相交线及平行线综合题

1、相交线与平行线综合复习（二）班级： 姓名： 解答题1如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：；（2）如果COP=20，则BOP=；POF=（3）EOC与BOF相等吗？，理由是（4）如果COP=20，求DOE的度数2（1）如图1，直线AB、CD相交于点O，FOCD于点O，且EOF=DOB求EOB的度数（2）如图2，O为直线AB上一点，OD平分AOC，AOC=58，DOE=90求BOE的度数3如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分COF，1=30，2=45求3的度数4如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分AO

2、D，FOC=90，1=32，求2和3的度数5如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使1=2，AOG=FOE，BOD=56，求FOC6如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分BOF（1）AOD的对顶角是，BOC的邻补角是；（2）若AOD=20，DOF：FOB=1：7，求EOC的度数7如图，直线AB与CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF=65求：（1）AOC的度数；（2）BOE的度数8如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分AOC，OF平分AOD，（1）求EOF的度数（2）AOE：BOG：AOF=2：4：7，求COG的度数9如图，直线AB与CD相交于点D，OEAB，O

3、FCD（1）图中AOF的余角有；（把符合条件的角都填出来）（2）如果AOD=140，那么根据，可得BOC=度；（3）EOF=AOD，求EOF的度数10如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：；（2）如果AOD=40那么根据，可得BOC=度因为OP是BOC的平分线，所以COP=度求BOF的度数11如图，AOBC，DOOE，OF平分AOD，AOE=35（1）求COD的度数；（2）求AOF的度数；（3）你能找出图中有关角的等量关系吗？（写出3个）12如图，平面上有三点A、B、C（1）画直线AB，画射线BC （不写作法，下

4、同）；（2）过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H（3）线段的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点到直线的距离（4）线段AG、AH的大小关系为AGAH理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短13如图，直线AB、CD相交于点O，BOD=40，按下列要求画图并回答问题：（1）在直线AB上方画射线OE，使OEAB；（2）分别在射线OA、OE上截取线段OM、ON，使OM=ON，连结MN；（3）画AOD的平分线OF交MN于点F；（4）直接写出COF和EOF的度数：COF=度，EOF=度14如图，直线ABCD相交于点O，OMAB，NOCD（1）若1

5、=2，求AOD的度数；（2）若1=BOC，求2和MOD15如图，直线AB与CD相交于O，OEAB，OFCD，（1）图中与COE互余的角是；图中与COE互补的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）如果AOC=EOF，求AOC的度数16如图，已知，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，AOC=60，过点O作OFCD求EOF的度数17（1）在图1中以P为顶点画P，使P的两边分别和1的两边垂直（2）量一量P和1的度数，它们之间的数量关系是（3）同样在图2和图3中以P为顶点作P，使P的两边分别和1的两边垂直，分别写出图2和图3中P和1的之间数量关系（不要求写出理由）图2：图3：（4）由上述三种情形可

6、以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角（不要求写出理由）18如图，直线AB、CD相交于点O，OEOC，若1=50，分别求2，3+1的度数19（2016春高安市校级月考）已知ABCD，ABE与CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图1，若E=80，求BFD的度数（2）如图2中，ABM=ABF，CDM=CDF，写出M与E之间的数量关系并证明你的结论（3）若ABM=ABF，CDM=CDF，设E=m，直接用含有n，m的代数式表示写出M=20已知MON=40，OE平分MON，点A、B在射线OM、OE上，点C是射线ON上的一个动点，连接AC交射线OE于点D，设OAC=x（

7、1）填空：若ABON，当BAD=ABD时，（如图），则x的度数为；当BAD=BDA时，（如图），则x的度数为；（2）若ABOM于点A（如图），且ADB是等腰三角形，求x的度数21如图，ABCD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点（1）求证：P=BEP+PFD；（2）若M为CD上一点，MN交PF于N证明：PNM=NMF+NFM；（说明：不能运用三角形内角和定理）（3）在（2）的基础上，若FMN=BEP，试说明EPF与PNM的关系，并证明你的结论22如图，ABCD，AEC=90（1）当CE平分ACD时，求证：AE平分BAC；（2）移动直角顶点E点，如图，MCE=ECD，当E点转动时，问BAE

