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文档简介

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法: 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容: 第十二章 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为本质上是待定系数法nnxxa)(0机动 目

2、录 上页 下页 返回 结束 例例1. 2yxy求方程解解:根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 52201xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶齐次线性微分方程二、二阶齐次线性微分方程 0)()( yxQyxPy定理定理. nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n机动

3、 目录 上页 下页 返回 结束 因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 为常数n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ内都可在)1 , 1(求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得勒让德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都

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