高校工程数学第3节解析函数与调与函数教学课件

1、2.3 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系一、调和函数的定义一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考三、小结与思考一、调和函数的定义一、调和函数的定义定义定义. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用重要的应用.拉普拉斯拉普拉斯调和函数调和函数例如：

2、例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数不是调和函数 f(x,y)=excosy 是一个调和函数是一个调和函数二、解析函数和调和函数的关系二、解析函数和调和函数的关系解析函数有一些重要的性质，特别是它与调和函数之解析函数有一些重要的性质，特别是它与调和函数之间的密切关系，在理论上和实际问题中都有着广泛的间的密切关系，在理论上和实际问题中都有着广泛的应用。应用。1. 两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证 ,)( 内内的的一一个个解解析析函函数数为为设设Divuzfw

3、 . , xvyuyvxu 那那末末解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, , 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而, 0 2222 yvxv同同理理 . 都都是是调调和和函函数数与与因因此此vu证毕证毕解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系什什么么？一一定定是是解解析析函函数数吗吗？为为都都是是调调和和函函数数与与虚虚部部的的实实部部函函数数)(,),(),(),(),()(zfyxvyxuyxivyx

4、uzf Question：解析函数的充要条件是解析函数的充要条件是C-R方程，方程，描述描述u，v之间的关系。之间的关系。而调和函数只是而调和函数只是u，v各自的性质，各自的性质，并未描述相互间的关系。并未描述相互间的关系。Answer:NO, N0, N0!解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系反例：反例：2222222200( )uuuxxyf zzxiyvvvyxy ( )f zuivxiyz ,uv为调和函数，但为调和函数，但不解析不解析解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系定理定理2-3-1 如果如果f(z)=u+iv为一解析函数，且为一解析函数，且f (z)0，

5、那么，那么曲线族曲线族u(x,y)=c1和和v(x,y)=c2必相互正交。必相互正交。证明证明 因为曲线族因为曲线族u(x,y)=c1和和v(x,y)=c2中任一条曲线中任一条曲线的斜率分别为的斜率分别为ux/uy（即（即(u/x)/(u/y)）和）和vx/vy(即即(v/x)/(v/y)，又因为函数，又因为函数f(z)是解析函数，故有是解析函数，故有ux=vy，uy=vx（即（即u/x=v/y，u/y=v/x），得：），得：(ux/uy)(vx/vy)=(vy/uy)(uy/vy)=1 即：即：定理定理2-3-1因此，曲线族因此，曲线族u(x,y)=c1和和v(x,y)=c2相互正交。相互正

6、交。 证毕证毕以上无形中假定以上无形中假定uy，vy在交点处都不为零，如果有一个在交点处都不为零，如果有一个为零，则由为零，则由f (z)0 ，可知另一个必不为零。这时容易，可知另一个必不为零。这时容易知道两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另知道两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，他们它们仍相互垂直。一条是铅直的，他们它们仍相互垂直。解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系定理定理2-3-2 任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯普拉斯(Laplace)方程：方程：证证 设设w=f(z)=u+iv为一解析函数，则为一解析

7、函数，则u/x=v/y ， u/y= v/x 从而从而定理定理2-3-2（第（第3章）一个解析函数的导数仍为解析函数。因此，解章）一个解析函数的导数仍为解析函数。因此，解析函数的实部和虚部不但具有一阶偏导数，而且具有任意析函数的实部和虚部不但具有一阶偏导数，而且具有任意阶的连续偏导数。阶的连续偏导数。 所以所以 从而从而 同理同理 证毕证毕调和函数调和函数把具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元把具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元函数叫调和函数。函数叫调和函数。对于给定的调和函数对于给定的调和函数u(x,y)，把使，把使u+iv构成解析函数的构成解析函数的两个调和函数两个调和函

8、数u(x,y)和和v(x,y)叫做共轭调和函数。因此，叫做共轭调和函数。因此，定理定理2-3-2说明解析函数的实部和虚部为共轭调和函说明解析函数的实部和虚部为共轭调和函数。数。如果已知共轭调和函数中的一个，那么就可以利用柯如果已知共轭调和函数中的一个，那么就可以利用柯西西-黎曼方程求得另一个，从而构成一个解析函数。黎曼方程求得另一个，从而构成一个解析函数。2、共轭调和函数的定义、共轭调和函数的定义. , , ,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为两个调和函数中两个调和函数中的的内满足方程内满足方程在在换句话说换句话说uvxvyuyvxuD . ),( ),( , ),( 的的共共轭轭调调和和函

9、函数数称称为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在们们把把使使我我内内给给定定的的调调和和函函数数为为区区域域设设yxuyxvDivuDyxu 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。共轭调和函数共轭调和函数思考：如果思考：如果v是是u的共轭调和函数，那么的共轭调和函数，那么u也是也是v的共轭调的共轭调和函数吗？和函数吗？思考：如果思考：如果u+iv是解析函数，那么是解析函数，那么v+iu也是解析函数吗？也是解析函数吗？问题：问题：（a1）验证函数）验证函数u(x,y)是调和函数，是调和函数，（a2）求调和函数）求调和函数v(x