8、与MCG是否存在确定的数量关系，并证明（提示：可以作MCG的平分线）23如图，已知两条线段ABCD，点E不在AB、CD所在的直线上ABE=，CDE=，BED=当E点在不同位置时，、之间的数量关系也会有所不同请你再画出两种不同的情况，并写出、之间的数量关系参考答案与试题解析一解答题（共23小题）1（2013秋惠山区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：BOP=COP；AOD=BOC（2）如果COP=20，则BOP=20；POF=70（3）EOC与BOF相等吗？相等，理由是同角的余角相等（4）如果COP=2

9、0，求DOE的度数【分析】（1）根据角平分线的定义和对顶角相等解答；（2）根据角平分线的定义和垂直的定义解答；（3）根据同角的余角相等解答；（4）根据角平分线的定义求出BOC，然后根据对顶角相等求出AOD，再根据DOE=AOD+AOE进行计算即可得解【解答】解：（1）BOP=COP，AOD=BOC；（2）BOP=COP=20，POF=9020=70；（3）相等，同角的余角相等；故答案为：（1）BOP=COP，AOD=BOC，（2）20，70，（3）相等，等角的余角相等；（4）OP是BOC的平分线，BOC=220=40，AOD=BOC=40，DOE=AOD+AOE，=40+90，=130【点评】

10、本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键2（2013秋仪征市期末）（1）如图1，直线AB、CD相交于点O，FOCD于点O，且EOF=DOB求EOB的度数（2）如图2，O为直线AB上一点，OD平分AOC，AOC=58，DOE=90求BOE的度数【分析】（1）根据垂直的定义可以得到FOD=90，即EOF+EOD=90，然后根据EOF=DOB，即可求解；（2）首先根据角平分线的定义求得AOD的度数，即可求得AOE的度数，则BOE即可求解【解答】解：（1）FOCD，FOD=90，即EOF+EOD=90，EOF=DOB，DOB+

11、EOD=90，即EOB=90；（2）OD平分AOC，AOD=AOC=58=29，AOB=180，DOE=90，BOE=1809029=61【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义和垂直的定义，是一个需要熟记的内容3（2014春中山期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分COF，1=30，2=45求3的度数【分析】根据对顶角的性质，1=BOF，2=AOC，从而得出COF=105，再根据OG平分COF，可得3的度数【解答】解：1=30，2=45EOD=18012=105COF=EOD=105又OG平分COF，3=COF=52.5【点评】本题考查了对顶角的定义，以及角平分线的性质，是

12、基础题比较简单4（2013秋如皋市校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分AOD，FOC=90，1=32，求2和3的度数【分析】根据角平分线的性质，可得AOD的度数，根据对顶角的性质，可得2的度数，再根据三个角的和等于180，可得3的度数【解答】解：OE平分AOD，1=32，AOD=21=64，由对顶角得2=AOD=64；2+FOC+3=180，FOC=90，3=180FOC2=1809064，3=26【点评】本题考查了对顶角、邻补角，对顶角相等，邻补角互补是解题关键5（2014秋吉林校级期末）如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使1=2，AOG=FOE，BOD

13、=56，求FOC【分析】求出FOC=AOC，再根据对顶角相等解答即可【解答】解：1=2，AOG=FOE，1+FOE=2+AOG，FOC=AOC，AOC=BOD，BOD=56，FOC=56【点评】本题考查了对顶角相等，熟记性质并准确识图求出FOC=AOC是解题的关键6（2014秋硚口区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分BOF（1）AOD的对顶角是BOC，BOC的邻补角是AOC，BOD；（2）若AOD=20，DOF：FOB=1：7，求EOC的度数【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案；（2）根据AOD=20和DOF：FOB=1：7，求出BOF等于140，所以EOB等于

14、70，所以EOC等于90【解答】解：（1）直线AB与CD相交于点O，AOD的对顶角是BOC，BOC的邻补角是AOC，BOD；（2）OE平分BOF，BOE=EOF，DOF：FOB=1：7，AOD=20，DOF=BOD=（18020）=20，BOF=140，BOE=BOE=BOF=140=70，EOC=BOC+EOB=70+20=90；所以EOC等于90【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的性质，主要利用对顶角相等，邻补角的定义和角平分线的定义求解7（2014秋南通期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF=65求：（1）AOC的度数；（2）BOE的度数【分析】（1）

