数学概念的文化性

1、逻辑思维的基本形式： 概念、判断和推理 数学本质上研究的是抽象的东西，数学发展所依据的最重要的思想是抽象。这种抽象了东西就是数学研究所必须定义的最基本的概念。 即数学概念一、数学概念概念： 反映研究对象的本质属性，是人类主观意识对客观事物本质属性的能动反映，是科学的认识方法。概念是思维形式的最基本的组成单位，是构成判断推理的要素。空间形式、数量关系数学概念：是反映客观事物关于空间形式和数量关系方面的本质属性的思维形式。数学概念形成特性： 把一类事物的空间形式与数量关系方面的本质属性与非本质属性区别开来，撇开非本质属性，抽象本质属性，再用词语表达，从而形成概念。 概念的形成过程：感觉知觉表象概念

2、感性认识 理性认识（1） 概念的普遍性与抽象性数学概念的特性：三角形概念、矩形概念 数学概念是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果。 这些抽象的东西在现实中是存在的，抽象的东西只是表现在每一个具体之中。 当然，抽象必须依赖具体的人，必须依赖于具体人的抽象能力。（2） 概念具有发展性函数概念、数的概念、空间概念 对变量的认识是函数概念产生的标志 马克思说过，函数概念源于代数方程的函数概念源于代数方程的研究，古罗马时代丢番图对不定方程的研究，研究，古罗马时代丢番图对不定方程的研究，就有了函数概念的萌芽。就有了函数概念的萌芽。 恩格斯所指出的，“数学中转折点是笛数学中转折点是笛卡儿的变数卡儿

3、的变数,有了变数有了变数,运动进入了数学运动进入了数学,有了有了变数变数,辩证法进入了数学辩证法进入了数学,有了变数有了变数,微分和积微分和积分也就立刻成为必要的了分也就立刻成为必要的了。” 十四世纪，法国的奥莱斯姆奥莱斯姆在表示随时间t而变化的变量x时，画出相关图形，并把t称为经度，而把x称为纬度。 开普勒、伽利略也采用变量思想去研究天体运动。伽利略认为，初速为0自由落体运动是加速运动，其经过的距离与其所用时间的平方成正比，若沿同高度但不同坡度的斜坡平面下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比。 笛卡尔用坐标描述点时，也采用变量的观念利用横、纵坐标间的互变关系的曲线方程去刻划物体运动轨迹。

4、 1714年，莱布尼兹在微积分的历史和起源中用“函数”术语表示依赖于一个变量的量。人们肤浅的认识：函数就是解析式人们肤浅的认识：函数就是解析式 天真地认为，函数就是解析表达式，认识到了函数必须有解析的表达式。 1698年，约翰.伯努利认为，函数是由变量x和常数构成的式子。 1718年，他又提出一个自认为较规范的定义，一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意方式构成的一个量。 1797年，拉格朗日认为，所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任意方式出现在表达式中，表达式可以有也可以没有其它一些被称为具有给定和不变的量，而且数的量值可取所有可能的量值。 欧拉在无穷小分析引论中

5、给出了函数定义: 把凡是可以给出“解析式表示”的，通称之为函数。 函数是否一定有解析式,解析式是否一定唯一？ 1750年左右，在研究弦振动问题时，欧拉发现所有的解析式都能用一条曲线表示，但并不是所有的曲线都能用解析式来表示。证明了不仅仅周期函数,任一连续函数在(-,)上都可以用正弦或余弦函数给出。著名的数学家柯西也发现了即使在简单函数中也存在着表达式不唯一的情形,如0 , 0 ,xxyxxyy = x2 人们终于发现，函数的本质是人们终于发现，函数的本质是 变量间的对应变量间的对应 1755年，欧拉提出了函数的定义：如果某些变量以如下方式依赖于另一些量，即当后面变化时，前者本身也发生变化，则称

6、前一些量是后一些量的函数。 1821年，柯西引入自变量，并给出函数的定义：当变量这样起来时，即给定的这些量中的一个值，就可以决定其他所有变量值的时候，人们通常想像这些量是用其中的一个来表达的。 1834年，罗巴切夫斯基认为，x的函数应该是这样的数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化。 1837年，狄利克雷认为，变量间建立怎样的依赖关系，是按照一种规则还是多种规则对应，这无关紧要，重要的是变量间的对应关系。定义：如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，则称y是x的函数。函数定义域和变量间的对应关系是它的核心，是函数定义的本质规律。 是无理数是有理数xxy 0 1借用集合对应刻

7、划，函数概念进一步深化借用集合对应刻划，函数概念进一步深化 著名的数学家庞加莱在1900年的国际数学家大会上宣布:“由于有了集合论,现在我们可以说,数学的完全严格性已经达到了。” 美国以维布伦为代表给出定义: 若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变量。 设f是X与Y的关系,即f ：XY,如果(x,y),(x,z)f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数。 数学概念的文化特性 这些抽象的东西在现实中是存在的，抽象的东西只是表现在每一个具体之中。 抽象必须依赖具体的人，必须依赖于具体人的抽象能力。 数学概念必须得到数学共同

