丁玉美_数字信号处理_第8章_其它类型数字滤波器

1、第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.1 几种特殊的滤波器几种特殊的滤波器8.2 格型滤波器格型滤波器8.3 简单整系数数字滤波器简单整系数数字滤波器8.4 采样率转换滤波器采样率转换滤波器第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器8.1 几种特殊的滤波器几种特殊的滤波器 8.1.1 全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1， 即 |H(e j)|=1, 02 (8.1.1) 则该滤波器称为全通滤波器。 全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(e j)=e j() (8.1.2)第第8章章 其它类

2、型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 全通滤波器的系统函数一般形式如下式：00121201212( ),11NN kkkNkkkNNNNNNa zH za zza za zaaa za za z(8.1.3) 或者写成二阶滤波器级联形式：211221121( )1Liiiiiza zaH za za z(8.1.4) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。10000()( )( )NNN kkkkNNkkNNkkkkkka za zD zH zzzD za za z(8.1.5)式中， 由于系数ak是实数， 所以 0( )Nk

3、kkD za z1()()()()()1()jjjz ejjjD zD eD eD eH eD e第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 图 8.1.1 全通滤波器一组=零极点示意图Im(z)zkRe(z)zk*pkpk*第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 观察图 8.1.1， 如果将零点zk和极点p*k组成一对， 将零点z*k与极点pk组成一对， 那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现， 即如果z-1k为全通滤波器的零点， 则z*k必然是全通滤波器的极点。 因此， 全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：111( )1NkkkzzH zz z(8.1.6

4、)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.1.2 梳状滤波器 例如， , 0a1， 零点为 1， 极点为a, 所以H(z)表示一个高通滤波器。 以zN代替H(z)的z， 得到： 111( )1zH zaz1()1NNNzH zaz(8.1.7) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.1.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8) 1()1NNNzH zazIm(z)Re(z)1(a)N1零点在单位圆上极点在半径为 的圆上N10N2 N4N6N8 N10(b)Hk(e j)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.1.3 最小相位

5、系统 最小相位系统在工程理论中较为重要， 下面给出最小相位系统的几个重要特点。 (1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成， 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) (8.1.8) 证明 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外， 令该零点为z=1/z0, | z0 |1, 则H(z)可表示为第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器111010101011010101( )( )()( )()1( )(1)1z zH zHzzzHzzzz zzzHzz zz z(8.1.9) (2) 在幅频响应特性

6、相同的所有因果稳定系统集中， 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。 高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数相乘来表示。 一阶和二阶全通系统的系统函数分别如(8.1.10)和(8.1.11)式： 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 对(8.1.10)式， 1111111( )1( )11opopzaHzazzazaHzaza z(8.1.10) (8.1.11) 其中a为实数， 且|a|1；1( )()( )japjjjapapjz ezaHzzzaeaHeHzeea第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.1.3 一阶全通系统具有非正=相位的几何证

7、明图z e ja2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 由于上式中分数部分的分子、 分母是共轭的， 因此相角相反， 所以 argHap(e j)=-2 arg(e j -a) 对 0， 关于arg(e j -a)作图如图 8.1.3 所示， 图中=arg(e j -a)。; 由图 8.1.3可见，arg()2arg()0jjapeaHe第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 对(8.1.11)式，2(),1arg()2arg()arg()jjjjapjjjjjapeaeaHeeaeaeaHeeaea故 画出上式中的各相角如图 8.1.4 所示。 图中1=arg(e

8、j -a)， 2=arg(ej-a*)。 由图可看出， 120zaaazz z根据三角形外角大于内角的定理有1212arg()2()0japaaHeaa第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.1.4 二阶全通系统具有非正=相位的几何证明图 z e j1aa*12z* e jz0第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 由(8.1.8)式有minminminminminmin( )( )( )()()( )( )( )( )( )(0)( )(0)apjjzzH zHz HzH eHeh nIZT H zhnIZT HzH zhHzh由初值定理可得出 由于 11(

