傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用数学本科毕业论文

1、 本 科 生 毕 业 论 文 （申请学士学位）论文题目 傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目 录摘要：0关键词0Abstract01绪论12傅里叶级数的概念12.1周期函数22.2傅里叶级数的定义23 傅里叶变换的概念及性质103.1傅里叶变换的概念103.2傅立叶变换的性质114傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系125傅里叶级数和傅里叶变换的应用125.1傅里叶级数的应用125.2傅里叶变换的应用13参考文献14傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，

2、傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematic

3、al analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier trans

4、form is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics discipl

5、ines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words:

6、Fourier series; Fourier Transform; Periodic1绪论傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。积分变换起源于19世纪的运算危机，英国著名的无线电工程师海维赛德（O .Heaviside）在用它求解电工学、物理学领域中的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法，后来符号法又演变成今天的积分变化法。所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数乘上一个确定的二元函数，然后计算积分，即这样变成了另一个函数类B中的函数，这里的二元函数是一个确定的二元函

7、数，通常称为该积分变换的核，称为象原函数，称为的象函数，当选取不同的积分域和核函数，就得到不同名称的积分变换。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想了解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在

8、电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 2傅里叶级数的概念2.1周期函数我们把凡是满足以下关系式： （T为常数） （2.1.1）的函数，都称为周期函数。周期定义：（1） 满足式（1.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；（2） 一个常数以任何正数为周期。基本三角函数系：按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系： 1， ， （2.1.2）称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期，例如和的周期为，但它们的共有周期为（即所有

9、周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式（1.1.2）的三角函数系的周期为。2.2傅里叶级数的定义傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值。2.2.1 三角级数、三角函数及其正交性在物理学中，我们知道，简谐振动是一种简单的周期运动，而在简谐振动中，一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述， （1）我们不难看出，更一般的简谐振动 ，可通过适当的变换为（1），将无穷多个如（1）式那样的简谐振动叠加，便得到函数项级数 （2）如果（2）式收敛到函数,即 （3）则易见是周期为的函数，从的角度看，如果（3）式成立()，则我们便将更一般或

10、更复杂的周期为的函数分解为简单标准的简谐振动的叠加，这对研究的各种性质带来了很大的方便。于是，我们自然提出以下问题：什么条件下我们可以将一个周期为的函数表示成如(1)式那样简单，标准的简谐振动的叠加?即什么条件下(3)式成立?更一般地，什么条件下可以将一个周期为T的函数表示成简谐振动的叠加？设g(t)周期为T，则只要令,就有则周期为，所以我们只要讨论前一个问题就行了。为了数学推导和理论研究方便，我们将级数(2)作如下变形=令 则 =称级数 (4)为三角级数，称级数(4)的部分和 (5)为三角多项式，后面我们将看到，将常数项记为的形式，是为了使有统一的表达式。我们通过简单的计算可知，三角函数系

11、(6)具有以下性质 (7) (8) (9) (10)即三角函数系（6）中任何两个不同函数的乘积在上积分为0，我们称这一性质为三角函数系(1)的正交性。也称(6)为正三角函数系。从后面的推导我们也看到，三角函数系(6)的正交性在三角级数研究中扮演了重要的角色。另外，我们还有 (11) 2.2.2周期为的函数的傅里叶级数设函数能够表示成三角级数(4)，即 (12) 并且(12)式右边级数在上一致收敛，则有如下关系式： , n=0,1,2, (13a) , n=0,1,2, (13b)证明：由定理条件，对（12）式逐项积分可得： = 由关系式知，上式右边括号内的积分都等于零，所以 即得 现以乘（12

12、）式两边（t为正整数），得 （14）由级数（12）一致收敛，可以推出级数（14）也一致收敛。现在对级数（14）逐项求积，有 =由三角函数的正交性，右边除了以为系数的那一项积分外，其他各项积分都等于零，于是得出即同理，（12）式两边乘以，并逐项求积，可得一般的说，若是以为周期且在上可积分的函数，则按公式（13）计算出的和叫做函数的傅里叶级数，记作 这里的“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。2.2.3周期为的函数的傅里叶级数设是以2为周期的函数，通过变量置换可以把变成以为周期的t的函数.若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是 (1)其中 n=0,1,2 (2) n=1,2因为，

13、所以。于是由（1）与（2）式分别得 (3）与 , n=0,1,2 (4) , n=1,2这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶级数，（3）式是的傅里叶级数.2.2.4傅里叶级数的性质1、 收敛性定理 傅里叶级数的收敛准则狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在； （2）在上只有有限个极大值点与极小值点； （3）在外是周期函数，其周期为2，则级数 （1）证明=因为及所以 证毕例：试将锯齿波在区间上展开为傅里叶级数。解：我们要将在之外视作是2的周期函数，由傅里叶级数公式可得： （=0,1,2,）及 = （=1,2,3，）因此，所求

14、级数为 （2）由于=0是的连续点，所以上式两边可划等号。事实上，也正是如此，可代入数字验证。而=是间断点，由定义可知按收敛准则，傅里叶级数在间断点处应收敛到事实上，以=代入级数（2），得级数和为零。必须注意，狄利克雷定理中加在上的条件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在实际中这些条件通常是满足的，目前还不知道傅里叶级数收敛的必要且充分的条件是什么。值得注意的是，单从的连续性考虑还不能保证傅里叶级数收敛。2、 积分定理2 如果在区间上分段连续，其傅里叶级数为则 F （3）证明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所证。如果原级数中，只要用代替公式（4）中的即可。3微分定理3

