42力矩转动定律转动惯量

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量1 力可以使刚体转动，经验表明其效力可以使刚体转动，经验表明其效果不仅取决于力的大小而且还与力的方果不仅取决于力的大小而且还与力的方向和作用点的位置有关。向和作用点的位置有关。ff哪个力容易哪个力容易将门关上将门关上f 力力 在在转转动动平平面面内内：pz*or f r f 力力 的的作作用用点点相相对对转转轴轴的的位位矢矢m f 力力相相对对转转轴轴的的力力矩矩mrf 大小：大小：mrf sin rf 与与 的的夹夹角角dfd d：力力臂臂方向：方向： 右手螺旋法则右手螺旋法则m drsin第四章第四

2、章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2 f 力力 在在转转动动平平面面内内：pz*or f r f 力力 的的作作用用点点相相对对转转轴轴的的位位矢矢m f 力力相相对对转转轴轴的的力力矩矩mrf 大小：大小：mrf sin rf 与与 的的夹夹角角dfd d：力力臂臂方向：方向： 右手螺旋法则右手螺旋法则m 对于作定轴转动的刚体，一般规定：对于作定轴转动的刚体，一般规定：如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿逆时针逆时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为正正；如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿顺时针顺时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为负负；第四章第四章 刚体的转

3、动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量3mrf 大小：大小：mrf sinrd 方向：方向： 右手螺旋法则右手螺旋法则对于作定轴转动的刚体，一般规定：对于作定轴转动的刚体，一般规定：如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿逆时针逆时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为正正；如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿顺时针顺时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为负负；1 力矩的力矩的三要素：三要素：（1）力的大小和方向；）力的大小和方向；（2）力的作用点；）力的作用点； （3）转轴位置）转轴位置 .f2. 若若力力 不不在在转转动动平平面面内内：zok pr f f f fff f ：垂垂直直

4、于于转转轴轴的的分分力力；第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量4对于作定轴转动的刚体，一般规定：对于作定轴转动的刚体，一般规定：如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿逆时针逆时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为正正；如力矩使刚体沿如力矩使刚体沿顺时针顺时针方向转动，力矩为方向转动，力矩为负负；1 力矩的力矩的三要素：三要素：（1）力的大小和方向；）力的大小和方向；（2）力的作用点；）力的作用点； （3）转轴位置）转轴位置 .f2. 若若力力 不不在在转转动动平平面面内内：zok pr f f f fff f ：垂垂直直于于转转轴轴的的分分力力；f

5、：平平行行于于转转轴轴的的分分力力，力力矩矩为为零零。zmrf 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量5f2. 若若力力 不不在在转转动动平平面面内内：zok pr f f f fff f ：垂垂直直于于转转轴轴的的分分力力；f ：平平行行于于转转轴轴的的分分力力，力力矩矩为为零零。zmrf 3 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在转动平面内，则它们的合外力矩等于这几个外几个外力都在转动平面内，则它们的合外力矩等于这

6、几个外力矩的代数和。力矩的代数和。mmmm123 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量63 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在转动平面内，则它们的合外力矩等于这几个外几个外力都在转动平面内，则它们的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。力矩的代数和。mmmm123 4 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消ojr ir ijijf jif dijjimm ormz刚体的内力矩之和为零

7、刚体的内力矩之和为零第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量7 4 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消ojr ir ijijf jif dijjimm m1. 单单个个质质点点 与与转转轴轴刚刚性性连连接接or mz刚体的内力矩之和为零刚体的内力矩之和为零f tf nf 合力合力mrf sin合力矩：合力矩：trf 其中：其中：ttfma mr tar 角加速角加速度度第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量8m1. 单单个个质质点点 与与转转轴轴刚刚性

8、性连连接接or mzf tf nf 合力合力mrf sin合力矩：合力矩：trf 其中：其中：ttfma mr 角加速角加速度度tmrf mr2mmr2质点质点的的转动惯量转动惯量jmr2 质点所受合力矩与质点所受合力矩与角加速度的关系角加速度的关系mj质点转动惯性质点转动惯性大小的量度大小的量度此结论能否推广到刚体？此结论能否推广到刚体？第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量9质点质点的的转动惯量转动惯量jmr2 质点所受合力矩与质点所受合力矩与角加速度的关系角加速度的关系mj此结论能否推广到刚体？此结论能否推广到刚体？2. 刚体刚体oz

