求数列通项公式的十种方法

1、1. 观察法(求出al、a2、a3,然后找规律)即归纳推理，就是观察数列特征， 找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。例 1.设 ai 1， an 1a, 2an 2 b(n N)，若 b 1，求 a2,a3及数列a*的通项公式.解：由题意可知：a11, 111,a2. a2耳 212211,a3a?2 2a2 2 12 13 1 1.因此猜想an 11.下面用数学归纳法证明上式.(1 )当n= 1时，结论显然成立.(2)假设当n= k时结论成立，即akk 1 1.则 ak1a, 2ak 2 1 . & 1)2 1 1 .(k 1) 1 1 (k 1) 1 1,即当n= k+

2、1时结论也成立.由(1 )、(2)可知，对于一切正整数n,都有an寸m 1(n N ).(最后一句总结很 重要)2. 定义法(已知数列为等差或者等比)直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例2.已知等差数列an满足a1a210,a4a32，求an的通项公式。解：设等差数列 an的公差为d .因为a4 a32，所以d 2.又因为a1 a210，所以2a1 d 10，故a 4.所以 an 4 2(n 1) 2n 2 (n 1,2,L ).3.公式法若已知数列的前n项和sn与an的关系，求数列 an的通项an可用公式區-n = lk一仏用求解。(一定

3、要讨论 n=1，n2)例3.设数列耳的前n项和为Sn，已知2Sn 3n 3.(I)求数列an的通项公式。解：(J)由2snn33可得:当n1时，31S11(33)3,当n2时，anSnSn 1丄(33)丄13) 3n 1(n 2)2 2而 a,3 311所以an3, n 1, 3n1,n 1.4.累加法当递推公式为an ,anf (n)时，通常解法是把原递推公式转化为an 1 an f (n)。例4.数列an满足a, 1，且an i an n 1 ( n N),则数列?3的前10项和为解：由题意得：an(anan1 ) (an 1an2)(a2a1)a1n (n 1)2 1n(n 1)25.累

4、乘法当递推公式为an 1anf( n)时，通常解法是把原递推公式转化为f(n),利用累乘法an(逐商相乘法)求解。例5.已知数列 an满足a-i23，an1an，求an的通项公式。解：由条件知an 1an在上式中分别令n1,2,3,(n1），得 n1个等式累乘之,即亞坐却a1 a2 a3anan 1又 a1an23n6.构造法（拼凑法）-共5种题型,3种方法不必掌握1、当递推公式为an 1 panq （其中p,q均为常数，且 pq（p 1）0）时，通常解法是把原递推公式转化为an 1 tp(ant），其中t ，再利用换元法转化为等比数列求1 p解。例题：已知数列an满足a11,an 13an

5、1，求an的通项公式。解：由an 12 3(an 2)1322$是首项为3-，公比为22131 3n3222a13的等比数列a n 1所以an3an 1所以an因此数列an的通项公式为an3n 122、当递推公式为an 1pan kn b（其中p,k,b均为常数，且pk 0）时，通常解法是把原递推公式转化为an 1 x（n 1） y p（an xn y），其中x, y的值由方程px x k给出。（了解即可，不必掌握）py x y b例题：在数列an中，a1 =2, an1 = 4an 3n 1求数列an的通项an 。解：由 an 1 4an 3n 1得 an 1 (n 1)4(an n)又&1

6、1所以数列an n是首项为1，公比为4的等比数列所以 an n 4n1，an4n1 n.3、当递推公式为anpancn （其中p, c均为常数,且pc 0 ）时，通常解法是把原递推公式转化为叫n 1cannc1丄。若c刖1，此时数列是以勺为c ccccccan 1丄 则可化为n1 tcp(a: t)(其中tc cc例题：已知数列an中，a1 =1， an1解：由 an 12an 3n得 an 132(an 3n)印则n= 2an 3n，求数列的通项公式。1首项，以丄为公差的等差数列,p c，则芒n 1c1n 1(n 1)，即 an (n 印 1)c。若 p c，c-）形式求解。（了解即可不必掌

7、握）所以数列an 3n是首项为a131 = 2，q 2的等比数列所以ann3=22n 1，即 an=3n2n4、当递推公式为anpan1qan s（p,q,s为常数，且pqs 0）时，通常两边同时取倒数,把原递推公式转化为an 1 pan。若p s，则是以为首项，以为公差的pana1p1等差数列，则-an1-(n 1)a1p，即anP dq( n 1)pa1。若p s，则可转化为33nan 1且an(n22 an 1 n1(n1)an3nan 1n1 n1 2an3 an1 3例10.已知数列 an满足印通项公式。解：原式可变形为2anan 1两边同除以3anan1得2 n N ），求数列an

8、 的9(丄t)(其中tp an）形式求解。p s即an整理得an构造新数列1，使其成为公比q 3的等比数列1(门13 an 1n 123an 1 3满足式使数列1是首项为丄1ana1 , q= 1的等比数列335、当递推公式为an 2（n 3n厂p an 1 q an （ p, q均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式an2 pan1 qan转化为an2-an1 =(an 1 -an) 其中p解出，由此可得到数列 an 1- an 是等比数列。 q例题：设数列注.：的前：项和为 ，:匸耳.已知虫-,且当:3 ：时，4辺+9；=込证明为等比数列；证明：因为 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1（ n 2）4an 2 an 4ani(n 2)因为 4a3 ai 4a