拔河比赛数学建模论文

1、拔河比赛摘要本文从拔河比赛中的物理分析出发，根据获得最大摩擦力和保持绳子稳定的条件，得出能发挥最大能量的队员排序，再根据能量模型和运动员体能数学模型来判断获胜规定的科学性，然后为了使拔河比赛更加公平，设计了一个解决这问题的规则，最后根据前面的分析，写了一个提案。问题一：我们研究了拔河比赛中出现的各种情况，针对“如何安排队员的位置使该队发挥最大能量”的问题，首先建立理想简化模型，运用力学分析方法，得出发挥最大能量关键在于获得最大静摩擦力；其次对拔河比赛中获得最大压力进行分析和对绳子进行受力分析，得到队列按身高从高到低，且当身高一样的时候，质量大的队员应安排在后面时，能发挥最大能量。问题二：为了判

2、断绳子拉过4米为获胜者这一规定是否科学，我们建立了能量模型和运动员体能数学模型，得出当绳子拉过的距离符合公式时科学。从而得出这一规定在320公斤级、360公斤级、400公斤级、440公斤级、480公斤级、520公斤级、560公斤级、600公斤级的拔河比赛中是科学的；而在640公斤级、680公斤级和720公斤级的拔河比赛中是不科学的。问题四：为了使拔河比赛既能保证大部分同学都乐于参加，又能体现比赛竞争性，我们设计出解决这一问题的规则：建设两边粗糙程度不同比例的拔河道，比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。再定量用最大摩擦力相等的关系得出各个场地的比例系数和需要建立11道拔河道，最后根据公

3、式来选择场地。问题三：运用了问题二的判断和问题三的规则，再根据了现代大学生的的体质状况和学习物理的兴趣现状向全国大学生体育运动组委会提出一个提案。 关键词： 摩擦力 力学分析 能量模型一、问题重述1.1 背景资料与条件拔河比赛是一项历史悠久，具有广泛群众基础且深受人们喜欢的多人体育运动。参加拔河既可以锻炼个人的臂力、腿力、腰力和耐力，又可以培养团队的合作精神。拔河比赛是按照参赛双方每方8人的总体重来分级的，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。而拔河比赛的用时相对较少，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜，一般几分钟或十几分钟便分出胜负，现场气氛甚是热烈。1.2 需要解决的

4、问题：利用相关知识解答以下四个问题：1.建立相关数学模型来安排某种分级比赛中的拔河队员位置，使该队在拔河比赛中发挥出最大能量；2.利用数学建模的方式，来说明在比赛中拉过绳索4米便获胜的规定是否科学；3.设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，以此来吸引更多的学生参加运动，并要对规则进行定量说明。4.向全国大学生体育运动组委会写一个将所设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。二、问题分析2.1问题的重要性分析（社会背景）拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培

5、养团队合作精神。19001920年的奥运会上曾被列为比赛项目。拔河是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。通过对本题的研究，给我们分析了拔河比赛中的主要决定胜负的因素，从而给大家知道如何在拔河比赛中取胜。找到拔河比赛中的理论原理，为我们赢得比赛找到了一个方法。所以说，研究本课题是非常重要的现实意义的。2.2问题的思路分析问题一：对队员位置的安排问题，队员的区别主要在队员的身高和队员的体重，所以说主要是分析身高和体重对整体发挥的最大能量的影响。首先建立物理模型要对拔河比赛中总体情况的分析，再根据身高影响最大正压

6、力和体重影响绳子的稳定性，从而求出队员的排列顺序。问题二：对于绳子被拉动的距离，应用能量模型对双方在拔河比赛中的能量进行分析就得关系，再由一般人的最大能量和一般场地与鞋子的摩擦系数，求得一方一次发力时，绳子被拉动的最大距离。根据最大距离和规定的4米进行比较，从而得出是否科学。问题三：根据拔河比赛中的力学分析，其主要的决定胜负的因素是比赛双方的总质量。这样拔河比赛就成了大质量人的游戏了。为了去掉这一弊端，让比赛更具有公平性和竞争性，就设计一个规定：建设两边粗糙程度不同比例的场地，比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。让比赛双方在静止的最大摩擦力相等。再根据这一规定，定量求出各个场地的比例