15、 若在上连续，又绝对可积，则有 （6）其中 。利用求系数公式及分部积分，可以证明 （=0,1,2，） （=1,2,3，）如果，则的傅里叶级数可通过对的傅里叶级数进行逐项求导而得，即 （7）微分与积分大不相同，例如考虑下列函数（锯齿波）： 的傅里叶级数为 （9.3.7）对上式逐项微分得 于是得到不收敛的级数其次，再考虑三角波 它的傅里叶级数 是一个收敛得相当快的级数，且在上一致收敛。对上式逐项微分得 上式正是方波的傅里叶级数。事实上，三角波得导数正数方波。 从上面的例子可知，与积分相反，微分之后每一个系数前却添加了一个增长因子，这就降低了收敛程度。所以上面第一个例子微分后得一发散级数。事实上，第

16、一个例子中的级数在区间上一致收敛。一般来说，微分使级数的收敛 程度降低。有时将可以逐项微分的条件表示成如下形式： （8）此外，函数的光滑程度可以从该函数的傅里叶级数的系数上反映出来。一般而言，一个满足狄利克雷条件的周期函数。其傅里叶级数中的系数和随着趋向于无穷大时，他们至少应与（其中为与无关的常数）一样快的趋向于零。如果函数包含一个或几个间断点，那么不是就是，一般情况是二者都不能比更快的趋向于零。如果函数以及它的前（-1）阶导数满足狄利克雷条件，而且处处连续，那么随着趋向于无穷大，的傅里叶级数的系数和至少应与一样快趋向于零。如果的阶导数不处处连续，那么不是就是，一般情况是二者都不能比更快地趋向

17、于零。因此，函数愈光滑，其傅里叶级数的系数收敛得越快，反之，只要考虑某函数的傅里叶级数的系数的收敛快慢程度，就可以判断该函数的光滑程度。3 傅里叶变换的概念及性质傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换，它通过特定形式的积分建立了函数之间的对应关系。它既能简化计算，又具有明确的物理意义，因而在许多领域被广泛的应用，如电力工程、通信和控制领域以及其他许多数学、物理和工程技术领域。3.1傅里叶变换的概念傅里叶（Fourier）变换，简称傅式变换，像拉普拉斯变换一样，它也是一种化繁为简，变难为易的重要数学运算工具，它的理论与方法在数学的许多分支以及其他自然科学和工程技术领域中，都有着广泛的应用。若F

18、(t)在上满足以下条件：(1)在任一有限区间上满足Dirchlet条件（即在任意有限区间上满足：a连续或只有有限个第一类间断点；b只有有限个极值点）； (2) 在无限区间上绝对可积，那么在的连续点处有 由此定义 （3.1）称为函数的傅里叶变换，记作为，即 （3.2）其中由(2.1)式定义，公式（2.2）称为的傅里叶逆变换。记为，即3.2傅立叶变换的性质1、共轭性质 设，是的共轭函数，则=2、线性性质 设则3、位移性质 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系1、 傅里叶级数是周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换2、 傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无

19、穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。3、 傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数4、 傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它不同频率的波形的叠加，而傅里叶变换就是完全的频域分析5傅里叶级数和傅里叶变换的应用5.1傅里叶级数的应用1、 在数学方面计算无穷级数的和例如，设周期为2的某函数，其在一个周期上的表达式为 （由于是偶函数，所以它的傅里叶级数只有余弦项 （=1,2,3，）因此，的傅里叶级数为 （令=,且利用，所以 因此得 2、 在物理方面为设计放大器提供依据例如

20、电路中常常使用矩形波及锯齿波，对于矩形波其傅里叶展开式为其中系数和成正比，因此，随着简谐次数的增高，幅度迅速减小。一般来说，在10次谐波以后，就认为幅度已经相当小，可以略去不计。因此在设计矩形波放大器时，要求它的通频带宽带约为矩形脉冲的10倍。若扫描矩形波频率为60Hz，则要求放大器的通频带度为600Hz就可以了。电视机及示波器常用扫描锯齿波，也可作与上述相同的分析。5.2傅里叶变换的应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声结构力学、海洋学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量1、 傅里叶变换在求解微分

21、方程中的应用我们在研究研究线性常系数偏微分方程中，傅里叶变换法是一种特别重要的方法，它的应用范围包括求解无界区域的定解问题，用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：（1） 对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程（2）求解像函数（3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解例：对于任意，求下面方程的定解问题 （1）其中解：对方程（1）两边作傅里叶变换，可得： （2）显然偏微分方程（1）已经被转换成代数方程（3.2）。求解方程（2），可得：经过傅里叶逆变换，可得：为了使的表达式比较简单明了，下面来化简上式可得：其中下面来求解 （其中a.0）假设且b0,令，则有其中表示在复平面的等直线，把转化成实轴，则可计算，所以有所以 根据卷积原理，则偏微分方程（1）的解为 注：上面求解偏微分方程中用到的化归思想，实际上就是开始时使用傅里叶变换，将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，解出这个常微分方程的问题的解，然后利用傅里叶逆变换求原问题的解。2、 周期函数与离散频谱众所周知，一个谐波函数，是由振幅，相位和频率三个参数唯一的确定了。对于周期为的周期函数，它可展成指数形式的傅里叶级数：对上式取傅里叶变换，并考虑不是时间的函数，由此可得：是周期函数的傅里叶变换谱，上式表明，周期函数的频谱由无穷多个脉冲组成，这些脉冲