10、,y)，使，使u+iv是解析函数。是解析函数。（b1）验证函数）验证函数v(x,y)是调和函数，是调和函数，（b2）求调和函数）求调和函数u(x,y)，使，使u+iv是解析函数。是解析函数。这是相似的问题，其中（这是相似的问题，其中（a2）问题的提法也可以：求）问题的提法也可以：求u(x,y)的共轭调和函数的共轭调和函数v(x,y)。共轭调和函数共轭调和函数( , ),( , )u x yv x y在在D内调和内调和CR方程成立方程成立uvxyvuxy ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在D内解析内解析注：注：( , ),( , )u x yv x y在在D内调和内调和

11、u,v具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数u,v具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数u,v可微可微（结合结合：CR方程成立）方程成立）( )f zuiv 解析解析区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. .3、偏积分法、偏积分法如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西黎曼方，那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数程求得它的共轭调和函数v，从而构成一个解析函数，从而构成一个解析函数u+vi，这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法。解解 （1）. ),( , 3),( 23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其

12、共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu 例例1 ,6 xyxu 因为因为,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu 例例1, 0 2222 yuxu于于是是 . ),( 为调和函数为调和函数故故yxu,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv 又因为又因为,3322xy （2）例例1 xxxgd3)( 2故故,3cx )(32xgy ,3322xy ) ( 为为任任意意常常数数c得：得： 因此因此v(x,y)=x33xy2+c从而得到一个解析函数从而得到一个解析函数w=y33x2y+i(x

13、33xy2+c)例例1)(,yxyxvxyxvx 2322333不不定定积积分分对对)( yxyvy 6cyyxyvy )()( ，又因为又因为06偏积分法也可以是下列形式：偏积分法也可以是下列形式：例例1由由C-R方程得方程得22336yxvxyvxy ,cxyxxydydxyxdyvdxvvyxyxyx 230022003633),(),(),(),()(方法方法2：第二类曲线线积分法：第二类曲线线积分法：例例1这个函数可以化为：这个函数可以化为：w=f(z)=i(z3+c)此例说明，已知解析函数的实部和虑部中的一个，此例说明，已知解析函数的实部和虑部中的一个，就可以确定另一个，至多相差一

14、个任意常数。就可以确定另一个，至多相差一个任意常数。课堂练习课堂练习答案：答案：. , 236),( 3223并求其共轭调和函数并求其共轭调和函数调和函数调和函数为为证明证明yxyyxxyxu 课堂练习课堂练习.263),(3322cxyxyyxyxv ) ( 为任意常数为任意常数c偏积分法偏积分法. 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求求一一解解析析函函数数和和函函数数为为调调已已知知例例2 解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyy

15、yex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得例例2),()sincos(ygxyyyxeux , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于于是是例例2,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(4、不定积分法、不定积分法. , ),( ),( 不不定定积积分分法法求求解解析析函函数数的的方方法法称称为为用用不不定定积

16、积分分或或已已知知调调和和函函数数yxvyxu不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程: , )( )( 仍仍为为解解析析函函数数的的导导数数解解析析函函数数zfivuzf xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 来来表表示示用用与与把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 不定积分法不定积分法将上两式积分将上两式积分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求适用于已知实部适用于已知实部 , )( zfv 求求适用于已知虚部适用于已知虚部4、不定积分法、不定积分法例例3 用不定积分法求解用不定积分

17、法求解例例1中的解析函数中的解析函数 yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ) , , )( (1为任意纯虚数为任意纯虚数所以常数所以常数实的任意常数实的任意常数不可能包含不可能包含的实部为已知函数的实部为已知函数因为因为czf .3),( 23yxyyxu 实实部部解解 ) ( 为任意实常数为任意实常数c).()( 3czizf 故故)(zf不定积分法不定积分法解解例例4 用不定积分法求解用不定积分法求解例例2中的解析函数中的解析函数 )(zf .)sincos(),( yxyxyyeyxvx 虚虚部部xyivvzVzf )()(

18、1)sinsincos( yyxyyeix1)cossin(cos yxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx 1cos)(sin)()sin(cos例例4iyiyeiyxyiyexx 1sincos)()sin(cosieiyxeiyxiyx 1)(,1izeezz zzVzfd)()(zizeezzd)1( .)1(czizez ) ( 为任意实常数为任意实常数c调和函数举例调和函数举例例例2-3-1 已知一调和函数已知一调和函数u(x,y)=x2y2+xy，求一解析，求一解析函数函数f(z)=u+iv使使f(0)=0。解解 因为因为u/x=2x+y，u/y= 2y+x 由由 v/y=u/x=2x+y，得，得 由由v/x= u/y，得，得2y+g(x)=2y x例例2-3-2故得：故得：g(x)= x2/2+c因此，因此，v(x,y)=2xy+y2/2x2/2+c 而而 它可以化为它可以化为f(z)=(1i/2)z2+ic由由f(0)=0，得，得c=0，所以所求的解析函数为，所以所求的解析函数为f(z)=(1i/2)z2三、小结与思考三、小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概