二三重积分的应用

1、一、二重积分的应用一、二重积分的应用(1) 体积体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面dyxfz),( ddxdyyxfv.),(设设s曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面s的面积为的面积为 ;122dxdyaxydyzxz (2) 曲面积曲面积设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxms .dsdadadsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准

2、线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxmdaxyzs o ,面上的投影面上的投影在在为为xoydad ,cos dad,11cos22yxff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyaxydyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxazxdxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzayzdzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222a

3、zyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平

4、面上的投影域为xy,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaasxyd 222441故故dxdyxyd 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(y

5、x处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标解解先求区域先求区域 d的面积的面积 a， 20t， ax 20 adxxya20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , dydxdyay1 )(0201xyaydydxa adxxya2022)(

6、61 203cos16dtta.65 所求形心坐标为所求形心坐标为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，.)0(cos,cos4之间的均匀薄片的重心求位于两圆例babrar、ab xyo解解:薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 ddddxxdrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域d，在点在

7、点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(4) 转动惯量转动惯量解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxidy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyidx 2 .1213 ab 解解先求形心先求形心,1 dxdxdyax.1 dydxdyay 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hba 区域面积区域面积 因

8、因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 dududvvi2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 dvdudvui2 .123 hb 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0

9、(0am处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxffff ,)(),(23222dayxxyxkfdx,)(),(23222dayxyyxkfdy.)(),(23222dayxyxakfdzk为引力常数为引力常数(5) 引力引力解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxff dayxyxaffdz 23)(),(222 dayxafd 23)(1222oyzxfdrrardafr 0222023)(1.11222 aarfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aarfa二、三重积分的应用二、三重积分的应用. dvm 其中其中,1 dvxmx () 重心重心

10、,1 dvymy .1 dvzmz ,2 dvzixy () 转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxiyz ,2 dvyizx ,)(22 dvzyix ,)(22 dvxziy ,)(22 dvyxiz .)(222 dvzyxio . : 2222轴的转动惯量对求质量均匀分布的球体zrzyxoxyzdv轴的转动惯量为该微元对于是离为轴的距与点在立体内任取一点其体积同时也表示内取

11、一小立体在球体设密度为zyxzmzyxmdvdv,),(,22v)( )(2222dyxidvyxdizz从而 , )(i , )(i ,2222dvzxdvzyyxyx惯量轴的转动关于我们同时考虑为了简化计算8例解 , )(i , )(i ,2222dvzxdvzyyxyx转动惯量轴的轴关于我们同时考虑为了简化计算 )(32)(31,222dvzyxiiiiiiizyxzzyx于是由对称性504020158sin32rdrrddr。m、该质点的引力试求圆锥体对的质点在它的顶点上为又设有质量密度为如图设有一锥体例,),(9则的质点的引力为对质量是时表示其体积同是包含此点的体积元素点内任一是圆锥域设,),(mdvfddvzyxmoxyzrhldv , ,/ )( 222故为引力常数zyxomomfdkzyxdvmkfd解引力) 3 ( ,)( 23222zyxzyxdvkmomomfdfdcos0arccos020222cossin)( 0, 23hzyxdrddkmdvzyxzkmffflh由对称性)1(2 lhhmk)1 (2 , 0 , 0 lhhmkf。hr、所作的功完试计算将桶中水全部抽桶中装满水水桶米的圆柱形高为米设有一半径为例,10得很小时当的小立体体积为点及包含任取一