数列的通项与求和整理版

1、要点梳理要点梳理1.1.若已知数列若已知数列 a an n ，满足，满足a an n+1+1- -a an n= =f f（n n），且），且f f（1 1）+ + f f（2 2）+f f（n n）可求，则可用）可求，则可用 求数列的求数列的 通项通项a an n. .2.2.若已知数列若已知数列 a an n ，满足，满足 = =f f（n n），且），且f f(1)(1)f f(2)(2) f f（n n）可求，则可用）可求，则可用 求数列的通项求数列的通项a an n. .专题专题 数列的通项公式及数列求和数列的通项公式及数列求和累加法累加法nnaa1累积法累积法基础知识基础知识 自主

2、学习自主学习3.3.等差数列前等差数列前n n项和项和S Sn n= = = = ， 推导方法：推导方法： ； 等比数列前等比数列前n n项和项和 推导方法推导方法: :乘公比，错位相减法乘公比，错位相减法. .S Sn n= =，nana1 1= =qqan1)1 (1qqaan11 q q=1,=1, q q1.1.，2)(1naandnnna2) 1(1倒序相加法倒序相加法4.4.常见数列的前常见数列的前n n项和项和（1 1）1+2+3+1+2+3+n n= = ; ;（2 2）2+4+6+22+4+6+2n n= = ; ;（3 3）1+3+5+(21+3+5+(2n n-1)= -

3、1)= ; ;（4 4）1 12 2+2+22 2+3+32 2+n n2 2= = ; ;（5 5）1 13 3+2+23 3+3+33 3+n n3 3= = . .n n2 2+ +n nn n2 22) 1( nn6) 12)(1(nnn22) 1(nn5.5.（1 1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列和的数列. . （2 2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和项再求和. . （3 3）错位相减：适

4、用于一个等差数列和一个等比）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和数列对应项相乘构成的数列求和. . （4 4）倒序相加：例如，等差数列前）倒序相加：例如，等差数列前n n项和公式的推项和公式的推导导. .6.6.常见的拆项公式有常见的拆项公式有.111)3();121121(21) 12)(12(1)2(;111) 1(1) 1 (nnnnnnnnnnnn基础自测基础自测1.1.已知等比数列已知等比数列 a an n,a a1 1=3,=3,且且4 4a a1 1、2 2a a2 2、a a3 3成等差数成等差数 列，则列，则a a3 3+ +a a4 4+ +a

5、 a5 5等于等于（ ） A.33A.33B.72B.72C.84C.84D.189D.189 解析解析 由题意可设公比为由题意可设公比为q q, ,则则a a2 2= =a a1 1q q, ,a a3 3= =a a1 1q q2 2, , 4 4a a2 2=4=4a a1 1+ +a a3 3,4,4a a1 1q q=4=4a a1 1+ +a a1 1q q2 2, ,又又a a1 1=3,=3,q q=2.=2. a a3 3+ +a a4 4+ +a a5 5= =a a1 1q q2 2(1+(1+q q+ +q q2 2) ) =3 =34 4(1+2+4)=84.(1+2

6、+4)=84.C2.2.如果数列如果数列 a an n 满足满足a a1 1, ,a a2 2- -a a1 1, ,a a3 3- -a a2 2,a an n- -a an n-1-1,是是首项为首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，则的等比数列，则a an n等于（等于（） A. B.A. B. C. D. C. D. 解析解析 a a1 1+ +（a a2 2- -a a1 1）+ +（a a3 3- -a a2 2）+（a an n- -a an n-1-1） = =a an n= =C213 n233 n213 n233 n.21331)31 (1nn3.3.已知数列已知数

7、列 a an n 的通项公式是的通项公式是a an n= = ，其中前，其中前n n项项和和S Sn n= = ，则项数，则项数n n等于等于（） A.13 B.10 C.9 D.6A.13 B.10 C.9 D.6 解析解析 a an n= = S Sn n= =n n- =- =n n-1+-1+ 而而D,211212nnn64321)212121(2nnn212 ,21n. 6,6415211,641564321nnn4.4.若数列若数列 a an n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n n+2+2n n-1,-1,则数列则数列 a an n 的的前前n n项和为项和为（）

