第一轮总复习课件(理数)：第78讲轨迹问题新课标高中数学

1、 了解曲线与方程的关系，掌握求动了解曲线与方程的关系，掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法，并能点轨迹的基本思路和常用方法，并能灵活应用灵活应用.培养用坐标法解题思想培养用坐标法解题思想.1.方程方程|x|-1= 表示的曲线是表示的曲线是( )DA.一个圆一个圆 B.两个圆两个圆C.半个圆半个圆 D.两个半圆两个半圆21(1)y 由于由于|x|-1=(|x|-1)2+(y-1)2=1 |x|-10 x1 x-1 (x-1)2+(y-1)2=1 (x+1)2+(y-1)2=1曲线是两个半圆，故选曲线是两个半圆，故选D.21(1)y或或2.设设P为双曲线为双曲线 -y2=1上一动点上一动点,O为坐标

2、为坐标原点，原点，M为线段为线段OP的中点，则点的中点，则点M的轨的轨迹方程为迹方程为 .24xx2-4y2=1 (代入法代入法)设设M(x,y)，P(x1,y1)，则则 -y12=1. x= x1=2x y= y1=2y214x又又12x,即即12y,代入得代入得x2-4y2=1. (直推法直推法)依题设依题设, |PF1|+|PF2|=25=10 |PQ|=|PF2|,则则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10,则动点则动点Q的轨迹是以的轨迹是以F1为圆心为圆心,10为半径的圆为半径的圆,其方程为其方程为(x+4)2+y2=100.3.已知椭圆已知椭圆 =1的左、右

3、焦点分别的左、右焦点分别为为F1、F2,P为椭圆上一动点为椭圆上一动点,延长延长F1P到到Q,使得使得|PQ|=|PF2|,则动点则动点Q的轨迹方程的轨迹方程是是 .22259xy(x+4)2+y2=1004.平面直角坐标系中平面直角坐标系中,O为坐标原点为坐标原点,已知两点已知两点A(3,1),B(-1,3),若点若点C满足满足 = + ,其中其中、R,且且+=1,则点则点C的轨迹方程的轨迹方程是是 .x+2y-5=0OCOA OB （参数法）设（参数法）设C(x,y).由由 = + ,得得(x,y)=(3,1)+(-1,3), x=3- y=+3. 而而+=1, x=4-1 y=3-2OC

4、OA OB 即即则则,消去消去得得x+2y-5=0.5.设设A1、A2是椭圆是椭圆 =1长轴的两个长轴的两个端点，端点，P1、P2是垂直于是垂直于A1A2的弦的端的弦的端点，则直线点，则直线A1P1与与A2P2交点交点M的轨迹的轨迹方程是方程是 .2294xy22194xy (交轨法交轨法)由已知由已知,A1(-3,0),A2(3,0).设设P1(x1,y1),则则P2(x1,-y1),交点交点M(x,y),则由则由A1、P1、M三点共线三点共线,得得 = .又又A2、P2、M三点共线，得三点共线，得 = .得得 = .又又 =1,即即 = ,从而从而 = ,即即 .113yx 3yx113y

5、x3yx21219yx229yx 221194xy22194xy21219yx49229yx 49 1.曲线与方程的关系曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹轨迹)上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数的实数解建立了如下关系：解建立了如下关系： ( 1 )曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ; (2)以这个方程的解为坐标的点均是以这个方程的解为坐标的点均是 .那么，这个方程叫做曲线的那么

6、，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线.方程的解方程的解曲线上的点曲线上的点2.求轨迹方程的基本思路求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点写出动点M所满足的所满足的 .(3)将动点将动点M的坐标的坐标 ,列出列出关于动点坐标的方程关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程化简方程f(x,y)0为最简形式为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件的所有点是否都

7、满足已知条件.几何条件的集合几何条件的集合代入几何条件代入几何条件注意：第（注意：第（2）步可以省略，如果化）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（简过程都是等价交换，则第（5）可以省）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）或完备（即去伪与补漏）.3.求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量本身就是一些几何量(如距离与角如距离与角)的等量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于关

8、系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为表达，我们只需把这种关系转化为x,y的的等式就得到曲线的轨迹方程；等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹本轨迹(如直线、圆锥曲线如直线、圆锥曲线)的的 ,则可则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；的轨迹方程；(3)代入法代入法(相关点法相关点法)：当所求动点：当所求动点M是随着另一动点是随着另一动点P(称之为相关点称之为相关点)而运动，而运动，如果相关点如果相关点P满足某一曲线方程，这时我满足某一曲线方程，这时我们可以用动点