9、 )1iapiziiizzaHzaa z第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 对因果稳定系统， |ai|1, 所以 |h(0)|hmin(0)| (8.1.12) (8.1.12)式说明， 在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中， 最小相位系统对(n)的响应波形延迟最小。 如果定义h(n)的积累能量E(m)为2022min00( )( ),0( )( )mnmmnnE mhnmhnhn 则最小相位系统的最小能量延迟可用(8.1.13)式 ， 即。 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 由于|H(e j)|=|Hmin(e j)|, 即22min22min00()(

10、)( )( )jjnnH edHedhnhn由parseval定理有 (3) 最小相位系统保证其逆系统存在。 给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)， 定义其逆系统为1( )( )( )( )INVA zHzH zB z(8.1.14) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器8.2 格型滤波器格型滤波器 8.2.1 全零点格型滤波器 一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式： ( )01( )( )1MMiiiiMiiH zB zbzb z (8.2.1) 其中， b(i)M表示M阶FIR滤波器的第i个系数， 并假设首项系数b0=1。 H(z)对应的格型结

11、构如图 8.2.1 所示。 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构x(n)e0r0z 1k1k1r1z 1r2k2k2e2z 1rM 1z 1kM 1kM 1eM 1kMkMy(n)e1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.2.2 全零点格型结构=基本单元rm1kmkmrmz1em1em第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 下面推导由H(z)=B(z)的系数bi求出格型结构网络系数ki的逆推公式。图 8.2.2 所示基本格型单元的输入、 输出关系如下式： em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-

12、1)km (8.2.2a) rm (n)=e m-1 (n)km+rm-1 (n-1) (8.2.2b) 且 e0(n)=r0 (n)=x(n) (8.2.2c) y(n)=em (n) (8.2.2d) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 设Bm(z), Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、 下输出端em(n)、 rm(n)对应的系统函数， 即( )010( )( )/( )1,1,2,( )( )/( ),1,2,miimmmimmBzEzEzb zmMJzRzR z mM (8.2.3a) (8.2.3b) 当m=M时， Bm(z)=B(z)。 对(8

13、.2.2)式两边进行Z变换得111111( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmEzEzk z RzRzk Ezz Rz(8.2.4a) (8.2.4b) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 对(8.2.4a)和(8.2.4b)式分别除以E0(z)和R0(z)， 再由(8.2.3a)和(8.2.3b)式有11111211( )( )( )( )1( )( )( )( )1mmmmmmmmmmmmmk zBzBzJzJzkzkBzJzk zzBzJzk (8.2.5) (8.2.6)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 由(8.2.3)式有B0(z)

14、=J0(z)=1, 所以111010111110011111( )( )( )1( )( )( )( )()B zB zk z Jzk zJ zk B zz JzkzJ zz B z 令m=2, 3, :, M， 可推出1( )()mmmJzzBz(8.2.7)将上式分别代入(8.2.5)和(8.2.6)式得111112( )( )()( )()( )1mmmmmmmmmmmBzBzk zBzBzk zBzBzk(8.2.8a) (8.2.8b)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 下面导出km与滤波器系数b(m)m之递推关系。 将(8.2.3a)式代入(8.2.8a)及(8.

15、2.8b)式， 利用待定系数法可得到如下两组递推关系：( )( )()11()( )()( )1121mmiim immmmmmmim iimmmmmbkbbk bkbbk bbk(8.2.9) (8.2.10) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 例 8.2.1 FIR滤波器由如下差分方程给定： 1351( )( )(1)(2)(3)2483y nx nx nx nx n求其格型结构系数， 并画出格型结构图。 解 对差分方程两边进行Z变换的H(z)=B3(z)： 3( )123331(1)(2)(3)333(3)331351( )( )1124831351,248313ii