8、A.2A.2n n+ +n n2 2-1 B.2-1 B.2n n+1+1+ +n n2 2-1-1 C.2 C.2n n+1+1+ +n n2 2-2 D.2-2 D.2n n+ +n n2 2-2-2 解析解析 S Sn n= =2= =2n n+1+1-2+-2+n n2 2. .C2) 121 (21)21 (2nnn5.5.数列数列 的前的前n n项项和为和为（） A. B.A. B. C. D. C. D. 解析解析 由数列通项公式由数列通项公式 得前得前n n项和项和B,)23() 13(1,1181,851,521nn23 nn46 nn463nn21nn),231131(31

9、)23() 13(1nnnn.46)23121(31)2311311118181515121(31nnnnnSn题型一题型一 由递推公式求通项公式由递推公式求通项公式【例例1 1】分别求满足下列条件的数列的通项公式分别求满足下列条件的数列的通项公式. . (1) (1)设设 a an n 是首项为是首项为1 1的正项数列，且（的正项数列，且（n n+1+1） + +a an n+1+1a an n=0 (=0 (n n=1,2,3,);=1,2,3,); (2) (2)已知数列已知数列 a an n 满足满足a an n+1+1= ,= ,a a1 1=2.=2. 依据已知数列的递推关系适当地

10、进行依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项的差变形，可寻找数列的通项的差a an n- -a an n-1-1或通项的商或通项的商 的规律的规律. .221nnnaa1122nnnnaa思维启迪思维启迪1nnaa题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解（1 1）方法一方法一 数列数列 a an n 是首项为是首项为1 1的正项数列的正项数列, ,a an na an n+1+10, +1=0,0, +1=0,令令 = =t t,(,(n n+1)+1)t t2 2+ +t t- -n n=0,=0,( (n n+1)+1)t t- -n n( (t t+1)=0,+1)=0,t

11、t= = 或或t t=-1=-1（舍去），（舍去），即即11) 1(nnnnanaaannnaa11nn.11nnaann.1,154433221145342312nannaaaaaaaaaannn方法二方法二 由（由（n n+1+1） + +a an n+1+1a an n=0,=0,得得n n( )+( )+a an n+1+1( (a an n+1+1+ +a an n)=0,)=0,即（即（a an n+1+1+ +a an n）( (n n+1)+1)a an n+1+1- -nanan n=0.=0.a an n0,0,a an n+1+1+ +a an n0,(0,(n n+1)

12、+1)a an n+1+1- -nanan n=0,=0,即即221nnnaa221nnaa.11nnaann.1,154433221145342312nannaaaaaaaaaannn（2 2）将已知递推式化为）将已知递推式化为将以上（将以上（n n-1-1）个式子相加得）个式子相加得,211111nnnaa,21111,2111,2111,2111434323212nnnaaaaaaaa.122,211211)211 (211,21212121114321nnnnnnnnaaaa 探究提高探究提高 已知递推关系求通项公式这类问题要已知递推关系求通项公式这类问题要求不高求不高, ,主要掌握由

13、主要掌握由a a1 1和递推关系先求出前几项和递推关系先求出前几项, ,再归纳、猜想再归纳、猜想a an n的方法的方法, ,以及累加：以及累加：a an n=(=(a an n- -a an n-1-1)+)+ ( (a an n-1-1- -a an n-2-2)+)+(+(a a2 2- -a a1 1)+)+a a1 1; ;累乘：累乘：a an n= = 等方法等方法. .211nnnnaaaa112aaa知能迁移知能迁移1 1 由已知在数列由已知在数列 a an n 中中a a1 1=1,=1,求满足下列条求满足下列条件的数列的通项公式件的数列的通项公式. . （1 1）a an