7、。问题四：针对大学生的体质问题和学习物理的兴趣状况，提出将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目，并根据问题三设立一个比赛规定。三、模型假设3.1忽略自然条件如风向，光照，地球离心力对 两方队员水平正常发挥的影响。 3.2绳要直：不能忽左忽右，且绳子的弹性伸长量不计。同时最靠近中间标志的两方的两名队员间的绳子始终水平。 3.3假设每名队员的手对绳子的力主要沿着绳子的方向，忽略如垂直于绳方向的其他力。 3.4假设每个队员的鞋子与地面的摩擦系数都相等。 3.5队员的重心位置与身高成比例。四、符号说明以下符号下标1,2分别表示拔河比赛的甲方和乙方mx：任意某队员的质量；m1 ,m2 ,m3 ,m4 ,

8、m5 , m6 ,m7 , m8 甲方队员的质量（从绳子中间向两边数）； ma , mb ,mc ,md , me , mf, mg , mh ：乙方队员的质量；Tx : 队员对绳子的作用力； ： 地面对队员的摩擦系数为；N ：地面对人的正压力；： 人与地面的夹角 ； g ：万有引力常数 ； H x： 队员身高；S（t）：绳子中心偏移量 ； ：一方把另一方拉过的距离；：队员在整个比赛过程中消耗的总能量；：初始时刻每名队员体内贮存的能量；：呼吸和循环系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量；: 运动员的速度；：拔河道两边的摩擦系数的比值。五、 模型的建立与求解5.1模型分析：拔河比赛属于团体竞赛，

9、虽然没有特别好的视觉效果，看似与扳腕子一样，哪方的牛劲大哪方就会获胜。实则不然，其中包含了深刻的数学思想奥秘，如果能够洞悉其中的哪怕部分数学奥秘精髓，并据此由队员的身高、身体与地面的倾斜角度、体重、能量损耗 ，发力节奏等等合理安排队员等等，必定能够最大可能的提高获胜概率。5.2模型建立与求解：如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？请对比赛建立一个数学模型的方式来说明你的结果。 5.2.1: 身高安排模型建立与求解 当队员对地的摩擦力增大时，就可以增加己方的承受力，因此要增大正压力，而合理安排队员身高排序可以最大可能的增加摩擦力。 图a 图b 图c a :身高从高到

10、低时：N - mg - Fsin = ma 得：N = m(g + a) + Fsin； b:身高从低到高时：N - mg Fsin= ma 得：N = m(g + a) Fsin；c:身高排列无明显变化趋势时：N - mg = ma 得： N = m(g + a) 。由上式子可见：身高从高到低可以增加队员的对地压力从而增加对地摩擦力。如下图所示：.假设上图甲方的绳子与地面所成的锐角为 且(T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8) / 8 = (Ta+ Tb + Tc + Td + Te + Tf + Tg + Th) / 8 = T平均 则 队员增加的对地

11、压力依次为：N1 = （T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8）sin N2 = （T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8）sinN3 = （T4 + T5 + T6 + T7 + T8）sinN4 = （T5 + T6 + T7 + T8）sinN5 = （T6 + T7 + T8）sinN6 = （T7 + T8）sinN7 = （T8）sin则N总 = N1 +N2 +N3 +N4+ N5 +N6 + N7 但由于每个人发出来的T没有全部用在水平方向上，建立方程：(T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8) co

12、s + N总sin (Ta+ Tb + Tc + Td + Te + Tf + Tg + Th) = ma 假设函数f () = ma 由、得： f（a）的导函数为： f ()= 8*T平均sin+ *28*T平均cos令上式的导函数值为0，即： 令 f () = 0 得 = arc tan（3.5）假设每两名运动员间距是0.5m,则最高与最低的差 H = 0.5*7*tan= 12.25 H 由上式此可得出如下结论： 当地面比较相对光的时候，首尾队员身高的差H 不适宜太大。 当地面很粗糙摩擦力很大时，首尾队员身高的差H可以适当增大。5.2.2 身体倾斜角度、体重模型的建立及求解 若身体与地面