15、根据OFAB得出BOF是直角，则BOD=90DOF，再利用对顶角相等得出AOC=BOD；（2）由OECD得出DOE=90，则BOE=90BOD【解答】解：（1）OFAB，BOF=90，BOD=90DOF=9065=25，AOC=BOD=25；（2）OECD，DOE=90，BOE=90BOD=9025=65【点评】本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义以及角的计算，是基础题，比较简单准确识图是解题的关键8（2013秋宜兴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分AOC，OF平分AOD，（1）求EOF的度数（2）AOE：BOG：AOF=2：4：7，求COG的度数【分析】（1）根据角平分线的定

16、义表示出AOE和AOF，然后根据EOF=AOE+AOF计算即可得解；（2）根据比值求出AOE和AOF的度数，再求出BOG，再根据角平分线的定义求出AOC，然后根据平角等于180求出BOC，再根据COG=BOCBOG列式计算即可得解【解答】解：（1）OE平分AOC，AOE=AOC，OF平分AOD，AOF=AOD，AOC+AOD=180，EOF=AOE+AOF=90；（2）AOE：BOG：AOF=2：4：7，AOE+AOF=90，AOE=20，AOF=70，BOG=40，OE平分AOC，AOC=2AOE=220=40，AOC+BOC=180，BOC=140，COG=BOCBOG=14040=100

17、答：EOF的度数为90，COG的度数为100【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键9（2014秋无锡校级期末）如图，直线AB与CD相交于点D，OEAB，OFCD（1）图中AOF的余角有EOF，AOC，BOD；（把符合条件的角都填出来）（2）如果AOD=140，那么根据对顶角相等，可得BOC=140度；（3）EOF=AOD，求EOF的度数【分析】（1）根据余角的定义、性质，可得答案；（2）根据对顶角的性质，可得答案；（3）根据余角的性质，可得EOF与BOD的关系，根据平角的定义，可得答案【解答】解：（1）图中

18、AOF的余角有EOF，AOC，BOD；（把符合条件的角都填出来）（2）如果AOD=140，那么根据 对顶角相等，可得BOC=140度；故答案为：EOF，AOC，BOD；对顶角相等，140；（3）EOF+AOF=90，AOC+AOF=90，EOF=AOC=BODAOD+BOD=180，EOF=AOD5EOF+BOD=180，即6EOF=180，EOF=30【点评】本题考查了对顶角、邻补角，利用了余角的性质，对顶角的性质，邻补角的性质10（2014秋宝应县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：COE=BOF；C

19、OP=BOP（2）如果AOD=40那么根据对顶角相等，可得BOC=40度因为OP是BOC的平分线，所以COP=BOC=20度求BOF的度数【分析】（1）根据同角的余角相等可知COE=BOF，利用角平分线的性质可得COP=BOP，对顶角相等的性质得COB=AOD（2）根据对顶角相等可得利用角平分线的性质得利用互余的关系可得【解答】解：（1）COE=BOF、COP=BOP、COB=AOD（写出任意两个即可）；（2）对顶角相等，40度；COP=BOC=20；AOD=40，BOF=9040=50【点评】结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念，余角的定义以及对顶角相等的性质进行计算11（2013

20、秋滦南县期末）如图，AOBC，DOOE，OF平分AOD，AOE=35（1）求COD的度数；（2）求AOF的度数；（3）你能找出图中有关角的等量关系吗？（写出3个）【分析】（1）COD=AOC+AOD，求出AOD即可，而AOD=DOEAOE；（2）根据AOF=（DOEAOE）可以求解；（3）根据角平分线以及垂直的定义，即可求解【解答】解：根据题意，（1）AOBC，DOOE，AOC和DOE是直角，COD=AOC+AOD=90+（9035）=145；（2）OF平分AOD，AOF=（DOEAOE）=（9035）=27.5（3）AOBC，DOOE，AOC和DOE是直角，两角相等；OF平分AOD，则AOF

