空间立体几何复习资料

1、第2讲空间几何体的表面积与体积【2013年高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题基础梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥

2、、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件

3、可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值双基自测1(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A4S B2SCS D.S解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r ，又h2r2，S圆柱侧(2)24S.答案A2(2012东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线

4、长为a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，2Ra.S球4R26a2.答案B3(2011北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6C10 D8解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.答案C4(2011湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.12 B.18C942 D3618解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为232318.答案B5若一个球的体积为4，则它的表面积为_解析VR34，R，S4

5、R24312.答案12考向一几何体的表面积【例1】(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D80审题视点 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为，所以该几何体的表面积为488.答案C 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系【训练1】 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. B2C2 D6

6、解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2136.答案D考向二几何体的体积【例2】(2011广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A18 B12 C9 D6审题视点 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V339.答案C 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后

7、在直观图中求解【训练2】 (2012东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A. B. C.8 D12 解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为222.答案A考向三几何体的展开与折叠【例3】(2012广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积审题视点 (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面ACD内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法

8、证明(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，取AC的中点O，连接DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ADC，从而DO平面ABC，DOBC，又ACBC，ACDOO，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为. (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短

9、距离问题【训练3】 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，如图所示，则CPPA1的最小值为_解析PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决计算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三角形铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理得A1C5，故(CPPA1)min5.答案5难点突破17空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体

10、积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键【示例1】 (2010安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A280 B292 C360 D372【示例2】 (2011全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【2013年高考会这样考】1几何体的

11、展开图、几何体的三视图仍是高考的热点2三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势【复习指导】1备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型2要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图基础梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到(3)圆

12、台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到3空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45或135，已知图形中平行于x轴、y轴的线

13、段，在直观图中平行于x轴、y轴已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法 两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱

14、垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心双基自测1(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是()A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D棱台各侧棱的延长线交于一点答案D2(2012杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过

15、高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面答案C3(2011陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A8 B8C82 D.解析圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V2221228，正确选项为A.答案A4(2011浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合答案B5(2011天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为_m3.解析由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，

16、上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为32136(m3)答案6考向一空间几何体的结构特征【例1】(2012天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上审题视点 可借助几何图形进行判断解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个

17、顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题选B.答案B 三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决【训练1】 以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题

18、错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案B考向二空间几何体的三视图【例2】(2011全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()审题视点 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.答案D (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线【训练2】 (2011浙江)若某

19、几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析A中正视图，俯视图不对，故A错B中正视图，侧视图不对，故B错C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D.答案D考向三空间几何体的直观图【例3】已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2审题视点 画出正三角形ABC的平面直观图ABC，求ABC的高即可解析如图所示的实际图形和直观图由斜二测画法可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa.SABCABCDaaa2.答案D 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的2

20、倍，这是一个较常用的重要结论【训练3】 如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四边形解析将直观图还原得OABC，则ODOC2 (cm)，OD2OD4 (cm)，CDOC2 (cm)，CD2 (cm)，OC6 (cm)，OAOA6 (cm)OC，故原图形为菱形答案C阅卷报告9忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.【防范措施】 应从多角度细心观察.【示例】一个几何体的

21、正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选.实录正解三棱锥的正视图是三角形；当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形答案【试一试】 (2011山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在四棱柱，

22、其正(主)视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图其中真命题的个数是()A3 B2C1 D0尝试解答如图的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.答案A第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2013年高考会这样考】1本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题【复习指导】1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理2异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键

23、基础梳理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a

24、，b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面三个作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)

25、公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线双基自测1(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是()A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条直线和一个点能确定一个平面D梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确答案D2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则

26、ab，与已知a、b为异面直线相矛盾. 答案C3(2011浙江)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析对于D, 若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的答案D4(2011武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A12对 B24对 C36对 D48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位

27、置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案B5两个不重合的平面可以把空间分成_部分答案3或4考向一平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形审题视点 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线解析如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.截面为六边形PQFGRE.答案D 画几何体

28、的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析在图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形答案考向二异面直线【例2】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面

29、直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由审题视点 第(1)问，连结MN，AC，证MNAC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綉C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1，B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立

