2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理学案理含解析

1、第六节第六节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情分析 核心素养 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题仍将是 2021 年高考考查的热点， 题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分. 1.数学运算 2.逻辑推理 知识梳理 1正、余弦定理 在abc 中，若角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，r 为abc 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 asin a 1bsin b 2csin

2、 c2r a2 3 b2c22bccos_a； b2 4 c2a22accos_b； c2 5 a2b22abcos_c 常见变形 (1)a2rsin a， b 6 2rsin_b， c 7 2rsin_c； (2)sin aa2r，sin b 8b2r，sin cc2r； (3)abc 9 sin asin_bsin_c； (4)asin bbsin a， bsin ccsin b， asin ccsin a cos a 10b2c2a22bc； cos b 11c2a2b22ac； cos c 12a2b2c22ab 常用结论 三角形中的常用结论 (1)abc，ab22c2. (2)在三角

3、形中大边对大角，反之亦然 (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 (4)在abc 中，tan atan btan ctan atan btan ca，b，c2. 2三角形的面积 sabc12absin c12bcsin a12acsin babc4r12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 r，r. 基础自测 一、疑误辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在abc 中，已知 a，b 和角 b，能用正弦定理求角 a；已知 a，b 和角 c，能用余弦定理求边 c.( ) (2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形( ) (3

4、)在abc 中，sin asin b 的充分不必要条件是 ab( ) (4)在abc 中，“a2b2c2”是“abc 为钝角三角形”的充分不必要条件( ) (5)在abc 的角 a，b，c，边长 a，b，c 中，已知任意三个可求其他三个( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、走进教材 2(必修 5p10a4改编)在abc 中，ab5，ac3，bc7，则bac( ) a6 b3 c23 d56 答案：c 3(必修 5p10b2改编)在abc 中，acos abcos b，则这个三角形的形状为_ 答案：等腰或直角三角形 三、易错自纠 4在abc 中，若 a18，b24，a45，则

5、此三角形有( ) a无解 b两解 c一解 d解的个数不确定 解析：选 b asin absin b， sin bbasin a2418sin 452 23. 又ab，b 有两个解， 即此三角形有两解故选 b 5abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.已知 c60，b 6，c3，则 a_ 解析： 由正弦定理， 得 sin bbsin cc6sin 60322， 因为 0b180， 所以 b45或 135.因为 bc，所以 bc，故 b45，所以 a180604575. 答案：75 6在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，cos 2asin a，bc2，则abc的

6、面积为_ 解析：由 cos 2asin a，得 12sin2asin a，解得 sin a12(负值舍去)，由 bc2，可得abc 的面积 s12bcsin a1221212. 答案：12 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2019 年全国卷)abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin aacos b0，则 b_ 解析 解法一：依题意与正弦定理得，sin bsin asin acos b0，即 sin bcos b，则tan b1.又 0b，所以 b34. 解法二：由正弦定理得，bsin aasin b，又 bsin aacos b0，所以 asi

7、n bacos b0，即 sin bcos b，则 tan b1.又 0b，所以 b34. 答案 34 (2)(2019 年全国卷)abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，设(sin bsin c)2sin2asin bsin c 求 a； 若 2ab2c，求 sin c 解 由已知得，sin2bsin2csin2asin bsin c， 故由正弦定理得，b2c2a2bc. 由余弦定理得，cos ab2c2a22bc12. 因为 0a180，所以 a60. 由知，b120c，由题设及正弦定理得， 2sin asin(120c)2sin c，即6232cos c12sin c2si

8、n c，可得 cos(c60)22. 由于 0c1，矛盾无解；若 0sin a1，可能有两解，也可能只有一解需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定 a 是两解或者一解 |跟踪训练| 1(2019 届河北“五个一名校联盟”模拟)已知 a，b，c 分别是abc 的内角 a，b，c 所对的边，且 c2，c3，若 sin csin(ba)2sin 2a，则 a_ 解析：在abc 中，由 sin csin(ba)2sin 2a 可得，sin(ab)sin(ba)2sin 2a，即 sin acos bcos asin bcos asin bsin acos b4sin acos a， cos as

9、in b2sin acos a，即 cos a(sin b2sin a)0，即 cos a0 或 sin b2sin a， 当 cos a0 时，a2； 当 sin b2sin a 时，根据正弦定理得 b2a， 由余弦定理 c2b2a22abcos c，结合 c2，c3，得 a2b2ab4， a2 33，b4 33，b2a2c2，b2，a6. 综上可得，a2或6. 答案：2或6 2(2019 年北京卷)在abc 中，a3，bc2，cos b12. (1)求 b，c 的值； (2)求 sin(bc)的值 解：(1)由余弦定理 b2a2c22accos b，得 b232c223c12. 因为 bc