9、jm ejf ijf jm 所所受受合合力力矩矩：ijjfm ：所所受受合合内内力力jr ejijjjmmm r2 ejjfm ：所所受受合合外外力力; ;外外力矩力矩内内力矩力矩第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量102. 刚体刚体ozjm ejf ijf jm 所所受受合合力力矩矩：ijjfm ：所所受受合合内内力力jr ejijjjmmm r2 ejjfm ：所所受受合合外外力力; ;外外力矩力矩内内力矩力矩对所有质点求和：对所有质点求和： ejijjjjjjmmm r2 其中：其中： ijjm0 已已证证 ejjjjjmm r2

10、刚体刚体的的转动惯量：转动惯量： jjjjm r2 若质量连续分布若质量连续分布 jjjmjjm r20lim rm2d mj 刚体定轴转动的角刚体定轴转动的角加速度与它所受的加速度与它所受的合外合外力矩力矩成正比成正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. .第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量11对所有质点求和：对所有质点求和： ejijjjjjjmmm r2 其中：其中： ijjm0 已已证证 ejjjjjmm r2 刚体刚体的的转动惯量：转动惯量： jjjjm r2 若质量连续分布若质量连续分布 jjjmjjm r2

11、0lim rm2d mj 刚体定轴转动的角刚体定轴转动的角加速度与它所受的加速度与它所受的合外合外力矩力矩成正比成正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. .1. 物理物理意义意义 转动惯量与物体的惯性质量物理意义一致，转动惯量与物体的惯性质量物理意义一致，是物体转动惯性大小的量度。是物体转动惯性大小的量度。2. 与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：（1 1）刚体的总质量；）刚体的总质量；（2 2）质量分布）质量分布； （3 3）转轴的位置）转轴的位置；第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量12 飞轮的质量为什么大飞

12、轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？ 转动惯量大，不易转动惯量大，不易受阻力影响受阻力影响竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？竿子长，转动惯量大，较易控制竿子长，转动惯量大，较易控制第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量131. 物理物理意义意义 转动惯量与物体的惯性质量物理意义一致，转动惯量与物体的惯性质量物理意义一致，是物体转动惯性大小的量度。是物体转动惯性大小的量度。2. 与转动惯量有关的与转动惯量有关的因素因素：（1 1）刚体的总质量；）刚体的总质量；（2 2）质量分布）质量分布； （3 3）转轴的位置）转轴

13、的位置；3. 转动惯量的转动惯量的计算计算：（1）单个质点的转动惯量）单个质点的转动惯量jmr2 （2）质量离散分布刚体的转动惯量）质量离散分布刚体的转动惯量jjjjm r2 m rm r221 12 2（3）质量连续分布刚体的转动惯量）质量连续分布刚体的转动惯量jrm2d 1r3r2r1m2m3m转轴转轴md ：质质量量元元第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量143. 转动惯量的转动惯量的计算计算：（1）单个质点的转动惯量）单个质点的转动惯量jmr2 （2）质量离散分布刚体的转动惯量）质量离散分布刚体的转动惯量jjjjm r2 m rm

14、 r221 12 2（3）质量连续分布刚体的转动惯量）质量连续分布刚体的转动惯量jrm2d 1r3r2r1m2m3m转轴转轴2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：dlrdmmldd mldd 质量线密度质量线密度md ：质质量量元元jrm2d 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量152 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：dlrdmmldd mldd 质量线密度质量线密度jrm2d 2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：mdsdr msdd 质量面密度质量面密度msdd 2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：mdr

15、vdmvdd 质量体密度质量体密度mvdd 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量162 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：msdd 质量面密度质量面密度msdd 2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：mdr vdmvdd 质量体密度质量体密度mvdd 例例1 一一 质量为质量为 m 、长为长为 l 的的均匀细长棒，求通过棒中心均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量并与棒垂直的轴的转动惯量.o ol第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量17例例1 一一 质量为质量为