13、的倾斜角 =90 度，即直立或前倾状态时，重力矩将不起作用（=90 度）或起反作用（90 度），它将导致身体进一步前倾，同时还会产生不利于自己的摩擦力f ，这样会更迅速的被对方拉动。因此，拔河时应采取后倾姿势。 下面对在对身体在后倾状态（90）。T 与 mg 分别作用在人体的肩部和重心处。假设肩部在身高的0.8h处，重心在人的0.6h 处，则据力矩平衡，如图5.1.3 (1)可知： 0.8THsin = 0.6mgHcos可见，在对方拉力一定时，力矩的大小取决于mg 和，下面分别讨论。先看一下重力矩与倾斜角的关系。由正弦、余弦变化规律可知，在 的范围，增函数，为减函数，即越小，越大，越小。要发

14、挥重力矩的有利作用，应保持在45 度以下，因为此时 ，当然若角过小，人也会向后翻倒，所以不应太小。此外，根据：f = mg 0.8THsin = 0.6mgHcos 可见，u 越大，越小。因此，在u 较小，即比较光滑的地面上，应该大一些，即人的身体应该更直一些。所以，拔河时，理论倾角应在35度左右为宜，还要根据地面情况进行调整。在上述模型中f = mg 0.8THsin = 0.6mgHcos令H、一定，m 越大，重力矩就越大，所以将重量较大的队员安排到队尾可以尽可能使队伍更为稳重，绳子不易左右摆动，绳要直：不能忽左忽右。如果有一人向左，一个人向右，那么就等于他二人没拔，那么队伍就等于少了两个

15、人。由其是最后控绳的，如果左右晃，那么大家的力再大也白拉。5.2.4：建立能量模型说明一方拉过绳索4米比赛获胜规定是否科学 在拔河比赛中，绳子的移动都是由某方队员的身体的平动产生的，所以假设在拔河比赛中，不考虑转动效果，只考虑平动效果，获得胜利的一方，就要使对方的身体向前平动4米。在拔河各级比赛双方中，对地的摩擦系数都是一样的，假设双方各队的总质量基本上相等，即根据以上的假设，当一方把另一方拉过米，根据能量守恒定律得： （2-1） 、分别是双方队员在整个比赛过程中消耗的总能量，为摩擦系数，g为重力加速度。 5.2.4.1人体能量供应的无氧和有氧过程 呼吸和循环系统在氧的代谢作用下单位时间提供的

16、能量由实际供能系统进行拟合, 是时间的函数。初始时刻每名队员体内贮存的能量为。肌肉收缩的直接能源即直接做出机械功的能源来源: 三磷酸腺苷( ATP) 。体内ATP 含量很少,能使能量不断发放而ATP含量不见减少,全靠它及时重新生成。APT 的供应途径很多, 除了ATP-CP磷酸原供能系统相互作用外, 大量依靠糖的无氧酵解、有氧氧化和其它物质参加的三羧酸循环等。磷酸原( ATP、CP) 供能的输出功率最大,所以由磷酸原供能时, 速度、力量是最大的。但供能特点是维持运动时间短, 输出功率在所有系统中是最大的。 Margaria 曾计算体内能源物质的最大供能能力和功率( 即供能速率)。供能速率或功率

17、为:每千克体重为54.5 J/s,供能时间为89 s糖元-乳酸系统: 每千克体重为29.2 J/ s, 供能时间为2728 s糖元有氧氧化: 每千克体重15.6 J/ s。 根据供能速率或功率, 可以拟合呼吸和循环系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量:= -0.001t3+ 0.0164t2- 1.3415t + 52.0803 （2-2） 根据美国应用数学家T.B.leller的运动员体能数学模型，记为贮存于身体肌肉中的与氧量等价的能量。为单位时间内提供的与氧量等价的能量, 由于提供的能量与消耗的能量之差是贮存能量 的变化率,可得在运动员耐力的忍耐范围内，体能消耗与时间的关系为其中是运动员