16、H zB zbzzzbbbkb 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器(1)(2)(1)33 3223(2)(1)(2)33 3223(2)22(1)(1)(1)222122(1)111353242481891121211414bk bbkbk bbkkbbk bbkkb第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.2.3 H(z)的格型结构流图1/4z11/4z11/21/21/31/3z1y(n)x(n)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.2.2 全极点(IIR)格型滤波器 IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数， 可以根据FIR格型结

17、构开发。 设一个全极点系统函数由下式给定： ( )111( )( )1MiiMiH zA za z(8.2.12) 图 8.2.4 全极点(IIR)滤波器格型结构k2y(n)x(n)eMrMeM 1z 1rM 1kM 1 kM 1z 1e1 k2r2z 1r1e0k1 k1z 1r0kM kMe2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 例 8.2.2 设全极点IIR滤波器系统函数为 求其格型结构网络系数， 并画出格型结构。1231( )135112483H zzzz解 312( )31(1)(2)(3)333135( )( )1124813513,2483iiMMiBzAzzzb

18、 zMbbb 由例 8.2.1 所求FIR格型结构网络系数： 123111,423kkk第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.2.5 例 8.2.2 中的IIR格型结构z 11/4z 1 1/21/21/3z 1x(n)y(n) 1/3 1/4第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器8.3 简单整系数数字滤波器简单整系数数字滤波器 8.3.1 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器 1. 多项式拟合的基本概念 设序列x(n)中的一组数据为x(i), i=-M, :, 0, :, M， 我们可以构造一个p阶多项式fi来拟和这一组数据x(i): 2020220,

19、2( )( )ppkiipkkpMMkikiMiMkfaaia ia ia ipMEfx ia ix i 总的拟合误差为(8.3.1)(8.3.2)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 为了使拟合满足最小均方误差准则， 令E对各系数的导数为零， 即令002( )0, ,1,( )( )pMkrkiMkrpMMk rrkkiMiMMrriMMk rk riMEa ix i irpaaix i iFx i isi 则(8.3.3)式可写成如下形式：0prkk rkFa s(8.3.3)(8.3.4)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 2.最佳拟合模板与简单整系数F

20、IR滤波器的单位脉冲响应h(n) 在实际应用中， 并不将fi的p+1 个系数全求出来， 而是只求出a0, 就可实现对x(n)的最佳拟合。 由(8.3.1)式可知， 例如， 当M=2, p=2 时， 为五点二次(抛物线)多项式拟合。 据(8.3.4)式， 并考虑当k+r=奇数时sk+r=0， 有 00i ifa(8.3.5) 00220204224022020 42s as aFs as aFs Fs Fas ss第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 其中， 代入上式可得 22202402225,10,34,( ),( )iisssFx i Fx i i03 ( 2)12 ( 1

21、)17 (0)12 (1)3 (2)35xxxxxa(8.3.6) 3,12,17,12, 3( )351724cos6cos2()35jh nH e(8.3.7) (8.3.8) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.3.1 低通滤波器幅频特性 (a) M=2, p=2; (b) M=3, p=30H(e j)00.51.00.10.20.50.30.4 /(a)0H(e j)00.51.00.10.20.50.30.4(b)2 /2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.3.2 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器 如前所述， 在单位圆上等间隔分

22、布N个零点， 则构成“梳状滤波器”。 如果在z=1 处再设置一个极点， 对消该处的零点， 则构成低通滤波器， 其系统函数和频率响应函数分别为1(1)/21( )11sin(/2)()1sin(/2)NLpj Njj NLpjzHzzeNHeee(8.3.9a (8.3.9b)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 图 8.3.2 低通滤波器零、 极点分布及幅频特性(N=10) (a) (8.3.9a)式的零、 极点分布图； (b) (8.3.9b)式的幅频特性ImzRez(a)0H(e j)05100.10.20.50.30.4(b)2 /10 /2第第8章章 其它类型的数字滤波