16、 m 、长为长为 l 的的均匀细长棒，求通过棒中心均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量并与棒垂直的轴的转动惯量.o ol解：解：rdrml 质量线密度质量线密度mrdd 转动惯量：转动惯量：jrm2d llrr/22/2d llr/23/213 l3112ml2112 例例2 如转轴过端点垂直于棒，试证明转动惯量为如转轴过端点垂直于棒，试证明转动惯量为jml213 lo odrr第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量18例例2 如转轴过端点垂直于棒，试证明转动惯量为如转轴过端点垂直于棒，试证明转动惯量为jml213 lo odr

17、r例例3 一质量为一质量为 m 、半径为、半径为 r 的均匀圆盘，求通过盘中心的均匀圆盘，求通过盘中心 o 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.or解：解：rordr质量面密度：质量面密度：ms 2mr 圆环质量：圆环质量：ddms 2dr r d2dsr r 转动惯量：转动惯量：jrm2d 302drrr 412r212mr 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量19l细杆细杆（转轴过中（转轴过中心与棒垂直）心与棒垂直）2112jml细杆细杆（转轴过端（转轴过端点与棒垂直）点与棒垂直）l213jml圆盘、柱圆盘、柱（转轴

18、（转轴沿几何轴）沿几何轴）r212jmr圆筒圆筒（转轴沿几（转轴沿几何轴）何轴）1r2r221212jm rr2jmr球体球体（转轴沿（转轴沿直径）直径）r225jmr薄圆环薄圆环（转轴沿（转轴沿几何轴）几何轴）r补充作业补充作业第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量20例例4 分别质量为分别质量为m，边长分别为，边长分别为a、b的矩形薄板对的矩形薄板对x、y、z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。xyzoab解：解：对对 x 轴轴mab ma ydd mybd xjym2d bbmyyb/22/2d 2112mb （2）同理，对同理，对 y 轴

19、轴yjma2112 （3）对对 z 轴轴xyzabdyydxxr2dzjrm 222rxy xym22d ydy（1）bbmyb/23/213 xmym22ddxyjj m ab22112第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量21（2）同理，对同理，对 y 轴轴yjma2112 （3）对对 z 轴轴xyzabdyydxxr2dzjrm 222rxy xym22d xmym22ddxyjj m ab22112 质量为质量为 m 的刚体，如果对其的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为质心轴的转动惯量为 jc，则对任，则对任一与该轴平行，相距为一与该

20、轴平行，相距为 d 的转轴的转轴的转动惯量的转动惯量dcomocjjmd2第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量22 质量为质量为 m 的刚体，如果对其的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为质心轴的转动惯量为 jc，则对任，则对任一与该轴平行，相距为一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转轴的转动惯量的转动惯量dcomocjjmd2orpp 如图，试计算圆盘绕如图，试计算圆盘绕pp轴的轴的转动惯量。转动惯量。ojmr212 ppojjmr2mr232 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量23o

21、rpp 如图，试计算圆盘绕如图，试计算圆盘绕pp轴的轴的转动惯量。转动惯量。ojmr212 ppojjmr2mr232 aor2r例例4 计算图示物体对计算图示物体对a点的转动惯点的转动惯量。量。已知杆的质量为已知杆的质量为 ，圆盘的质，圆盘的质量为量为 。m1m2第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量24aor2r例例4 计算图示物体对计算图示物体对a点的转动惯点的转动惯量。量。已知杆的质量为已知杆的质量为 ，圆盘的质，圆盘的质量为量为 。m1m2解：解： ajmr21123杆杆m r2143 ojm r2212 盘盘aojjm d22盘

22、盘盘盘dr3 平行轴定理：平行轴定理： m rmr2222132m r22192 aaajjj杆杆盘盘m rm r221241932第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量25第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量26mj刚体所受刚体所受合外力矩合外力矩刚体绕转轴刚体绕转轴的角加速度的角加速度fma1. 隔离体法画示力图。隔离体法画示力图。2. 对平动物体运用牛顿定律列方程；对平动物体运用牛顿定律列方程； 对转动物体运用转动定律列方程。对转动物体运用转动定律列方程。3. 角加速度与线加速度

