估计量评选标准

1、7.2 7.2 估计量的评选标准估计量的评选标准 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那一个估计量好？好坏的标准是什么那么那一个估计量好？好坏的标准是什么? ?几个常用标准几个常用标准. .7.2.1 无偏性、无偏性、7.2.2 有效性有效性（unbiased estimation）1 . 2 . 7定义定义的的一一个个样样本本，为为总总体体若若XXXXn,21 ,的的分分布布中中的的待待估估参参数数是是包包含含在在总总体体 X )(的的取取值值范范围围是是 有有且且对对于于任任意

2、意存存在在数数学学期期望望的的若若估估计计量量 ,)(),(21EXXXn的的是是则则称称 .无无偏偏估估计计量量)(无无偏偏估估计计量量 )(E 设设 和和 是是的两个无偏估计的两个无偏估计,若若 则称则称 比比 更更有效有效2 1 1 2 定义定义7.2.3 （有效性）（有效性）)()(21 DD （2） 是是 的无偏估计的无偏估计(1) 是是的无偏估计的无偏估计XnXXX,21设设是取自总体是取自总体X 的一样本，的一样本，,11 niiXnX2)( XD 21211 niiXXnS E(X)重要结论重要结论 ）2(SEXE2 讲讲练练讲讲练练2115241)(XXA 2128187)(

3、XXB 2136561)(XXC 2148783)(XXD 设设X1,X2是取自正态总体是取自正态总体N( ,1)的的一个样本容量为一个样本容量为2的样本，则（的样本，则（ ）是总体均值是总体均值 的无偏估计量的无偏估计量.)(C 2013)()(1 EA 43)()(2 EB )()(3EC 45)()(4 ED【解】：【解】： 设设是取总体是取总体的样本，的样本，4设设是是的无偏估计量，则常数的无偏估计量，则常数k = = . .321)22(3XkXkX )22(3)(321XkXkXEE1)22(3 kk【解】：【解】： ,321 XEXEXE设设 是取自服从均匀分布是取自服从均匀分布

4、总体总体X 的样本，证明的样本，证明是是的无偏估计。的无偏估计。21 X nXX,1证证 21 X 是是 的无偏估计。的无偏估计。)21()( XEE 21)( XE21)( XE2121 为为一一组组常常数数）其其中中naaa,(21)(1iniiXak 设设是取自总体是取自总体X 的一个简单的一个简单随机样本，随机样本，为未知参数为未知参数. 为为的无偏估计，的无偏估计， 要使要使naaa,21应满足什么条件？应满足什么条件？则则【解】【解】 )X(1iniiakE令令 niiak1 niiak11)(2111iniiXXk （2）要使）要使 为为的无偏估计，的无偏估计， 求求 的取值的取

5、值.【解】令【解】令 i=1,2,n-1, iiiXX 1Y2112)()()D(Y0)()()E(Y iiiiiiXDXDXEXE则则)()()E(21121112 niiiniiYkEXXkE 当当)()1(2iYEnk 2)1(2 nk时时2 )1(21 nk设随机变量设随机变量的数学期望为的数学期望为 ,是来自是来自X的简单样本，的简单样本，是任意常数，验证是任意常数，验证 是是 的无偏估计量的无偏估计量. 01niia其其中中 niiniiiaXa11且且 比比 更有效更有效.)( ,112nkXkkii nXX,1设总体设总体X 的方差存在的方差存在1 2 是来自是来自X的样本的样

6、本,试证试证: :X 1 为为的无偏估计的无偏估计 )()(1XEE 1)(12kiiXkEE)(1)()(1XDnXDD )(11)(12XDkXkDDkii )()(,21 DDnk 更有效。更有效。比比且且的无偏估计量，的无偏估计量，都是都是2121, 32112110351XXX 32121254131XXX 321,XXX.设设是取自正态总体是取自正态总体的一个样本容量为的一个样本容量为3的样本，则参数的样本，则参数 的下的下列估计量列估计量中，无偏估计有中，无偏估计有 ，其中最有效的是，其中最有效的是 . 3213413121XXX 3214613121XXX )2110351()

7、(1E )1254131()(2E 1213)413121()(3 E )613121()(4E无偏估计有无偏估计有421, 22222138. 0)21()103()51()( D222222348. 0)125()41()31()( D222224389. 0)61()31()21()( D其中最有效的是其中最有效的是32121254131XXX X 1 12X 下面结论（下面结论（ ）是错误的。）是错误的。设设 是取自总体是取自总体X的样本，的样本，, 并且并且 和和,是未知参数是未知参数nXXX,21)(DX 1 (A) 是总体均值是总体均值的无偏估计的无偏估计; 12X (B) 是总体均值是总体均值的无偏估计的无偏估计; 1 2 (C) 比比 有效。有效。 211 niiXn (D) 是总体