变胞机构的理论基础及基本求解论文

1、变胞机构的理论基础及基本求解摘要：简单介绍了变胞机构概念提出的时间，详细阐述了采用Huston低序体阵列和齐次变换矩阵相结合的方法，描述刚体的位置和姿态（简称位姿）。包括对位置描述的位置矢量，对方位描述的旋转矩阵， 平移运动的齐次变换矩阵，旋转运动的齐次变换矩阵，变胞机构任意构态q的运动分析。关键字：变胞机构 齐次变换 旋转矩阵 变胞机构在1996年的可重构包装自动化线的机构学研究中被发现，并于1998年第25届ASME机构学与机器人学双年会上提出的一种新型机构。在机构连续运行中，由有效杆件数目变化或运动副类型和几何关系变化引起机构的拓扑变化，并导致机构活动度变化；在机构连续运行中，至少有一次

2、活动度变化，并在活动度变化后，机构仍保持运行，这样的机构称为变胞机构。目前，对变胞机构的研究主要包括三个方面，即变胞机构的构态分析、运动学分析和动力学分析。其中构态分析是变胞机构的基础，也是进行运动和动力分析的前提。变胞机构的构态描述是其结构学的重要内容，也是到目前为止对变胞机构研究最多的问题。研究者们主要用如下几种方法来描述变胞机构的构态：拓扑结构拓扑图，拓扑图具有形象、直观、便于理解等优点，是目前机构学中应用最多的方法；Roberson/wittenburg有向图法，是一种基于图论的方法，该方法比较容易建立变胞机构的运动学及动力学方程；Huston低序体阵列，将变胞机构视为开链树形多体系统

3、，按一定规则对系统中各个构件编号，从而可形成系统的低序体阵列；邻接矩阵法应用图论，杆间的关联关系可反映到相应拓扑图的邻接矩阵中。因此，变胞机构的构态及构态变换也可用邻接矩阵来描述。本文主要是从运动学方面来了解变胞机构的理论基础及基本求解。1 Huston低序体阵列和齐次变换矩阵 采用Huston低序体阵列和齐次变换矩阵相结合的方法，描述刚体的位置和姿态（简称位姿）的方法是首先规定一个坐标系,相对于该坐标系,点的位置可以用维列向量表示,刚体的姿态可用的旋转矩阵来表示。1.1位置描述一位置矢量 对于选定的坐标系k，空间任一点P的位置可用31的列矢量表示，即用位置矢量表示如下： = 其中、是P在坐标

4、系k中的三个坐标分量。的右上标代表选定的参考坐标系k。1.2方位的描述旋转矩阵为了规定空间某刚体k的方位，另设一直角坐标系k与此刚体固接。我们用坐标系k的三个单位主矢量、相对于坐标系j的方向余弦组成的33矩阵。 = 或 = 表示刚体k相对坐标系j的方位。称为旋转矩阵，右上标j代表参考坐标系j，右下标k代表被描述的坐标系k。有9个元素，只有三个是独立的。因为的三个列矢量都是单位主矢量，且两两互相垂直，所以它的9个元素满足6个约束条件(称正交条件） =1 =0 因此，旋转矩阵是单位正交的，并且的逆与它的转置相同，其行列式等于1，即 =1 变次变换矩阵T是一个44矩阵，一般地，能用来表示平移、旋转、

5、伸缩和透视变换。把T的4部分表示为： T= 其中，为33的表示两坐标系间的旋转关系的转动矩阵，为13矩阵表示沿3个坐标轴的透视变换，=矩阵称为位置向量，表示两坐标系间的平移，右下角的单一元素矩阵为使物体产生总体变换的比例因子。在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1.正交变换都是线性变换，故齐次变换是用齐次坐标表示的线性变换。三维物体在空间的运动都可以分解为平动和转动。下面分别讨论它们的齐次变换矩阵。 1.3平移运动的齐次变换矩阵考察任意典型构件k（固定在其上的坐标系成为k系）上某点在其动系中的坐标是，设k系在其低序体j系沿、轴平动的距离分别为、，则k系相对于j系（j=)的齐

6、次变换矩阵为： =Trans= 其中为初始状态下，k系相对于j系的齐次变换矩阵，以下相同。 变换后再j坐标系下的坐标为 = 1.4 旋转运动的齐次变换矩阵 任意典型机构件k上某点 在其动系中的坐标是 ，设k系在j坐标系中依次沿、轴转动的角度分别为、，则k相对于其低序体j(j=)的齐次变换矩阵为： =Rot(z,)Rot(y,)Rot(x,) 其中 Rot(x,)= Rot(y,)= Rot(z,)= 变换后在j坐标系下的坐标为 = 2 变胞机构任意构态q的运动分析2.1 位移分析 假设某一变胞机构包含c个构态 ，构态q为此变胞机构的任意一个构态。已知变胞机构在构态q共有个体，两相邻体k与j以某

