第4章 轴向拉伸及压缩

1、工程力学工程力学杆件的几何特征及变形的基本形式2内力 截面法 应力 应变1第4章轴向拉伸与压缩拉（压）杆横截面上的内力及内力图3拉（压）杆横截面及斜截面上的应力4材料在拉伸或压缩时的力学性能5工程力学工程力学拉（压）杆的变形7拉（压）杆的强度设计6第4章轴向拉伸与压缩拉（压）杆超静定问题8应力集中的概念9工程力学工程力学4.1 内力 截面法 应力 应变12内力内力 截面法截面法应力应力3应变应变工程力学工程力学工程力学中所研究的内力，是指物体在外力作用下，其内部质点相互作用力的改变量，称为附加内力附加内力，常简称为内力内力，如图4-1所示。4.1.1 内力 截面法工程力学工程力学假想地用一个截

2、面将构件一分为二，并选其一建立方程，以确定截面上内力的大小和指向的方法，称为截面法。截面法的全部过程可归纳为以下三个步骤：截开；替代；平衡。必须注意：截开面上的内力对研究部分来说属于外力；在用截面法求内力的过程中，静力学中的力的可传性原理及力偶可移性原理的应用是有限制的。4.1.1 内力 截面法工程力学工程力学4.1.2 应力应力应力是受力杆件某一截面上一点处的内力集度。如图4-2所示，K点的总应力，即其中称为正应力，称为切应力。应力的单位是（Pa）帕， 。工程上常用MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其关系为工程力学工程力学4.1.3 应变设图4-3（a）为构件上某一点处取出的一个正六面体，其沿

3、x轴方向的棱边AB原长为 ,变形后变为 ，如图4-3（b）所示。如AB线段内各点处的变形程度相同，则比值 称为线段AB的线应变。工程力学工程力学如线段AB内各点处的变形程度并不相同，则此比值只是线段AB的平均线应变。而A点沿x方向的线应变则为当构件变形后，上述正六面体除棱边的长度改变外，二垂直线段AC与AB间的夹角也会发生变化，不再保持直角（图4-4）。角度的改变量称为切应变。4.1.3 应变工程力学工程力学构件的几何形状是多种多样的，但根据其几何特征，可把构件分为杆件、板与壳、块体三类。杆件有两个主要的几何因素：横截面横截面和轴线轴线。横截面和轴线是互相垂直的（图4-5）。材料力学中所研究的

4、直杆多数是等截面的，称为等直杆等直杆，如图4-5（a）。横截面大小不同的杆称为变截面杆变截面杆。等直杆的计算原理一般也可近似地用于曲率很小的曲杆，如图4-5（b），和横截面变化不大的变截面杆。4.2杆件的几何特征及变形的基本形式工程力学工程力学四种基本变形形式：轴向拉伸或轴向压缩（如图4-6、图4-7） 剪切（如图4-8）4.2杆件的几何特征及变形的基本形式工程力学工程力学扭转（如图4-9）弯曲（如图4-10）4.2杆件的几何特征及变形的基本形式工程力学工程力学12拉伸（压缩）时横截面上的内力拉伸（压缩）时横截面上的内力轴力图轴力图4.3 拉（压）杆横截面上的内力及内力图工程力学工程力学在工程

5、实际中，承受拉伸或压缩的杆件是很常见的。这类杆件从几何上均可抽象为一等直杆。其受力特点是：作用于杆端外力的合力作用线与杆件的轴线重合。其变形特点是：沿轴线方向伸长或缩短，称为轴向拉伸图4-6(a)或轴向压缩图4-6(b)。4.3 拉（压）杆横截面上的内力及内力图工程力学工程力学4.3.1 拉伸（压缩）时横截面上的内力为了确定拉压杆横截面 上的内力，可用截面法假想在 截面处将杆件截断（图4-11），则式中 为杆件任一横截面 上的内力。因为外力F与杆轴线重合，所以内力 的作用线也与杆轴线重合。这种内力称为轴力轴力，用符号 表示。工程力学工程力学4.3.2 轴力图当杆件受到多个轴向外力作用时，在杆的

6、不同段内将有不同的轴力。为了形象地表明杆内轴力随着横截面位置而变化的情况“可根据求得的轴力作出轴力图!通常是按选定的比例尺，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图轴力图。惯上将正值的轴力画在上侧，负值的画在下侧。工程力学工程力学4.4 拉（压） 杆横截面及斜截面上的应力12拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力工程力学工程力学研究拉（压）杆横截面上的应力需综合考虑几何几何、物理物理、静静力力学三个方面。一个重要的变形假设平面假设平面假设，认为杆