18、自己控制的, v是运动员的速度，在拔河的过程中队员的速度满足，故 （2-3）将式（2-2）代入方程（2-3），解得=-0.00025t4+0.005467t3-0.67075t2+52.0803t+ 根据一般人的体力能量，选择参数,由MATLAB仿真图11可得，能量消耗为零所需的时间大约为34.435s。图11 在一般的场地中，地面与鞋子的摩擦系数。根据可知：表1所示：表1公斤级(公斤)地面与鞋子的摩擦系数绳子被拉过的距离获（米）3200.87.673600.86.814000.86.134400.85.584800.85.115200.84.725600.84.386000.84.09640

19、0.83.836800.83.617200.83.41由以上表1的值可得，在320公斤级、360公斤级、400公斤级、440公斤级、480公斤级、520公斤级、560公斤级、600公斤级的拔河比赛中，规定绳子拉过4米比赛获胜是科学的，但是在640公斤级、680公斤级和720公斤级的拔河比赛中，此规定是不科学的。5.2.5 发力（口号）模型参加过拔河比赛的人都明白口号的重要性，口号喊得好，队员的心就齐了，力就能往一处使。不会自乱阵脚，取胜就相对容易，由拉拉队统一指挥。所有人在一条线上，同时发力（数1，2 。1，2 。喊1时发力 ，喊2 的时候蓄力)。为保证每名队员都能有足够精力在听到口令时发力，

20、采用上面模型的时间34s，所以为了能有足够把握赢，假设尽可能在34s内完成比赛。S（t）= Asint (当甲方听到“1”时，绳子向己方移动函数) -B （当甲方听到“2”时，绳子向对方移动函数）因为人的体力在34s后明显下降，对上面函数进行0到34s的定积分得(假设A=4B)： S（t）dt = (4/3.14 1)*34/2 = 4.656 因为4.656m 4m即在队员体力能保持相对充沛的条件下最多可向己方移动4.656m，所以4米在600公斤级以下经验证也是合理的。5.3设计一个规则，使既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛的规则。规则：建设两边粗糙程度不同比例的

21、场地，比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。由上述可知，比赛的胜负主要由双方的最大摩擦决定，而最大摩擦力在一定程度上取决于同学的体重，这样就质量大的学生就会有优势，质量小得学生就会有劣势。所以拔河就成了体重大的学生的游戏了。体重小的学生就很少参加了。这对于拔河比赛的普及性就不高了，也失去了公平竞争性了。为了使大部分学生都能参加，具有公平竞争的，应当使比赛双方开始假设双方的鞋子都相同，对场地粗糙程度的改变即改变，使得不同级别的比赛队伍的最大静摩擦力相等。这样就使得体重对比赛的结果产生没有多大的影响，也就能体现了公平性，大部分同学又能参加。根据最大静摩擦力公式得：假设比赛双方的最大静摩擦力

22、为和，设和分别为两队的总质量，所以：根据以上的规定有得： 则 （5-3-1）根据公式5-3-1得，比赛双方产地的摩擦系数之比应为比赛双方质量之比的倒数，按双方每方8人的总体重来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级，总共有11个级别。在这11个级别中，总质量之比（大质量比小质量）有以下几种情况，如表2所示。表2 m1m1/m2m232036040044048052056060064068072032011.1251.251.3751.51.6251.751.87522.1252.2536011.1111.2221.3331.4441.5561.6671.781.889240011.1

23、1.21.31.41.51.61.71.844011.0911.1821.2731.3641.451.5451.63648011.0831.1671.251.331.4171.552011.0771.1541.231.3081.38556011.0711.141.2141.28660011.071.1331.264011.0631.12568011.0597201由表2可知，11种级别中，其双方的级别质量之比有48种之多。根据以上的规定，就是要建48种摩擦系数之比的拔河道了，但是，这是不实际的。从表1我们可知，比例系数最小的是1，就是双方的级别相同的时候；比例系数最大的是2.25，就是一方的级