7、一约束相联，j是k的低序体，即 j= 设是变胞机构的惯性坐标系，（k=1，2，）为构态q中各活动构件上的固连坐标系，固连坐标系的原点为，单位向量、。设机构在构态q的运动过程中，任一构件相对于其低序体的齐次变换矩阵为，沿着低序体递推，就可以得到典型体在惯性坐标系下的位姿 =（k=1,2，） 如果选定典型体上任意点P，P相对于其体上的固联坐标系中的坐标（，）。在构态q时，其活动构件经过一系列绕轴线的转动和沿轴线的平动后，点P在其新位置相对于惯性坐标系的齐次坐标表达式为： = 其中的意义为：左上标为变胞机构的某一构态q;右上标为任意点P相对于k系的坐标；右下标为k体上的P点。 已知已知各典型体相对于

8、体低序体的齐次变换矩阵,即可求出任意两典型体间的位置关系,此即为变胞机构的位置正解当需要求典型体的位姿逆解时,可用一系列齐次变换矩阵的逆矩阵左乘对典型体的位姿正解方程式求解: = = = 然后考察各方程式右端的元素,找出那些为零或为常数的元素,令这些元素与左端元素相等,即可求出全部的关节变量有时不需要做完所有的递推,即可求出全部的关节变量 2.2速度分析 设变胞机构在构态q时,两相邻杆件,以旋转关节.相联,己知杆以速度/v,0-1移动,并以角速度转动。而杆在关节驱动力矩的作用下绕关节轴相对于以角速度旋转，于是对杆来说，其上固联坐标系的原点相对的线速度和杆的角速度分别是： =+ =+ 其中,表示

9、由,到的位置向量。 变胞机构是一个多体系统,为便于计算,还可以把某构件的速度和角速度表示在自身的坐标系中,将会使计算简化。 =+=其中是相对于的齐次变换矩阵。由于平移对向量不产生影响,所以对于速度和加速度的齐次变换矩阵只考虑旋转变换,不考虑平移变换。3实例分析及仿真 变胞机构在运动过程中,构态会发生变化,各个构态间有效构件数或自由度也随之变化,构件间的运动关系会发生转移。本节用低序体阵列针对一种典型的含有闭环约束、并含移动副连接的变胞机构进行构态分析和运动学仿真。O(O1)P(P0)xy1y4x4y4x4y1xO(O1)y(x1)P(P0) 图一 图二 此变胞机构有二个构态,初始状态如图一所示

10、。第一个构态为构件2、3、4与构件1固定,构件1绕转动副A旋转角,然后构件1与机架固定；第二个构态为构件4沿构件1平动一定距离后停下,平移的最大位移受构件2和构件3尺寸的限制。现考察构件4在整个变胞过程中的运动情况,建立坐标系如图一所示。选择断开构件3和构件4间的转动副,图所示机构的低序体阵列如表所示。 表一 机构的低序体阵列1234012100100000构件1相对于机架绕z轴旋转角,如图所示。即固定在构件1上的动坐标系绕顶坐标系旋转角,齐次变换矩阵为构件1绕转动副旋转角后与机架固定,机架的运动转移到构件1上。构件4沿构件1的平动,即构件4上动坐标系在构件1坐标中沿轴x1平移齐次变换矩阵为所

11、以得到构件相对于固定坐标系的齐次变换矩阵设各杆长度分别为。为了避免变胞机构在构态变化时产生过大的刚性冲击,应使变胞机构在构态切换时采用先加速后减速的运动过程,使构态平稳切换。运动过程为构态一：构态二：运动学初始条件为取仿真时间T=4s,得到P点位移、速度的仿真结果所示。 图三 位移时间图 图四 速度时间图总结 Huston低序体阵列法能将变胞机构运动学分析与其构态描述结合起来。齐次变换矩阵能很好地表达空间刚体的位姿及刚体上任意点的坐标变换。本文采用齐次坐标变换描述了相邻构件之间的变换关系，再根据各构件之间的递推关系推导出各构件的运动学关系。采用Huston低序体阵列和齐次变换矩阵相结合的方法来

12、研究变胞机构的运动学，推导出变胞机构任意构态R之典型体k的位置、速度和加速度。从而为建立变胞机构的动力学模型打下基础。通过对一个典型变胞机构的运动学仿真，得到了变胞机构在构态切换时加速度一般会有突变的结论。参考文献1.金国光, 张启先等. 变胞机构: 理论研究若干问题及其应用 J . 机械设计与研究, 2002, 增刊: 24 26。2.金国光.变胞机构结构学、运动学及动力学研究R.北京:北京航空航天大学博士后研究报告，2003年1月UD L, Dai J S, Sun H. Configuration based synthesis of a Carton-like metamorphic

13、mechanism of foldable and erectableJ. Journal of Engineering Design, 2005. 16(4):375-386。3. 李端玲，戴建生，张启先等.基于构态变换的变胞机构综合J.机械工程学报2002, 38(7): 1216。4.李东福.柔性变胞机构动力学研究D.天津:天津工业大学，2007.5.李团结，曹炎，李世俊，等.平面双稳态柔性微机构的优化设计J.机械科学与技术，2004，23 (6) :.6.王德伦，戴建生.变胞机构及其综合的理论基础J.机械工程学报，2007 , 43(8) 32-42.7.郭宗和，马履中.基于拓扑理论的变自由度机构分析与设计J.农业机械学报报，2005，36 (5):97-100.8.戴建生，丁希仑，王德伦.