2021届高考数学统考第二轮专题复习第16讲圆锥曲线中的变量问题学案理含解析

1、第16讲圆锥曲线中的变量问题1.2020浙江卷如图m5-16-1,已知椭圆c1:x22+y2=1,抛物线c2:y2=2px(p0),点a是椭圆c1与抛物线c2的交点,过点a的直线l交椭圆c1于点b,交抛物线c2于m(b,m不同于a).(1)若p=116,求抛物线c2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使m为线段ab的中点,求p的最大值.图m5-16-12.2019全国卷已知点a(-2,0),b(2,0),动点m(x,y)满足直线am与bm的斜率之积为-12.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程,并说明c是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交c于p,q两点,点p在第一象限,pex轴,垂足为e,

2、连接qe并延长交c于点g.(i)证明:pqg是直角三角形;(ii)求pqg面积的最大值.最值问题1已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)过点32,32,且右焦点为f(2,0).(1)求椭圆c的标准方程;(2)设过定点m(0,2)的直线l(与y轴不重合)与椭圆c交于不同的两点a,b,且b点关于原点的对称点为n,ab=am12b0)的左、右顶点,直线bp交e于另一点q,abp为等腰直角三角形,且|pq|qb|=32.(1)求椭圆e的方程;(2)设过点p的直线l与椭圆e交于m,n两点,mon为锐角,求直线l斜率的取值范围.【规律提炼】求解圆锥曲线的最值与范围问题常用以下方法:(1)不等式(组)

3、求解法;(2)数形结合法;(3)函数值域求解法,即把所讨论的参数作为一个函数;(4)利用基本不等式;(5)利用三角函数有界性;(6)导数法.测题抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,过焦点f的直线l与抛物线交于a,b两点,点a到x轴的距离等于|af|-1.(1)求抛物线的方程;(2)过f与ab垂直的直线和过b与x轴垂直的直线相交于点m,am与y轴交于点n,求点n的纵坐标的取值范围.第16讲圆锥曲线中的变量问题真知真题扫描1.解:(1)由p=116得c2的焦点坐标是132,0.(2)由题意可设直线l:x=my+t(m0,t0),点a(x0,y0).将直线l的方程代入椭圆c1:x22+y2=1得(

4、m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点m的纵坐标ym=-mtm2+2.将直线l的方程代入抛物线c2:y2=2px得y2-2pmy-2pt=0,所以y0ym=-2pt,解得y0=2p(m2+2)m,因此x0=2p(m2+2)2m2.由x022+y02=1得1p2=4m+2m2+2m+2m4160,所以当m=2,t=105时,p取到最大值1040.2.解:(1)由题设得yx+2yx-2=-12,化简得x24+y22=1(|x|2),所以c为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)证明:设直线pq的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由y=kx,x24+y22=1得x

5、=21+2k2.记u=21+2k2,则p(u,uk),q(-u,-uk),e(u,0),于是直线qg的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.设g(xg,yg),则-u和xg是方程的解,故xg=u(3k2+2)2+k2,由此得yg=uk32+k2,从而直线pg的斜率为uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k,所以pqpg,即pqg是直角三角形.(ii)由(i)得|pq|=2u1+k2,|pg|=2ukk2+12+k2,所以pqg的面积s=12|pq|pg|=8k(1+k2)(1+2k2)(2

6、+k2)=81k+k1+21k+k2.设t=k+1k,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.因为s=8t1+2t2在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,s取得最大值,最大值为169.因此,pqg面积的最大值为169.考点考法探究解答1例1解:(1)因为椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)过点32,32,且右焦点为f(2,0),所以34a2+34b2=1,c2=a2-b2=2,解得a2=3,b2=1,所以椭圆c的标准方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+2,a(x1,y1),b(x2,y2),则n(-x2,-y2).由x23+y2=1,y=kx+2,得(1+3k2

7、)x2+12kx+9=0,由=144k2-36(1+3k2)=36(k2-1)0,得k21,则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2.因为ab=am,所以x2-x1=-x1,y2-y1=(2-y1),所以1-=x2x1,得13x2x112.因为(x1+x2)2x1x2=(-12k1+3k2)291+3k2,所以16k21+3k2=x2x1+1x2x1+2,令x2x1=t13t12,则16k21+3k2=t+1t+2.由对勾函数的单调性可知,函数y=t+1t+2在区间13,12上单调递减.当13t12时,16k21+3k2=t+1t+292,163,即9216k21+3k2163,解得k295.又|an|=(x2+x1)2+(y2+y1)2=(x2+x1)2+k(x2+x1)+42=49k2+13k2+1.令1+3k2=,则325,00,得k234,则x1+x2=16k1+4k2,x1x2=121+4k2.mon为锐角,cosmon0,omon0,x1x2+y1y20,x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2