第十七讲数字信号处理-FIR滤波器

1、第三章第三章 数字滤波器设计数字滤波器设计 3-1 模拟滤波器设计 3-2 通过模拟滤波器设计IIR数字滤波器 3-3 FIR低通数字滤波器设计方法 3-4 数字滤波器计算机辅助设计 3-5 IIR与FIR数字滤波器比较一、一、IIR滤波器的优缺点滤波器的优缺点IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。IIR数字滤波器的缺点：冲激响应不变法可能会引起频谱的混叠，而双线性变换法的相位变化非线性，将引起频率的色散。二、二、FIR DF 优点优点 FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。10)()(Nnnz

2、nhzH 设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为：H(z)是z-1的N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，原点z=0是N-1阶重极点。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点。3.3.1FIR DF的线性相位频率特性一、FIR滤波器具有线性相位的条件 对于长度为N的h(n), 频率响应为：称为相位特性。称为幅度特性，式中，)()(He )(H)e(He )n(h)e(H)(jj1N0nnjj幅频特性注意幅度特性总是正值。负值，而称为幅度函数，可以取的实函数，为不同于注意，这里)e(H)(H, )e(H)(Hjj。）式为第二类线性相位满足

3、式是第一类线性相位，一般满足位。也称这种情况为线性相但以上两种情况都满足2()1(d)(d1、 线性相位)e(Hj）（为常数的线性函数，即是线性相位是指1,)()()e(Hj不具有线性相位，严格地说，此时）（是起始相位，满足下式：如果)(2)()(002、FIR滤波器具有线性相位的条件处。其对称中心在奇对称：偶对称：且满足以下任一条件：，为因果、有限长的实数滤波器的单位冲激响应件是：滤波器具有线性相位条21Nn)n1N(h)n(h)n1N(h)n(h)n(hFIRFIR奇对称是实序列且对条件是：满足第二类线性相位的偶对称。是实序列且对位的条件是：其中满足第一类线性相2/ )1N()n(h2/

4、)1N()n(h)z(Hz)z(Hz)m(h)z(H1)1N(1N0mm1二、线性相位条件的证明：以第一类线性相位为例:)n1N(h)n(h)n(h为偶对称情况，即1N0nn1N0nnz )n1N( hz )n( h)z(H10)1(101()()(1NmmNNmmNzmhzzmhmnN）右边令)z(Hz)z(H21)z(H:)z(H1)1N(表示为则可将1N0nn)1N(1N0nnz )n(hzz )n(h211N0nn)1N(nzzz)n(h211N0n2)1N(n21Nn21N2zz)n(hz代入上式，得到：将jez 有第一类线性相位。那么该滤波器就一定具为偶对称，是实序列，且看出：只要

5、)n(h)n(h11()()1221()20()( )2NNj nj nNNjjneeH eeh n 1N0n)21N( j)21Nn(cos)n(he1N0n)21Nn(cos)n( h)(H:幅度函数为)21N()()21N()(:其群时延为相位函数为三、线性相位FIR滤波器H()的特点（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称偶对称, N=奇数（2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)为偶对称偶对称，N=偶数（3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为奇对称奇对称, N=奇数（4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)为奇对称奇对称，N=偶数由于h(n)的长度N取奇数还

6、是偶数，对H()的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：1. 第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数1N0n)n21N(cos)n(h)(H式中：两项皆对（N-1)/2呈偶对称，即可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2，)n1N(21Ncos)21Nn(cos)n21N(cos2/)1N(1m)mcos()m21N(h221N(h)(H,mn21N）则令2/)3N(0n)n21Ncos)n(h221N(h)(H（）合并后，可得：0)21(2)(0)21()0()cos()()(2)1(0nnN

7、hnanNhannaHNn其中：可以表示成看出：cos(n )对于=0,2皆为偶对称，所以幅度函数H()也对 =0,2皆为偶对称。且H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不为零。(只要h (N-1)/2不为零）。所以从从0 2 范围内，无任何约束，可以设范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）0)21(2)(0)21()0()cos()()(2)1(0nnNhnanNhannaHNn其中：)4()2()()(HHHH)(H022关于=0及 = 偶对称n对称中心N=7)(nh可以设计任何可以设计任何一种滤波器一种滤波器

8、1. 第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数=时，由于余弦项为零，且对=奇对称，因此这种情况下的幅度特性的特点是对=奇对称，且在=处有一零点，使H()=0，这样，对于高通和带阻不适合采用这种情况。2. 第二种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=偶数H()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。 ( )0H/21/211(2)( )cos(2)()21( )cos()( )2NnNnHb nnb nnH / 21/ 211()2 ()cos()221()( )cos()2( )2 (),1,2,)22NmNnNHhmmHb nnNNb nhnn关于 =0偶对称， = 奇对称，H()=0

9、 (总是)n对称中心N=6)(nh0)(H0222. 第二种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数只能设计低通能设计低通和带通滤波器和带通滤波器3. 第三种情况：h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数(1) / 21()( )sin11( )2 (),1,2,22NnHc nnNNc nhnn由于在=0, 2时，正弦项为零，因此幅度特性H()在=0, 2处为零，即在z 1处是零点，且H()对=0, 2呈奇对称形式。()( )(2)( )HHHH 关于 =0、 = 奇对称H(0)=0 、H()=0 (总是)）（H022n对称中心N=7)(nh03.第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=

10、奇数只能设计能设计带通滤波器带通滤波器正弦项在=0, 2处为零，因此H()在=0, 2处为零，即在z=1处有一个零点，且对=0, 2奇对称，对=呈偶对称。4. 第四种情况：h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NmNnNHhmmHd nnNNd nhn n()( )HH /21/211(2)( )sin(2)()21( )sin() ( )2NnNnHd nnd nnH/21/211(4)( )sin(4)()21( )sin() ( )2NnNnHd nnd nnH关于 =0奇对称、 =偶对称H(0)=0 (总是)n对称中心N=6)(nh0)(H0224. 第四种情况h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数只能设计带通、能设计带通、高通滤波器高通滤波器任一任一低通、带通低通、带通带通带通带通、高通带通、高通 h(n)奇对称奇对称幅度特性总结类别h(n)的长度Nh(n)关于 对称H()关于1奇偶偶2偶偶奇3奇奇奇4偶奇偶21)-(N任一任一低通、带通低通、带通带通带通带通、高通带通、高通解：因为长度N为奇数，且频谱关于 偶对称，有) 1()(nNhnh1)2()4( hh2) 1 ()5( hh3)0()6( hh滤波器的差分方程为：) 6(3) 5(2) 4() 3(4