9、坐标表示相关点坐标，再把们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；的方程转化为动点的轨迹方程；定义定义(4)参数法：有时求动点应满足的几何参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量变量(角度、斜率、比值、截距或时间等角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标的制约，即动点坐标(x,y)中的中的x,y分别随另分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量一变量的变

10、化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到参变量，直接得到x,y的关系式的关系式.例例1 过点过点P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1、l2,l1交交x轴于轴于A点，点，l2交交y轴于轴于B点，求点，求线段线段AB中点中点M的轨迹方程的轨迹方程. (方法一方法一)设设M(x,y),由由M是是AB中点有中点有A(2

11、x,0),B(0,2y).当当l1,l2与坐标轴不平与坐标轴不平行时有行时有kPBkPA=-1,而而kPA= ,kPB= (x),所以所以 =-1,即即x+2y-5=0(x).当当l1垂直于垂直于x轴时，轴时，A(2,0),B(0,4),线段线段AB中中点为点为(1,2)也满足方程也满足方程x+2y-5=0.故动点故动点M的轨迹方程为的轨迹方程为:x+2y-5=0.4022x4220y2211yx(方法二方法二)设设M(x,y)，则，则A(2x,0),B(0,2y).在在RtABP中，中，2|PM|=|AB|,而而PM= ,|AB|= ,所以所以2 = ,即即x+2y-5=0为所求轨迹方程为所

12、求轨迹方程.22(2)(4)xy22(2 )(2 )xy22(2)(4)xy2244xy 本题解法为直接法求轨迹方程，方本题解法为直接法求轨迹方程，方法一是利用了动点满足的明确的等量关系法一是利用了动点满足的明确的等量关系获得动点轨迹方程获得动点轨迹方程.方法二是利用了几何方法二是利用了几何图形的性质、挖掘出动点满足的几何等式，图形的性质、挖掘出动点满足的几何等式，从而求得轨迹方程，应认识到利用图形的从而求得轨迹方程，应认识到利用图形的平面几何方面的特征解题，可以化繁为简，平面几何方面的特征解题，可以化繁为简，因此应注意挖掘图形中的平面几何方面特因此应注意挖掘图形中的平面几何方面特征，注意平面

13、几何知识的应用征，注意平面几何知识的应用.例例2 如图，已知圆如图，已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A(-2，0)，B(2，0)，分别求出满足下列，分别求出满足下列条件的动点条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程. (1)PAB的周长为的周长为10； (2)圆圆P与圆与圆A外切外切(P为动为动 圆圆心圆圆心)； (3)圆圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切相切(P为为动圆的圆心动圆的圆心). 根据题意，先找出等价条件，根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线的方程曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6. (

14、2)|PA|-|PB|=1. (3)P点到点到A点的距离比点的距离比P点到直线点到直线x=1的距离长的距离长1，即，即P点到点到A点的距离等于点的距离等于P点到直线点到直线x=2的距离的距离. (1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即即|PA|+|PB|=64=|AB|,故故P点的轨迹是椭圆，且点的轨迹是椭圆，且2a=6,2c=4,即即a=3,c=2,则则b= ,因此其方程为因此其方程为 =1(y0).(2)设圆设圆P的半径为的半径为r，则，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此因此|PA|-|PB|=1.52295xy由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P点的轨迹

15、为双曲线的点的轨迹为双曲线的右支右支,且且2a=1,2c=4,即即a= ,c=2,则则b= ,因此其方程为因此其方程为4x2- y2=1(x ).(3)依题意知，动点依题意知，动点P到定点到定点A的距离等于到的距离等于到定直线定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，且开口向左，p=4.因此其方程为因此其方程为y2=-8x.1215241512 解题时应注意动点的几何特征，解题时应注意动点的几何特征，若盲目进行代数运算则可能较繁琐若盲目进行代数运算则可能较繁琐,因因此获得动点所满足的几何条件后此获得动点所满足的几何条件后,应分应分析是否可以利用圆锥曲线的定义求

16、动析是否可以利用圆锥曲线的定义求动点的轨迹方程问题点的轨迹方程问题.例例3 已知双曲线已知双曲线 =1(m0,n0)的的顶点为顶点为A1、A2，与，与y轴平行的直线轴平行的直线l交双曲交双曲线于点线于点P、Q， 求直线求直线A1P与与A2Q的交的交 点点M的轨迹方程的轨迹方程.2222xymn 设设P点的坐标为点的坐标为(x1,y1)，则，则Q点的坐标点的坐标为为(x1,-y1).又有又有A1(-m,0),A2(m,0)，则直线则直线A1P的方程为的方程为y= (x+m)， 直线直线A2Q的方程为的方程为y=- (x-m). 得得y2=- (x2-m2). 又因点又因点P在双曲线上，故在双曲线