24、别是720公斤，另一方的级别是360公斤。为了是双方各队的最大静摩擦力相近，应当选择比例相差小，包含全部比例的一系列比例来建设场地。从表可得，第一行的比例系数符合了这一点，故选择了第一行的全部数据作为建设拔河道两边的摩擦系数的比值（注意，这里的摩擦系数是在相同鞋子的情况下，地面的粗糙程度）。这样就有11条拔河道，其中拔河道两边的摩擦系数之比分别为1、1.125、1.25、1.375、1.5、1.625、1.75、1.875、2、2.125、2.25。由于每条拔河道占用的地方不是很多，所以这是可以实现的。由于比值为等差数列，所以取其两个相邻数的中数为分界点，根据以上的比例系数，可得公差为0.12

25、5。选择拔河道的规则，以最近原则，则按以下公式： （5-3-2） 其中为拔河道两边的摩擦系数的比值，为总质量大一方的总质量，为总质量小一方的总质量。根据式（5-2-2），在知道和的时候，就可求出拔河道的摩擦系数的比值，根据的大小，就可以选择对应的场地。按照这样的规则，就在同学体重不同的情况下，能使比赛公平竞争，能对于每一队都是相对公平的。同学不会因为体重的原因而放弃参加比赛，都能凭借自己的能力（只要是技巧）来获得胜利。 5.4.关于将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案5.4.1案由分析：大学生体质和学习物理的兴趣现状2011年9月2日，国家体育总局、教育部发布2010年国民体质监测结果。

26、结果显示，相比2005年监测数据，我国19至22岁大学生的体质状况仍在下滑，爆发力、力量、耐力等身体素质指标进一步下降。发言人表示，我国大学生体育锻炼时间明显少于中小学生，大学生锻炼身体的意识不足。在阅读有关大学物理学习现状的调查与分析的文章中，我们发现，大部分高校的学生对物理的兴趣不浓厚。如在重庆理工大学的有效问卷216 份中，表示很感兴趣占7.9；表示较感兴趣占34.3；表示一般感兴趣占39.4；，表示较没有兴趣占10.6；表示很没兴趣占7.4。而在对青岛地区高校学生的调查中显示，64%的学生对物理学习兴趣不大，有15.2%的学生认为学习物理没有用，21.2%的学生不知道学习物理是否有用，

27、32.4%的学生认为学习物理是为了学位而不得不学。5.4.2我们的建议：将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目并设立一项新规定。 目前，拔河已被列为全国农民运动会和少数民族运动会的比赛项目；第三届全国体育大会也把拔河列为正式比赛项目，可见拔河比赛的发展前景广阔。据了解，目前全国各大学每年都会举行运动会，举办运动会是为了促进了群众体育水平普及，带动全民健身计划的展开，提升全民身体素质，弘扬校园文化，展现出的团队精神是对民族文化的深化，激励广大学子团结拼搏、积极向上的精神风貌，增强广大学生的集体荣誉感。目前各大学校的运动会主要比赛有田径、游泳、篮球、排球、足球、乒乓球、羽毛球、毽球、武术、健美操、定向越野和桥牌等项目，但是作为始于我国春秋时期，且具有广泛的群众基础并深受人们喜爱的多人体育项目拔河比赛，它既能全方位地锻炼参加者的臂力 、腿力、腰力、和耐力等，又能增强同学之间的凝聚力还能活跃校园气氛，却遗憾的还没能成为全国各大学运动会的正式比赛项目。本项目的定位将有别于现有的校园运动会传统运动项目形式，参赛者并不被要求需要拥有较强的运动竞技技巧细胞，目标在于提升学生参赛热情度和扩大参赛学生数额层面。初步构思，将以专业内各班级、学院内各专业、校运会各学院代表队间分别进行循环淘汰赛的多种形式结合