23、器其它类型的数字滤波器 基于同样的思想， 在z=-1 处设置一个极点对消该处的零点， 则构成高通滤波器， 其系统函数及频率响应函数分别为 1(1)/2/21( )11sin(/2)()1cos(/2)NHPj NjjNHPjzHzzeNHeee(8.3.10a) (8.3.10b) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.3.3 高通滤波器零、 极点分布及幅频特性 (a) (8.3.10a)式零、 极点分布； (b) 幅频特性0H(e j)05100.10.20.50.30.4(b)ImzRe z(a)2 /10 /2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 假

24、设我们要求带通滤波器的中心频率为0， 0 0 sa2/2时， 抽取前后信号的时域和频域关系示意图 (d)0FTcc0n1T1T1(a)sa1T12(k)X(e j T )1 (n1T1)x(n1T1)0T2y(n2T2)kFT0n1T1T1(b)DT100FT0n1T1DT(c)sa1T12x(n1T1)2DT 3DTX(e j T )10FTY(e j T )2sa2D1sa1DT12n2T21第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.8 在csa2/2时， 抽取前后信号的时域和频域关系示意图 0ccsa1X(e j T )1(a)0k(b)(k)0sa1(c)sa1/

25、D 1 2 3123450(d)Y(e j T )2sa1/Dsa2X(e j T )1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 例 8.4.1 一整数倍抽取系统如图 8.4.9所示， 试求输出序列y(n2T2)。 解 设输入序列x(n1T1)是已知的， 且设抽取后信号的采样率仍满足采样定理。 图 8.4.9 整数倍抽取系统x(n1T1)y(n2T2)DDx0(n1T1)y0(n2T2)y1(n2T2)x1(n1T1)z1 1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图中 x0(n1T1)=x(n1T1) x1(n1T1)=x(n1-1)T1所以 y0(n2T2)=y0(

26、n2DT1)=x0(n2DT1) y1(n2T2)=y1(n2DT1)=x1(n2DT1)=x(n2D-1)T1故 y2(n2T2)=y0(n2T2)+y1(n2T2) =x(n2DT1)+x(n2D-1)T1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.4.2 信号的整数倍内插 1. 整数倍内插的概念与内插方法 从理论上讲， 可以对已知的采样序列x(n1T1)进行D/A转换， 得到原来的模拟信号x(t)， 然后再对x(t)进行较高采样率的采样得到y(n2T2)， 这里 T1=IT2 (8.4.17)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.10 内插概念示意

27、图x(n1T1)(a)0T1n1x(t)(b)0ty(n2T2)(c)0T2n2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.11 零值内插方案的系统框图 图 8.4.12 内插过程中的各序列x(n1T1)v(n2T2)y(n2T2)h(n2T2)Ix(n1T1)0T1n1y(n2T2)v(n2T2)0T1n20n2T2T2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 2. 整数倍内插的频域解释 为了回答上面的问题， 我们设x(n1T1)为模拟信号x(t)的采样序列， 并假定x(t)及其傅里叶变换X(j)如图 8.4.13所示。图 8.4.13 x(t)和X(j)的示

28、意图x(t)0t0ccX(j )第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.14 x(n1T1), y(n2T2)和 I=3 12(), ()jjX eY e00n1(a)3sa1x(n1T1)T1X(e j T )1sa1cc00n2(b)y(n2T2)T2Y(e j T )2ccsa2Isa1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 下面分析图 8.4.11 中v(n2T2)的频谱， 最后讨论为了得到满足插值要求的y(n2T2)(如图 8.4.14 所示)， 对h(n2T2)的技术要求。12222(),0, 2 ,()0,Tx nnIIv n TI其它 (8