7、件变形后，其横截面仍为平面且垂直于轴线。由于假设材料是均匀、连续性的，由此推断：横截面上内力均匀分布，且其方向垂直于横截面，即横截面上只有正应力，而且是均匀分布的图4-13(c)。由此可知，横截面上正应力的计算公式为4.4.1 拉（压）杆横截面上的应力工程力学工程力学严格地说，在杆端集中力作用点附近，应力并非均匀分布。所以，上式在集中力作用点的小范围内是不适用的。圣维南原理圣维南原理指出：力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。这一原理已为试验所证实，所以在拉（压）杆的应力计算中，都以公式（4-3）为准.4.4.1 拉（压）杆横截面上的应力工程力学工程力学如

8、图4-15所示，可知通过拉杆内任一点处不同方位斜截面上的正应力 和切应力 随角而改变的规律通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点处的应力状态。由式（4-4）、式（4-5）还可看出，在所研究的拉杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。4.4.2 拉（压）杆斜截面上的应力工程力学工程力学4.5 材料在拉伸或压缩时的力学性能12低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能其他材料拉伸时的力学性能其他材料拉伸时的力学性能34材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能几种非金属材料的力学性能几种非金属材料的力学性能工程力学工程力学研究杆件的强度

9、和变形时，需了解材料的力学性能，如材料的极限应力、弹性模量等，这些数据需由试验来确定。所谓材料的力学性能材料的力学性能，是指反映材料在外力作用下所呈现的有关强度和变形方面所表现的特性。4.5 材料在拉伸或压缩时的力学性能工程力学工程力学4.5.1 低碳钢拉伸时的力学性能一般试验机上备有自动绘图装置，能自动绘出荷载F与伸长量l间的关系曲线，称为拉伸图。图4-19为低碳钢试样的拉伸图。为消除试样几何尺寸的影响，常将拉伸图上纵坐标F除以试样原横截面面积A，横坐标l除以试样标距的原始长度l。将F-l曲线改制成-曲线，称为应力-应变曲线或-曲线（图4-20）。工程力学工程力学由应力，应变曲线可见，整个拉

10、伸过程大致可分为四个阶段，现分别说明如下：弹性阶段（图4-20中ab点）屈服阶段（图4-20中b点之后）强化阶段局部变形阶段（颈缩阶段）工程上常用试样在拉断后残留的塑性变形来表示材料的塑性性能。常用的塑性指标有以下两个。4.5.1 低碳钢拉伸时的力学性能工程力学工程力学图4-23给出了另外几种材料在拉伸时的 曲线。4.5.2 其他材料拉伸时的力学性能工程力学工程力学对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常规定：取对应于试样卸载后产生0.2%塑性应变时的应力值作为材料的规定非比例延规定非比例延伸强度伸强度，以 表示。这是一个人为规定的极限应力，作为衡量材料强度的指标。确定 数值的方法如图4-24所示

11、，图中直线CD与弹性阶段中的直线部分相平行。4.5.2 其他材料拉伸时的力学性能工程力学工程力学图4-26中的实线为低碳钢压缩时的 曲线，虚线为低碳钢拉伸时的 曲线。可以看出：当应力小于屈服极限时，两曲线基本上是重合的，表明低碳钢压缩时的弹性模量E、比例极限&N#屈服极限 、都与拉伸时大致相同。超过屈服极限以后，试样越压越扁，横截面面积不断增大。试样抗压能力不断提高，所以得不到压缩时的强度极限。因为可从拉伸试验的结果了解它在压缩时的主要力学性能，所以不一定要进行压缩试验。4.5.3 材料压缩时的力学性能工程力学工程力学与塑性材料不同，脆性材料在压缩和拉伸时表现出的力学性能有较大差别。图4-27

12、所示为灰口铸铁在拉伸（虚线）和压缩（实线）时的 曲线，压缩试样的高度与截面直径之比l：d=5:14.5.3 材料压缩时的力学性能工程力学工程力学4.5.4 几种非金属材料的力学性能混凝土木材玻璃钢综上所述，衡量材料力学性能的指标主要有比例极限 （或弹性极限 ）、屈服极限 、强度极限 、弹性模量E、延伸率和断面收缩率等。对于塑性材料来说，抵抗拉断的能力较好，常用的强度指标是屈服极限。而且，一般来说，在拉伸和压缩时的屈服极限值相同。对于脆性材料来说，其抗拉强度远低于抗压强度，强度指标是强度极限，一般用于受压构件。工程力学工程力学4.6 拉（压） 杆的强度设计12许用应力与安全因数许用应力与安全因数

