第十三章函数列及函数项级数

1、第十三章 函数列与函数项级数目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法.第一节 一致收敛性我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数.一 函数列及其一致收敛性 设 (1)是一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.也可简记为： 或 , .设,将代入

2、得到数列 (2)若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点收敛,称为函数列(1)的收敛点.若数列(2)发散,则称函数列(2)在点发散.若函数列在数集上每一点都收敛,则称在数集上收敛.这时对于,都有数列的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了上的一个函数,称它为函数列的极限函数.记作.于是有 , ,或 ,.函数列极限的定义是： 对每一个固定的,对,（注意：一般说来值的确定与和的值都有关）,使得当时,总有 .使函数列收敛的全体收敛点的集合,称为函数列的收敛域.例1 设,为定义在上的函数列,证明它的收敛域是,且有极限函数 (3)证明：因为定义域为,所以根据数列收敛的定义可以将分为四部分 (i) ,对

3、于任给（不妨设）,当时,由于,故只要取,则当时,就有.(ii)和时,则对任何正整数,都有,.(iii) 当时,则有,(iv) 当时,对应的数列为,它显然是发散的. 这就证得在上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列在区间外都是发散的.例2 定义在上的函数列,由于对任何实数,都有 ,故对任给的,只要,就有.所以函数列的收敛域为无限区间,函数极限.定义1 设函数列与函数定义在同一数集D上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切的,都有则称函数列在上一致收敛于,记作：.注：一致收敛一定收敛，反之不一定成立例 在上收敛但是不一致收敛，取，但是在上一致收敛.其中定理13.1（函数列一

4、致收敛的柯西准则） 函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对任给的正数,总存在正数,使得当时,对一切,都有 . （4）证明 必要性 设,即对任给,存在正数,使得当时,对一切,都有 . （5）于是当,由（5）就有 . 充分性 若条件（4）成立,由数列收敛的柯西准则,在上任一点都收敛,记其极限函数为,.现固定（4）式中的,让,于是当时,对一切都有.由定义1, ,.定理13.2 函数列在区间上一致收敛于的充要条件是： . （6）证明 必要性 若,.则对任给的正数,存在不依赖与的正整数,当时,有, .由上确界的定义,亦有，则有 . 充分性 由假设,对任给的,存在正整数,使得当,有 . （7）因为对一切,

5、总有.故由(7)式得 .于是在上一致收敛于.（第四版）推论 函数列在区间上不一致收敛于的充要条件是：存在,使得.例3定义在上的函数列 （8）由于,故.当时,只要,就有,故在上有.于是函数列(8)在上的极限函数,又由于 ,所以函数列(8)在上不一致收敛.(第四版课本上例题)设,判别在上的一致收敛性.解： 求出驻点为在区间,；在,所以极大值点为因此,所以不一致收敛同样也可取,还可取,也可以证明函数列不一致收敛.二 函数项级数及其一致收敛性设是定义在数集上的一个函数列,表达式 , （9）称为定义在上的函数项级数,简记为或.称 , , （10）为函数项级数(9)的部分和函数列. 若,数项级数 （11）

6、收敛,既部分和当时极限存在,则称级数（9）在点收敛,称为级数(9)的收敛点,若级数(11)发散,则称级数(9)在点处发散.若级数(9)在某个子集上每个点都收敛,则称级数(9)在点上收敛,若为级数(9)全体收敛点的集合,这时则称为级数(9)的收敛域.级数(9)在上每一点与其所对应的数项级数(11)的和构成一个定义在上的函数,称为级数(9)的和函数,并写作,即 ,.也就是说,函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛性.例4 定义在上的函数项级数（几何级数） （12）的部分和函数为.故当时,.所以几何级数(12)在内收敛于和函数；当时,发散；当时,发散当时,几何级数是发散的.定义

7、2（函数项级数一致收敛性定义） 设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛.(第四版)若在任意的闭区间上一致收敛,则称级数在区间上内闭一致收敛.由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的,因此有定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数在上一致收敛的充要条件是：对于任给的,使得当时,对一切和一切正整数,都有 即 .特别地,当时,得到函数项级数收敛的必要条件：推论 若函数项级数在上一致收敛,则函数列在上一致收敛于0.设,称为函数项级数的余项.定理13.4 函数项级数在上一致收敛于充要条件是 .例：若在上讨论，

