051、刚体的角动量、转动惯量

1、第五章第五章 刚体运动（刚体运动（motion of rigid body）一）概要：实际的物体运动不总是可以看成质一）概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。点的运动。1）何谓刚体）何谓刚体在任何情况下形状和大小都不发生变化的在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。即每个质元之间的距离无力学研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。论运动或受外力时都保持不变。 mi mjcrji2）刚体运动的两种基本形式）刚体运动的两种基本形式a平动平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动保持平行的运动 mi mj mi mj mi mj

2、 mi mj mi mj2）刚体运动的两种基本形式）刚体运动的两种基本形式a平动平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动保持平行的运动 mi mj mi mjirjr mi mjoijr选取参考选取参考点点o，则：，则：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij对（对（1）式求导：）式求导： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj结论：结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相同的轨迹加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规

3、律便全知道了。事实上这规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道一点已经知道-质心运动已告诉了我们。也就质心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映物体平动规律。是说质心运动定理是反映物体平动规律。b）刚体的定轴转动）刚体的定轴转动刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，动，称为刚体作定轴转动。称为刚体作定轴转动。ooc）刚体的一）刚体的一 般运动般运动蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一个随固定点的平动加上绕固定点的转动。一个随固定点的平动加上绕固定点的转动。刚体的定轴转动刚体的定轴转动1

4、. 各点运动的特点各点运动的特点 在自己的转动平面内作在自己的转动平面内作圆周运动圆周运动2. 描述的物理量描述的物理量任一质点圆周运动的线量和角量的关系任一质点圆周运动的线量和角量的关系转动平面转动平面zr2ntrarvarrna tar减速减速加速加速()dd rddrardtdtdtdtvrvz1m2m12xx1o2o 匀角加速转动公式匀角加速转动公式 2012tt0t22002 () 0vvat20012ssv tat22002 ()vva ss 匀变速直线运动公式匀变速直线运动公式 一）一） 刚体的角动量及其沿定轴的分量刚体的角动量及其沿定轴的分量刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是

5、一个质点系刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系,刚刚体的角动量体的角动量 应该等于各质元角动量的矢量和。应该等于各质元角动量的矢量和。设有一以角速度设有一以角速度 绕绕oz轴旋转的均匀细棒，轴旋转的均匀细棒，t时刻正好位于幕平面内，时刻正好位于幕平面内，现将棒分割成许多质元现将棒分割成许多质元nimmmm21,oz先研究一个质元先研究一个质元im对对o点的角动量点的角动量 m i iiiivrmliriviril 4-1 刚体的角动量刚体的角动量 转动惯量转动惯量 angular momentum. moment of inertia先研究一个质元先研究一个质元im对对o点的角动量点

6、的角动量 m iiiiivrmlirivil m j jljvozljririv iril之大小之大小iiniivrml1l故棒的总角动量故棒的总角动量 大小：大小：iiiivrml 方向如图，方向如图，可见角动量不一定与可见角动量不一定与z轴方向相同轴方向相同。ivoz m i iril m j lizlirizl但我们感兴趣的是研究定但我们感兴趣的是研究定轴转动，即要研究角动量轴转动，即要研究角动量在在z轴的分量轴的分量)(2iiizzrmllcosiiivrm故：故：cosiizll2iirm)(iiiirrm则刚体对则刚体对z z轴的角动量轴的角动量jlz称为刚体对称为刚体对z z轴的

7、转动惯量轴的转动惯量2iirmj令m二）转动惯量的计算二）转动惯量的计算对质量连续分布的刚体则应无限分割对质量连续分布的刚体则应无限分割niiinrmj12limmdmr2注意注意：dm为质元质量，为质元质量，r为质元到转轴之间为质元到转轴之间的垂直距离。的垂直距离。则刚体对则刚体对z z轴的角动量轴的角动量jlz称为刚体对称为刚体对z z轴的转动惯量轴的转动惯量2iirmj令imr2iirmj233222211rmrmrmjzjlzvmrlimniiinrmj12limmdmr2imr回顾回顾: :质点对一参考点的角动量质点对一参考点的角动量对一个质点系对一个质点系:角动量在转轴上的分量角动

8、量在转轴上的分量:1m2m3m1r2r3r对质量连续的刚体对质量连续的刚体:例例1）求质量为求质量为m,长为长为l的均匀细棒对下面三种的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量：转轴的转动惯量：转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心o并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端b并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒上距质心为转轴通过棒上距质心为h的一点的一点a 并与棒垂直并与棒垂直ho质质baxdxxdm已知已知：l、m求：求：jo、jb、ja解：解：以棒中心为原点建立坐标以棒中心为原点建立坐标ox、将棒分、将棒分割割 成许多质元成许多质元dm.dxdmlm/dxdmlm/22222llodxxdmxd

9、mrj求：求：jo2312112mllho质质baxdml求：求：jbdmxldmrjb22)2(23313mll2/2/2)2/(lldxxldxxdxdmlm/ho质质baxdmldmrja2求求jalhl23122/2/2)(lldxxh22121mhml 2mh222)2(12131lmmlmljjob222121)121(mlmhmljjoa注意：注意：dxx2mh222)()2(12131lmmlmljjob质心222)(121)121(mlmhmljjoa质心或：或：2)2(lmjjcb2mhjjca注意：注意：dxdmlm/ho质质baxdmldxx平行轴定理平行轴定理：刚体对

10、任一轴：刚体对任一轴a的转动惯量的转动惯量ja和和通过质心轴通过质心轴c并与并与a轴平行的转轴平行的转动惯量动惯量jc有如下关系：有如下关系：2mdjjcam为刚体的质量、为刚体的质量、d为轴为轴a与轴与轴c之间的垂直距离之间的垂直距离 例题例题2）半径为半径为r的质量均匀分布的细圆环及薄的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。rmcadr解：解：1）细圆环）细圆环dldmrdllcdlrdmrj222222mrrrdlrl2）薄圆盘）薄圆盘rdrr2drrdrd

11、s2drrdmrdj322rdrdsdm2drrdjjrmc3022）薄圆盘薄圆盘r2rdrds2drrdmrdj322rdrdsdm2424rdrrdr221mr4242rrm讨论：决定转动惯量的因素讨论：决定转动惯量的因素ho质质bax3）：）：刚体转轴的位置刚体转轴的位置。 （如例（如例1中长细棒对不中长细棒对不 同的轴的转动惯量）同的轴的转动惯量）1）：）：刚体的质量刚体的质量；2）：）：刚体的质量分布刚体的质量分布； （如例（如例2中的圆中的圆 环环 与圆盘的不同）；与圆盘的不同）；stop here!例例3）求一质量为）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。为轴的转动惯量。解：一球绕解：一球绕z轴旋转，离球轴旋转，离球心心z高处切