23、关系角加速度与线加速度关系ar 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量27h,m rmm1. 隔离体法画示力图。隔离体法画示力图。2. 对平动物体运用牛顿定律列方程；对平动物体运用牛顿定律列方程； 对转动物体运用转动定律列方程。对转动物体运用转动定律列方程。3. 角加速度与线加速度关系角加速度与线加速度关系ar 例例6 如图，定滑轮（可视为圆盘）的质量为如图，定滑轮（可视为圆盘）的质量为 m，半径为，半径为r，物体质量为物体质量为 m。求物体由静止下落高度。求物体由静止下落高度 h 时物体的速度和时物体的速度和滑轮的角速度。滑轮的角速度。第

24、四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量28h,m rmm例例6 如图，定滑轮（可视为圆盘）的质量为如图，定滑轮（可视为圆盘）的质量为 m，半径为，半径为r，物体质量为物体质量为 m。求物体由静止下落高度。求物体由静止下落高度 h 时物体的速度和时物体的速度和滑轮的角速度。滑轮的角速度。解：解：m：matmgmgtmam：tmgt rj其中：其中：tt arjmr212 mgtmatma12 mgamm22 00 v下落高度下落高度 h 时物体的速度时物体的速度ah2 vmghmm22 滑轮角速度滑轮角速度r v mghrmm22 n第四章第四

25、章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量29m r00,m1m260 45 mgamm22 00 v下落高度下落高度 h 时物体的速度时物体的速度ah2 vmghmm22 滑轮角速度滑轮角速度r v mghrmm22 例例7 如图，斜面光滑，已知如图，斜面光滑，已知 滑轮可视为均质圆盘。求物体的滑轮可视为均质圆盘。求物体的加速度及绳的张力。加速度及绳的张力。mm121.0kg1.5kg，mr000.2kg0.03m.，第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量30m r00,m1m260 45 例例7

26、如图，斜面光滑，已知如图，斜面光滑，已知 滑轮可视为均质圆盘。求物体的滑轮可视为均质圆盘。求物体的加速度及绳的张力。加速度及绳的张力。mm121.0kg1.5kg，mr000.2kg0.03m.，解：解：m1：m1t1m g1n160 tm gm a111sin60 m2：m2m g2t2n245 aam gtm a222sin45 m0：m r00,nm g0t1t2 t rt rj20100其中：其中：tt11, tt22, a r0/, jm r200 012 tm gm a111sin60 m gtm a222sin45 ttm a21012第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24

27、-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量31m r00,m1m260 45 例例7 如图，斜面光滑，已知如图，斜面光滑，已知 滑轮可视为均质圆盘。求物体的滑轮可视为均质圆盘。求物体的加速度及绳的张力。加速度及绳的张力。mm121.0kg1.5kg，mr000.2kg0.03m.，解：解：m1t1m g1n160 m2m g2t2n245 aam r00,nm g0t1t2 tm gm a111sin60 m gtm a222sin45 ttm a21012 mmammm210122sin45sin6022 10.73m s tm am g111sin60 9.22n tm gm a22

28、2sin45 9.30n 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量32解：解： mmammm210122sin45sin6022 10.73m s tm am g111sin60 9.22n tm gm a222sin45 9.30n 例例8 有一高为有一高为h，宽为，宽为 b ，质量为，质量为 m 的的均质平板可绕一条均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和面元通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和面元的大小与面元的速度平方乘积成正比，比例系数为的大小与面元的速度平方乘积成正比，比例系数为 k 。板。板的初始角速度为的初始角速度为 0。试求其角速度随时间的变化规律。试求其角速度随时间的变化规律。o ohmb0第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-24-2力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量33解：解：例例8 有一高为有一高为h，宽为，宽为 b ，质量为，质量为 m 的的均质平板可绕一条均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和面元通过其一端的竖直轴旋转，板上面元所受到的阻力和面元的大小与面元的速度平方乘积成正比，比例系数为的大小与面元的速度平方乘积成正比，比例系数为 k 。板。板的初始角速度为的初始角