13、拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件工程力学工程力学4.6.1 许用应力与安全因数试验指出，当应力达到某一极限值时，材料便发生破坏。材料破坏时的应力，称为极限应力极限应力，用 表示。一般将极限应力 除以大于1的系数n，作为设计应力的最高限度，称为许用应力，用 表示，即式中，n称为安全系数安全系数，其数值常由设计规范规定。工程力学工程力学确定安全系数主要考虑下列几方面因素：材料的素质，包括材料的均匀程度、是否有缺陷、是塑性材料还是脆性材料等；荷载情况，包括对荷载的估算是否准确、是静荷载还是动荷载及超载作用的可能性；实际构件简化过程和计算方法的精确程度；构件的工作条件及重要程度； 对减轻构件自

14、重的要求等。4.6.1 许用应力与安全因数工程力学工程力学为了保证拉（压）杆的正常工作，必须使杆件的最大工作应力不超过材料在拉（压）时的许用应力，即式（4-9）称为杆件轴向拉伸或压缩时的强度条件.对于等截面直杆，轴向拉伸（压缩）时的强度条件可表示为应用强度条件，可以解决工程中三类强度计算问题，即：校核强度；选择截面；确定许用荷载。4.6.2 拉（压）杆的强度条件工程力学工程力学试验证明：当杆内的应力不超过材料的比例极限时，杆的伸长 与其所受外力F、杆的原长l成正比，而与其横截面面积A成反比，即这一关系式称为胡克定律胡克定律。由式（4-11）还可以看出，对长度相同、受力相等的杆件，EA越大，则变

15、形 越小，所以EA称为杆件的抗拉（抗压）刚度抗拉（抗压）刚度。4.7 拉（压） 杆的变形工程力学工程力学式（4-11）改写后将具有普遍的意义，即得式（4-12）不仅适用于拉（压)杆,而且还普遍适用于所有的单向应力状态,所以常称其为单向应力状态下的胡克定律单向应力状态下的胡克定律。试验结果表明，当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变 与纵向线应变 之比的绝对值为一常数，即 称为横向变形系数横向变形系数或泊松比泊松比，是一个量纲为一的量，其数值随材料而异，由试验测定。4.7 拉（压） 杆的变形工程力学工程力学4.8 拉（压）杆超静定问题12超静定问题及其解法超静定问题及其解法装配应

16、力装配应力3温度应力温度应力工程力学工程力学杆件内力或结构的约束反力都能通过静力平衡方程来确定，这类问题称为静定问题静定问题。在工程上，常遇到一些结构，它的约束反力或杆件内力等未知力的数目，超过了静力平衡方程的数目，仅靠静力学方法无法解决，这类问题称为超静定问题超静定问题。为了求解超静定问题，除平衡方程以外，还需通过研究结构各部分之间的变形几何关系来建立补充方程。补充方程的建立，都基于一个普遍原理，即结构中各杆件的变形应符合结构的变形协调条件变形协调条件。4.8.1 超静定问题及其解法工程力学工程力学求解超静定问题必须考虑以下三方面：满足力的平衡条件；满足变形协调条件；符合力与变形间的物理关系

17、（如在弹性变形范围内，符合胡克定律）。概括地说，即应综合考虑静力学方面、几何方面和物理方面。工程力学的许多基本理论，也正是从这三个方面进行综合分析后建立起来的。4.8.1 超静定问题及其解法工程力学工程力学4.8.2 装配应力在超静定问题中，有时虽然没有荷载作用，但由于制造误差，在结构装配后，杆件中也将产生应力，这种应力称为装配装配应力应力。在超静定问题中，构件的尺寸即使有很小的误差，也可能会在结构中产生相当可观的装配应力。装配应力既可能带来有利的影响，也可能产生不利的后果。在工程实际中，应利用其有利的一面，而避免其不利的影响。工程力学工程力学 4.8.3 温度应力在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制，在构件中将产生应力，这种应力称为温度应力温度应力。解决荷载作用、制造误差、温度变化等因素对超静定结构内力和应力的影响的两种方法：将所有因素同时考虑进去；先分别计算出由荷载作用、制造误差、温度改变等单个因素所引起的杆的内力和应力，然后求相应结果的代数和来确定最终的内力和应力值。此法即为叠加法。工程力学工程力学 4.8.3 温度应力解决超静定问题的具体步骤可以归纳如下：从静力学方面，列出静力平衡方程；从几何方面，观察构