21、=DOF；AOBC，则AOB=AOC（答案不唯一）【点评】根据所给的条件，明确各角之间的关系是解题的关键12（2013秋泰兴市校级期末）如图，平面上有三点A、B、C（1）画直线AB，画射线BC （不写作法，下同）；（2）过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H（3）线段AG的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点H到直线AB的距离（4）线段AG、AH的大小关系为AGAH理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短最短【分析】（1）（2）根据垂线的画法画图即可；（3）根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离填空

22、；（4）根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）线段AG的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点H到直线AB的距离（4）AGAH理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【点评】此题主要考查了垂线，以及垂线的性质，关键是正确画出图形，掌握点到直线的距离的定义13（2014秋贵港期末）如图，直线AB、CD相交于点O，BOD=40，按下列要求画图并回答问题：（1）在直线AB上方画射线OE，使OEAB；（2）分别在射线OA、OE上截取线段OM、ON，使OM=ON，连结MN；（3）画AOD的平分线OF交MN于点F；（4）直接写出COF和EOF

23、的度数：COF=110度，EOF=20度【分析】（1）根据题意化成OEAB即可；（2）用圆规作ON=OM，连接MN即可；（3）作AOD的平分线即可得出答案；（4）求出AOD，求出AOF，即可求出答案【解答】解：（1）如图，射线OE； （2）如图ON、OM，线段MN； （3）如图OF平分AOD，交MN于点F； （4）COF=110EOF=20，理由是：BOD=40，AOD=18040=140，OF平分AOD，AOF=AOD=70，EOF=9070=20，AOC=BOD=40，COF=70+40=110，故答案为：110，20【点评】本题考查了角的有关计算和画图的应用，主要考查学生的理解能力和计算

24、能力14（2014秋四川校级期末）如图，直线ABCD相交于点O，OMAB，NOCD（1）若1=2，求AOD的度数；（2）若1=BOC，求2和MOD【分析】由已知垂直直线可以得到直角：BOM=AOM=NOD=CON=90（1）AOD=NOD+（902）；（2）根据邻补角的定义来求2，根据图形和对顶角的定义来求MOD【解答】解：OMAB，NOCD，BOM=AOM=NOD=CON=90（1）1=2，1=2=45AOD=NOD+（AON2）=90+9045=135，即AOD的度数是135；（2）1+BOM=BOC，1=BOC，BOC=120，2=180BOC=60BOD=2=60，MOD=MOB+BO

25、D=90+2=90+60=150，即MOD=150【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点15（2013秋泰兴市校级期末）如图，直线AB与CD相交于O，OEAB，OFCD，（1）图中与COE互余的角是AOC，BOD；图中与COE互补的角是BOF，EOD；（把符合条件的角都写出来）（2）如果AOC=EOF，求AOC的度数【分析】（1）根据直角和互余、互补的定义求出即可；（2）设AOC=5x，则EOF=13x，求出EOC=AOF=90AOC=（13x5x）=4x，得出方程4x+5x=90，求出即可【解答】解：（1）与COE互余

26、的角是AOC，BOD；图中与COE互补的角是BOF，EOD，故答案为：AOC，BOD；BOF，EOD（2）AOC=EOF，设AOC=5x，则EOF=13x，OEAB，OFCD，AOE=FOC=90，EOC=AOF=90AOC=（13x5x）=4x，4x+5x=90，x=10，则AOC=5x=50【点评】本题考查了角的有关计算，垂线，互余、互补等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力16（2013秋盐都区期末）如图，已知，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，AOC=60，过点O作OFCD求EOF的度数【分析】求出BOD，根据角平分线求出DOE，代入EOF=DOFDOE求出即可【解答

27、】解：AOC=60，DOB=AOC=60，OE平分BOD，DOE=DOB=30，OFCD，DOF=90，EOF=9030=60【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力17（2014春普陀区校级期末）（1）在图1中以P为顶点画P，使P的两边分别和1的两边垂直（2）量一量P和1的度数，它们之间的数量关系是P+1=180（3）同样在图2和图3中以P为顶点作P，使P的两边分别和1的两边垂直，分别写出图2和图3中P和1的之间数量关系（不要求写出理由）图2：P=1图3：P+1=180（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那