17、上，故 =1,即即y12= (x12-m2).代入并整理得代入并整理得 =1,此即为点此即为点M的轨的轨迹方程迹方程.11yxm11yxm21221yxm221122xymn22nm2222xymn 本题用交轨法求轨迹的方程，其本题用交轨法求轨迹的方程，其解题步骤是写出动点所满足的两个轨迹解题步骤是写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组消参即可解得，此方程后，组成方程组消参即可解得，此法适用于求两动直（曲）线交点的轨迹法适用于求两动直（曲）线交点的轨迹方程，此法常与参数法并用方程，此法常与参数法并用.例例4 自抛物线自抛物线y2=2x上任意一点上任意一点P向其向其准线准线l引垂线，垂足为引

18、垂线，垂足为Q，连接顶点，连接顶点O与与P的直线和连接焦点的直线和连接焦点F与与Q的直线交于的直线交于R点，求点，求R点的轨迹方程点的轨迹方程. 设设P(x1,y1),R(x,y),则则Q(- ,y1),F( ,0),所以所以OP的方程为的方程为y= x, FQ的方程为的方程为y=-y1(x- ), 由得由得x1= ,y1= ,代入代入y2=2x，可得，可得y2=-2x2+x.121211yx1221 2xx21 2yx 本题动点满足的条件不便用等式列本题动点满足的条件不便用等式列出，但动点出，但动点R是随着另一动点是随着另一动点P(称之为相称之为相关点关点)而运动的，而而运动的，而P点在抛物

19、线点在抛物线y2=2x上，上，所以我们可以利用动点所以我们可以利用动点R的坐标表示的坐标表示P点点的坐标，然后将其代入到抛物线的坐标，然后将其代入到抛物线y2=2x中中即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程. 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，有一个以中，有一个以F1(0,- )和和F2(0, )为焦点、离心率为为焦点、离心率为 的的椭圆椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动，动点点P在在C上，上，C在点在点P处的切线与处的切线与x、y轴的交轴的交点分别为点分别为A、B，且向量，且向量 = + .求：求： (1)点点M的轨迹方程的轨迹方程; (2)| |的最小值

20、的最小值.3332OM OA OB OM (1)椭圆方程可写为椭圆方程可写为 =1, a2-b2=3 a2=4 = b2=1，所以曲线所以曲线C的方程为的方程为x2+ =1(x0,y0)，则则y=2 (0 x1)，故，故y=- .设设P(x0,y0),因为点因为点P在曲线在曲线C上上,有有0 x01,y0=2 ,则则y|x=x0 =- .得切线得切线AB的方程为的方程为y=- (x-x0)+y0.2222yxab其中其中ab0,且且,得得3a3224y21x221xx201x004xy004xy设设A(x,0)和和B(0,y).由切线的方程得由切线的方程得x= ,y= .由由 = + 得得M的

21、坐标为的坐标为(x,y),由由x0,y0满满足足C的方程，得点的方程，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为 =1(x1,y2).(2)因为因为| |2=x2+y2，y2= =4+ ,所以所以| |2=x2-1+ +54+5=9,且当且当x2-1= ,即即x= 1时时,上式取等号上式取等号.故故| |的最小值为的最小值为3.01x04yOM OA OB 2214xyOM 2411x241x OM 241x 241x 3OM 1.曲线与方程关系的理解曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同

22、时满足两个条件：曲线上所有点系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上点均在曲线上.(2)如果曲线如果曲线C的方程是的方程是f(x,y)=0,那么那么点点P0(x0,y0)在曲线在曲线C上的充要条件是上的充要条件是f(x0,y0)=0.(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立与方程的解集之间建立了一一对应关系了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析求轨迹方程方法实质剖析.(1)

23、轨迹问题的实质就是用动点的两坐轨迹问题的实质就是用动点的两坐标标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系一一对应的揭示曲线方程解的关系.在在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系系.当两坐标之间的关系为直接关系当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式就是曲线方程的普通形式; 当当x,y的关系用一个变量的关系用一个变量(如如t变量变量)表示时，表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程式就是曲线的参数方程

24、.所以解决问题时，所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中不动的、不变的因素，从体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质标，而直接找动点所满足的几何性质(往往往往是距离的等量关系是距离的等量关系). 由于解析几何研究的几何对象的局限性，由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答定义，从而使问题快速解答.学例1 (2009广东卷广东卷)