29、.4.18) 22 22 2221 21 1211112222/2111/()()()()()()()jjnj T nnnj T nIj T nnI nnj TjV ev n T ev n T enxT ex nTeIX eX e (8.4.19) 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.15 和 频谱图(I=3) 12()()jjX eV e00n1(a)x(n1T1)T1X(e j T )1sa10(b)v(n2T2)T2V(e j T )20n2sa2Isa13 sa1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.16 低通滤波器的理想幅频特性0

30、sa2H(e j T )2sa2/2cc第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 3.内插器的输入、 输出关系 1) 时域输入、 输出关系 由图8.4.11， 有1222222111122()() ()()(),()0,ny n Tv mT h n TmTmxTx nmn ITITv mTI及 其它 所以1221 1221 1()() ()ny n Tx nT h n TnT(8.4.21)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 2) 频域输入、 输出关系22221222()()()()()()()()jjjjjjjIjY eV eH eY eXY eH eX eH

31、e(8.4.22) (8.4.23)由(8.4.19)式知道 , 所以21()()jjV eX e 在复频域分析图 8.4.11 时， 其输入x(n1T1)的Z变换X(z1)与输出y(n2T2)的Z变换Y(z2)的关系推导如下： 22222222()()()()()nnY zV zH zV zV n T z (8.4.24)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器22112212211 122(),()()nnInnInnxT znnIIx nT zX z(8.4.25)为I的整数倍即 2222()()()( )()()IIY zX zH zY zX zH z所以 (8.4.26)

32、式中所有变量都为z2, 所以可去掉下标得(8.4.26) (8.4.27)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 4.整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用 1) 数字语音系统中信号的采样过程及存在的问题。 2) 数字语音系统中改进的A/D转换方案 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.17 语音信号的一般采样过程hx(t)v(t)v(nT)A/DCh(t)(a)0tx(t)X(j )0h2 fh(b)pH(j )0(c)ph0tv(t)(d)hh00nv(nT)(e)0V(j )V(e j )T2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图

33、8.4.18 数字语音系统的改进A/D转换器方案 及其各点信号波形与相应频谱h(n1T1)2w(n1T1)v(n1T1)y(n2T2)A/Dw(t)g(t)x(t) h0tx(t)X(j )0h0hhG(j )h0h0tw(t)sa1W(j )(a)(b)(c)3h3h3 sa13 sa1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.18 数字语音系统的改进A/D转换器方案 及其各点信号波形与相应频谱00n1w(n1T1)sa10sa11W(e j T )1H(e j T )10sa1V(e j T )10n1v(n1T1)(e)(f)(g)T1hh 4 h0Y(e j T

34、)20n1y(n2T2)(h)T2hhT14h2第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.19 改进的D/A转换方案框图D/ACy(n2T2)2v(n1T1)v(t)h(t)x(t)h(n1T1)第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 对 (n1T1)进行D/A变换， 得到：v1 11 11 1(),( )0v nTtnTv ttnT时 时 第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.20 (n2T2)及 (n1T1)的时域和频域表示 yv00n2(a)T2y(n2T2)Y(e j T )2sa2T2200n1(b)T2v(n1T1)V(

35、e j T )1sa2sa1T1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.21 (t)的时域和频域表示v00tsa1T1v(t)V(j )2T1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 图 8.4.22 模拟低通滤波器 幅频特性要求( )h t0H(j )2T12T12T132T13第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器图 8.4.23 恢复模拟信号 及其频谱 ( )x t00tx(t)X(j )2T12T1第第8章章 其它类型的数字滤波器其它类型的数字滤波器 8.4.3 多采样率FIR系统的网络结构 1.整数倍抽取器的FIR直接实现 整数(D)倍抽取器框图如图 8.4.24 所示。 抗混叠低通滤波器用FIR结构时， 抽取器的时域输入、 输出关系为(设h(rT1)长度为N)11 11110221()() ()()()Nrv nTh rT x nr Ty n Tv DT(8.4.29) (8.4.30)第第8章章 其它类型的数字滤波