28、么这两个角相等或互补（不要求写出理由）【分析】（1）过点P作1两边的垂线段即可，（2）从图形中得出P+1=180，（3）分别作图得出角的关系（4）由上面的情况得出结论【解答】解：（1）如图1，（2）P+1=180，故答案为：P+1=180（3）如图2，图3，P=1，P+1=180故答案为：P=1，P+1=180（4）相等或互补故答案为：相等或互补【点评】本题主要考查了垂线的定义，解题的关键是分析题意，利用作图即可解决问题18（2014春忠县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OEOC，若1=50，分别求2，3+1的度数【分析】先由垂直的定义得COE=90，又知1=50即可求得2，再根据互

29、补的性质可得3，再与1相加即可【解答】解：OEOC，COE=90，1+2=180COE=90，1=50，2=40，3=1802=140，3+1=140+50=190【点评】本题利用垂直的定义，互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点19、（1）如图1，若E=80，求BFD的度数（2）如图2中，ABM=ABF，CDM=CDF，写出M与E之间的数量关系并证明你的结论（3）若ABM=ABF，CDM=CDF，设E=m，直接用含有n，m的代数式表示写出M=【分析】（1）首先作EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得ABE+CDE=280，再利用角平分线的定义得到ABF+CDF=140，从而得到BF

30、D的度数；（2）先由已知得到ABE=6ABM，CDE=6CDM，由（1）得ABE+CDE=360E，M=ABM+CDM，等量代换，即可；（3）由（2）的方法可得到2nM+E=360，将E=m代入可得【解答】解：（1）作EGAB，FHAB，ABCD，EGABFHCD，ABF=BFH，CDF=DFH，ABE+BEG=180，GED+CDE=180，ABE+BEG+GED+CDE=360BED=BEG+DEG=80，ABE+CDE=280，ABF和CDF的角平分线相交于E，ABF+CDF=140，BFD=BFH+DFH=140；（2）ABM=ABF，CDM=CDF，ABF=3ABM，CDF=3CDM

31、，ABE与CDE两个角的角平分线相交于点F，ABE=6ABM，CDE=6CDM，6ABM+6CDM+E=360，M=ABM+CDM，6M+E=360（3）由（2）结论可得，2nABN+2nCDM+E=360，M=ABM+CDM，解得：故答案为：【点评】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质20（2015春宁化县校级月考）已知MON=40，OE平分MON，点A、B在射线OM、OE上，点C是射线ON上的一个动点，连接AC交射线OE于点D，设OAC=x（1）填空：若ABON，当BAD=ABD时，（如图），则x的度数为120；当BA

32、D=BDA时，（如图），则x的度数为60；（2）若ABOM于点A（如图），且ADB是等腰三角形，求x的度数【分析】（1）先根据角平分线的性质求出2的度数，再由平行线的性质即可得出结论；先由BAD=BDA，ABO=20得出BAD=80，再根据三角形内角和定理即可得出OAC的度数；（2）分当点D在线段OB上，点D在射线BE上两种情况进行讨论【解答】解：（1）MON=40，OE平分MON，1=2=20ABON，BAD=ABD，BAD=20AOB+ABO+OAB=180，OAC=120BAD=BDA，ABO=20，BAD=80AOB+ABO+OAB=180，OAC=60故答案为：120，60；（2）当

33、点D在线段OB上时，若BAD=ABD，则x=20； 若BAD=BDA，则x=35； 若ADB=ABD，则x=50当点D在射线BE上时，因为ABE=110，且三角形的内角和为180，所以只有BAD=BDA，此时x=125 综上可知，存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等21（2015春咸宁校级月考）如图，ABCD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点（1）求证：P=BEP+PFD；（2）若M为CD上一点，MN交PF于N证明：PNM=NMF+NFM；（说明：不能运用三角形内角和定理）（3）在（2）的基础上，若FMN=BEP，试说明EPF与PNM的关系，并证明你的结论【分析】（1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由EPF=1+2，等量代换就可得证；（2）作NHDC，利用平行线的性质得出PNH=NFM，MNH=NMF，得出结论；（3）由（1）（2）中的结论EPF=BEP+PFD，PNM=NMF+NFM；根据FMN=BEP，等量代换即可得证【解答】解：（1）如图，