8、则若在上，则三 函数项级数的一致收敛性判别法1.用定义；2.柯西收敛准则（定理3）；3.函数项级数一致收敛的充要条件（必须已知和函数才可用此判别法）；4.魏尔斯特拉斯判别法定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法,也称判别法或优级数判别法）设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对于一切的,有,则函数项级数在上一致收敛.证明：要想证明函数项级数在上一致收敛,只需要根据柯西收敛准则,即证明对于任给的,使得当时,对一切和一切正整数,都有 .而而已知为收敛的正项级数,则对于任给的,使得当时,对于一切正整数,都有注:(i)应用此判别法的关键是：从出发找到所需的.(ii)由此判别法所得结果是绝对一致收敛的

9、.例5 判断函数项级数和在上的一致收敛性.解：；,而数项级数收敛定理13.6 (阿贝尔判别法) 设 (i) 在区间上一致收敛；(ii)对于每一个,是单调的；(iii)在区间上一致有界,即对一切和正整数,存在正数,使得 ,则级数在区间上一致收敛.定理13.7 (狄利克雷判别法)设 (i)的部分和函数列 在区间上一致有界；(ii)对于每一个,是单调的；(iii)在区间上,则级数在区间上一致收敛.例6 证明函数项级数在上一致收敛.证明：令；显然收敛,对于中,设,因此函数列单调递增,并且,所以一致有界,根据阿贝尔判别法可知级数收敛 例7 若数列单调且收敛于零,则级数在上一致收敛.解:部分和数列一致有界

10、,数列单调且收敛于零,则根据狄利克雷判别法可知函数项级数一致收敛第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质主要讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性、可微性.定理13.8 设函数列在上一致收敛于,且对,则、均存在,且相等.即.（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）证明：首先证明存在,由于函数列在上一致收敛于,则对于任意的,总存在正整数,当及任意的正整数,对于一切,有左右同时令,有,根据数列收敛的柯西收敛准则可知,存在.令下面证明只需要证明对于,存在,当时,有 又因为,则对于,存在正整数,当时,有因此因为,则由极限定义可知,存在,当时,有,从而,则对于,存在正整数,当时,有,从而证明

11、成立定理13.9（连续性） 若函数列在区间上一致收敛于,且对,在上连续,则在上也连续.证明：要想证明在上也连续,则只需要证明对于,有即证明 对于,存在,当时,有而 因为,则对于,存在正整数,对于任意的,当时,有因此； 又因为,则对于,存在,对于任意的,当时,有说明：若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续,则此函数列在区间上不一致收敛.如：在上.因为,显然函数在处不连续定理13.10（可积性） 若函数列在上一致收敛,且每一项都连续,则 .证明:要证明,只需要证明对于,存在正整数,对于任意的,当时,有因为函数列在上一致收敛,不妨假设则对于,存在正整数,对于任意的,当时,有而 注1 该定理

12、指出：在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序；注2 一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件.如下面的：例1 设函数 , .解：先验证函数在上的连续性 ； 所以函数列在处连续；所以函数在点处连续综合以上可知函数列在连续然后求函数列的极限(1)当时,；(2)当时,(3)当,则取,当时,因为,所以要让函数列一致收敛于充要条件是 ,要让充要条件是当时,显然函数列不一致收敛于；当时,函数列不一致收敛于且定理13.11（可微性） 设为定义在上的函数列,若为的收敛点,的每一项在上有连续的导数,且在上一致收敛,则.证明:首先证明存在,假设；因为的每一项在上有连续的导数,则即令,则上式

13、为 右式第一项为常数,第二项为关于的函数,因此存在,令下面证明,左右可以求导,则注1 在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2 该定理指出：在一致收敛的条件下,求导运算与极限运算可以交换顺序；注3 一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件.推论 设函数列定义在区间上,若为的收敛点,且在区间上内闭一致收敛,则在上可导,且例2 设函数列 ,. 解： 所以函数列在上不一致收敛,但是对于任意的所以函数列在上内闭一致收敛,由推论可知在上下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出.定理13.12（连续性） 若函数项级数在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其和函数也在区间上连续.注：在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即 .定理13.13（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛,且每一项都连