个元素构成的集合有时被称为单元素集。构成的集合有时被称为单元素集。 diagrams often help us visualize relations between sets. for example, we may think of a set s as a region in the plane and each of its elements as a point. subsets of s may then be thought of the collections of points within s. for example, in figure 2-3-1 the shaded portion is a subset of a