8、体的认可，才会被接受，传播。圆周率考验人类智力 在希腊文中，是饼的头一个字母。饼是圆的。 因此，古希腊人用表示圆周率，恰到好处地反映了圆的本质。 现在卖“派”很时兴如苹果派、巧克力派等等其实都是和武大郎一个行当，卖饼罢了 圆是平面上到定点距离相等的点的集合。 除了直线，它的结构又是最简单的 简朴与美是圆的个性圆有几条与众不同的性质： 圆的周长与直径之比是一个常数，把这个常数叫做圆周率，记为在周长相同的所有平面封闭图形中，圆的面积最大 面积相同的平面图形中，圆的周长最短。即等周问题 以前，有位教书先生，整日里不务正业，就喜欢到山上找庙里的和尚喝酒。他每次临行前留给学生的作业都一样：背诵圆周率。开

9、始的时候，每个学生都苦不堪言。后来，有一位聪明的学生灵机一动，想出妙法，把圆周率的内容与眼前的情景（老师上山喝酒）联系起来，编了一段顺口溜： “ 山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），乐尔乐（626）。” 祖冲之祖冲之“圆满圆满”人生的心路历程：人生的心路历程： 3.14159 伤定伊始忆吾旧， 26535 爱路吾深悟。 8979323 布鹃雀鸠甚爱山， 84626 不时遛爱路。 4338327 誓三生不生尔气， 95028 揪吾拧尔发。 8419716 罚誓依旧去亦留， 93993 久散久久散！ 7510582 沏壶

10、意宁吾弗爱， 09749 拎酒气死舅。 4459230 世事无究爱山岭， 78164 去发依入寺。 0628620 岭绿艾发乐而宁， 89986 不酒久发乐！ 2803482 爱播灵山事博爱， 53421 吾深思爱矣： 1706798 意气零落去酒吧， 21480 爱抑逝不临。 8651328 不乐无益山儿爬， 23066 爱上岭麓绿。 4709384 始祈领救三发誓， 46095 释乐领救吾。 圆周率小数点后1000位： 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 062862089

11、9 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7

12、892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785

13、771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147

14、303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 黄金比、兔子繁殖、斐波拉契数列几何学有两大财富： 毕达哥拉斯定理 黄金分割比。前者好比金子，后者堪称珠玉。开普勒 毕达哥拉斯学派，是当时希腊的一个秘密团体，为了保证学派不被外入流入，他们画一个正五角星作为学会的会章。 有一则轶事，说毕达哥拉斯学派的一个成员流落异乡，贫病交迫，无力酬谢房主的殷勤照顾，临终时要求房主在门前画一个五角星形。若干年后，有同派的人看到这个标志，询

15、问事情的经过，厚报房主而去。梁宗巨，数学历史典故，P204 黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得几何原本。卷第11题：“分已知线段为两部分，使全线段与一小线段构成的矩形等于另一小线段上的正方形”，这就是黄金分割的问题。点P成为线段BE 的黄金分割点，使PBE黄金矩形黄金矩形黄金矩形与对数螺线 兔子出生以后两个月就能生小免，若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄)假如养了初生的小兔一对，试问一年以后共可有多少对免予(如果生下的小兔都不死的话)？我们来推算一下：我们来推算一下： 第一个月；只有一对小兔； 第二个月：小兔子没有长成不会生殖，仍然只有一对兔子； 第三个月：这对免子生了一对小免，这时共有两对

16、兔子， 第四个月：老兔子又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共有三对兔子， 第五个月：这时已有两对兔子可以生殖(原来的老兔和第三个月出生的小兔)，于是生了两对小兔，这时共有五对兔子五角星套黄金三角形黄金椭圆2概念的内涵与外延概念的内涵是一个概念所反映的对象的本质属性。 “质”本质概念的外延是一个概念所反映的全部对象。 “量”范围概念的内涵与外延具有反比关系：即 内涵增加，外延减少； 反之，内涵减少，外延增加。平行四边形内涵菱形内涵正方形内涵平行四边形外延菱形外延正方形外延3数学概念的关系逻辑方法上只研究概念间的外延关系.依二个数学概念的外延间是否有公共部分或多少,将其关系分为:相容关系不相容关系相容关系不相容关系同一关系从属关系交叉关系对立关系矛盾关系ABBAABA BA B4. 数学概念的定义定义是揭示概念内涵的逻辑方法.定义由被定义概念、联结项和已定义概念组成有两边相等的三角形 叫做 等腰三角形.联结项已定义概念被定义概念概念定义的方式:（1）属加种差的定义被定义概念=属+种差如三边相等的三角形 叫做 等边三角形.种差属被定义概念（2）发生性定义如 由一射线绕着其端点旋转而成的 图形叫做 角.属形成特征被定义概念（3）关系性定义如 能被2整除的 整数 叫做