30、，即D1B与CC1是异面直线 证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析如题干图(1)中，直线GHMN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H面GMN，GH与MN异面所以图(2)、(4)中GH与MN

31、异面答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】(2011宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小审题视点 (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算(2)可证A1C1与EF垂直解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分

32、别为AB、AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90. 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行【训练3】 A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是

33、异面直线(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点审题视点 (1)由EFCD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证PAD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点

34、共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE、D1F、DA三线共点 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明E、H分别为边AB、AD的中点，EH綉BD，而，且FGBD.四边形

35、EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.P直线EF，EF平面ABC，P平面ABC.同理，P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点阅卷报告10点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析【示例】(2011四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3

36、Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况实录甲同学：A乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错答案B【试一试】 (2010江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条C3条 D4

37、条尝试解答如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条答案D第4讲直线、平面平行的判定及其性质【2013年高考会这样考】1考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质2以解答题的形式考查线面的平行关系3考查空间中平行关系的探索性问题【复习指

38、导】1熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分2学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”基础梳理1平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况2直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a，b，且aba；(3)其他判定方法：；aa.3直线和平面平行的性质定理：a，a，lal.4两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a，b，abM，a，b；(3)推论：abM，a，b，a

39、bM，a，b，aa，bb.5两个平面平行的性质定理(1)，aa；(2)，a，bab.6与垂直相关的平行的判定(1)a，bab；(2)a，a.一个关系平行问题的转化关系：两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行双基自测1(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是()若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内的两条相交直线分别

40、与另一个平面平行，则这两个平面平行A B C D解析中两个平面可以相交，是两个平面平行的定义，是两个平面平行的判定定理答案D2平面平面，a，b，则直线a，b的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面答案D3(2012银川质检)在空间中，下列命题正确的是()A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若，b，则bD若，a，则a解析若a，ba，则b或b，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若，b，则b或b，故C错误答案D4(2012温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()Amn，mnB，m，nmnCm，mnnDm，n，m，n解析选项A中，如图，

41、nm，mn一定成立，A正确；选项B中，如图，m，nm与n互为异面直线，B不正确；选项C中，如图，m，mnn，C不正确；选项D中，如图，m，n，m，n与相交，D不正确. 答案A5(2012衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析如图连接AC、BD交于O点，连结OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】(2011天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点求证：PB平面ACM.审题视点 连接MO，证明P

42、BMO即可证明连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM. 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【训练1】 如图，若PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF平面PCE.证明取PC的中点M，连接ME、MF，则FMCD且FMCD.又AECD且AECD，FM綉AE，即四边形AFME是平行四边形AFME，又AF平面

43、PCE，EM平面PCE，AF平面PCE.考向二平面与平面平行的判定与性质【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点求证：平面MNP平面A1C1B；审题视点 证明MNA1B，MPC1B.证明连接D1C，则MN为DD1C的中位线，MND1C.又D1CA1B，MNA1B.同理，MPC1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内平面MNP平面A1C1B. 证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平

44、行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化【训练2】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E、F分别为AB、AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面B

45、CHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.考向三线面平行中的探索问题【例3】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由审题视点 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF平面AB1C1即可解存在点E，且E为AB的中点下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1.AB的中点为E，连接EF，则EFAB1.B1C1与AB1是相交直线，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1. 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，

46、假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点在线段PD上是否存在一点E，使NM平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解在PD上存在一点E，使得NM平面ACE.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綉AD.又在平行四边形ABCD中，CM綉AD.所以NE綉MC，即四边形MCEN是平行四边形所以NM綉E

47、C.又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM平面ACE.规范解答13怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.【示例】(本题满分12分)(2011山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，AD

48、A1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD. 第(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面；第(2)问在平面A1BD内寻找一条线与CC1平行解答示范 证明(1)因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.(1分)又因为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos 603AD2，所以AD2BD2AB2，因此ADBD.(4分)又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.(6分)(2)如图，连结AC，A1C1，设ACBDE，连结EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECA

49、C.(8分)由棱台定义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，(10分)因此CC1EA1.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.(12分) 证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何体的几何特征的灵活应用证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用【试一试】 (2010安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求四面体BDEF的体积尝试解答(1)证明设AC与BD交于点G，则G为AC的中点连EG，GH，由于H为