10、2， 所以(c2)232c223c12，解得 c5. 所以 b7. (2)由 cos b12得，sin b32. 由正弦定理得，sin ccbsin b5 314. 由题意得，在abc 中，b 是钝角， 所以c 为锐角 所以 cos c 1sin2c1114. 所以 sin(bc)sin bcos ccos bsin c4 37. 考点二 与三角形面积有关的问题 【例 2】 (2019 届武汉调研)在abc 中，a，b，c 分别是角 a，b，c 的对边，且 2bcos c2ac. (1)求 b； (2)若 b2，ac 5，求abc 的面积 解 (1)由正弦定理，知 2sin bcos c2si

11、n asin c， 由 abc，得 2sin bcos c2sin(bc)sin c2(sin bcos ccos bsin c)sin c，即 2cos bsin csin c0. 因为 sin c0，所以 cos b12. 因为 0b，所以 b23. (2)由余弦定理 b2a2c22accos b， 可知 b2(ac)22ac2accos b， 因为 b2，ac 5， 所以 22( 5)22ac2accos 23，得 ac1. 所以 sabc12acsin b1213234. 名师点津 (1)对于面积公式 s12absin c12acsin b12bcsin a，一般是已知哪一个角就使用哪

12、一个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 |跟踪训练| 3(2019 年全国卷)abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，b3，则abc 的面积为_ 解析：解法一：因为 a2c，b6，b3，所以由余弦定理 b2a2c22accos b，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3，所以abc 的面积 s12acsin b124 32 3sin 36 3. 解法二：因为 a2c，b6，b3，所以由余弦定理 b2a2c22accos b，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3

13、，所以 a2b2c2，所以 a2，所以abc的面积 s122 366 3. 答案：6 3 4(2019 届辽宁五校联考)在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 sin(ac)2sin acos(ab)，且 sin2asin2bsin2c 2sin asin b0. (1)求证：a，b，2a 成等比数列； (2)若abc 的面积是 2，求 c. 解：(1)abc，sin(ac)2sin acos(ab)， sin b2sin acos c， 在abc 中，由正弦定理得，b2acos c， sin2asin2bsin2c 2sin asin b0， 由正弦定理可得，a2b2

14、c2 2ab0， cos ca2b2c22ab22.又0c，c34， b 2a，则 b22a2a 2a， a，b，2a 成等比数列 (2)abc 的面积 s12absin c24ab2，则 ab4 2， 由(1)知，b 2a，联立两式解得 a2，b2 2， c2a2b22abcos c48222 22220， c2 5. 考点三 平面图形中的计算问题 【例3】 (2019届佛山质检)如图所示， 在平面四边形abcd中， abc34，abad，ab1. (1)若 ac 5，求abc 的面积； (2)若adc6，cd4，求 sin cad 解 (1)在abc 中，由余弦定理得，ac2ab2bc22

15、ab bc cos abc， 即 51bc2 2bc，解得 bc 2(负值舍去)， 所以abc 的面积 sabc12abbcsin abc121 22212. (2)设cad，在acd 中，由正弦定理得，acsin adccdsin cad，即acsin 64sin ， 在abc 中，bac2， bca342 4， 由正弦定理得acsin abcabsin bca， 即acsin 341sin4， 两式相除，得sin 34sin 64sin4sin ， 即 422sin 22cos 2sin ，整理得 sin 2cos . 又 sin2cos21，故 sin 2 55，即 sin cad2 5

16、5. 名师点津 平面图形中计算问题的解题关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系 |跟踪训练| 5 (2019 届洛阳市第二次联考)如图， 在平面四边形 abcd 中， abc为锐角，adbd，ac 平分bad，bc2 3，bd3 6，bcd 的面积 s3（ 2 3）2. (1)求 cd； (2)求abc 解：(1)在bcd 中， s12bdbcsincbd3（ 2 3）2， bc2 3，bd3 6， sin cbd12. abc 为锐角，cbd30. 在bcd 中，由余弦定理得，cd2bc2bd

17、22bc bd cos cbd(2 3)2(3 6)222 3(3 6)329，cd3. (2)在bcd 中，由正弦定理得bcsin bdccdsin cbd， 即2 3sin bdc3sin 30，解得 sin bdc33. bcbd，bdc 为锐角， cos bdc63. 在acd 中，由正弦定理得acsin adccdsin cad， 即accos bdc3sin cad. 在abc 中，由正弦定理得acsin abcbcsin bac， 即acsin abc2 3sin bac . ac 平分bad， cadbac 由得sin abccos bdc32 3，解得 sin abc22.

18、abc 为锐角， abc45. 考点 解三角形的创新交汇综合问题 【例】 (2020 届陕西摸底)在abc 中，已知内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，向量 m( 3，2sin b)，n2cos2b21，cos 2b ，mn，b 为锐角 (1)求角 b 的大小； (2)若 b2，求abc 的面积的最大值 解 (1)因为 m( 3，2sin b)， n2cos2b21，cos 2b ，mn， 所以 3cos 2b2sin b2cos2 b21 0， 所以 3cos 2bsin 2b0， 所以 2sin2b30. 又 b 为锐角，所以 b3. (2)由(1)知 b3，在abc 中，b2， 由正弦定理asin acsin cbsin b， 得 a4