14、n+1+1= ;(2)= ;(2)a an n+1+1=2=2a an n+2+2n n+1+1. .nnaa21 解解 （1 1）因为对于一切）因为对于一切n nN N* *, ,a an n0,0, 因此由因此由a an n+1+1= = ，得，得 即即 数列数列 是等差数列，是等差数列， ( (n n-1)2=2-1)2=2n n-1,-1,即即a an n= = （2 2）根据已知条件得）根据已知条件得 即即 数列数列 是等差数列是等差数列. . 即即a an n=(2=(2n n-1)2-1)2n n-1-1. . nnaa21, 2111nnaa. 2111nnaana1111aa

15、n.121n, 12211nnnaan, 12211nnnnaanna2,212) 1(212nnann题型二题型二 错位相减法求和错位相减法求和【例例2 2】设数列设数列 a an n 满足满足a a1 1+3+3a a2 2+3+32 2a a3 3+3+3n n-1-1a an n= = n nN N* *. .（1 1）求数列）求数列 a an n 的通项；的通项；（2 2）设）设b bn n= = ，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n. . （1 1）由已知写出前）由已知写出前n n-1-1项之和，两式相项之和，两式相减减. .（2 2）b bn n=

16、=n n33n n的特点是数列的特点是数列 n n 与与33n n 之积可之积可用错位相减法用错位相减法. . 解解 （1 1）a a1 1+3+3a a2 2+3+32 2a a3 3+3+3n n-1-1a an n= = 当当n n22时，时， a a1 1+3+3a a2 2+3+32 2a a3 3+3+3n n-2-2a an n-1-1= = ,3nnan,3n,31n思维启迪思维启迪- -得得3 3n n-1-1a an n= ,= ,a an n= = 在中，令在中，令n n=1,=1,得得a a1 1= = ，适合，适合a an n= = a an n= = (2) (2)

17、b bn n= ,= ,b bn n= =n n3 3n n. .S Sn n=3+2=3+23 32 2+3+33 33 3+n n33n n 33S Sn n=3=32 2+2+23 33 3+3+33 34 4+n n33n n+1+1. . - -得得2 2S Sn n= =n n33n n+1+1-(3+3-(3+32 2+3+33 3+3+3n n),),即即2 2S Sn n= =n n3 3n n+1+1- -31,31n.31n31.31nnan4343) 12(,31)31 (31nnnnS 探究提高探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式解答本题的突破口在于将所给条件式

18、视为数列视为数列33n n-1-1a an n 的前的前n n项和项和, ,从而利用从而利用a an n与与S Sn n的关的关系求出通项系求出通项3 3n n-1-1a an n, ,进而求得进而求得a an n; ;另外乘公比错位相另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法减是数列求和的一种重要方法, ,但值得注意的是但值得注意的是, ,这种方法运算过程复杂这种方法运算过程复杂, ,运算量大运算量大, ,应加强对解题应加强对解题过程的训练过程的训练, ,重视运算能力的培养重视运算能力的培养. .知能迁移知能迁移2 2 (2008(2008全国全国文，文，19)19)在数列在数列 a an

19、n 中，中，a a1 1=1=1，a an n+1+1=2=2a an n+2+2n n. .（1 1）设）设b bn n= .= .证明：数列证明：数列 b bn n 是等差数列；是等差数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n. .（1 1）证明证明 a an n+1+1=2=2a an n+2+2n n， b bn n= = ，b bn n+1+1= =b bn n+1+1，即，即b bn n+1+1- -b bn n=1,=1,b b1 1=1,=1, 故数列故数列 b bn n 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为1 1的等差数列的等差数列.

20、.12nna, 12211nnnnaa12nna(2)(2)解解 由（由（1 1）知）知, ,b bn n= =n n, ,a an n= =n n22n n-1-1, ,则则S Sn n=12=120 0+22+221 1+(+(n n-1)2-1)2n n-2-2+ +n n22n n-1-12 2S Sn n=12=121 1+22+222 2+(+(n n-1)2-1)2n n-1-1+ +n n22n n两式相减，得两式相减，得S Sn n= =n n22n n-12-120 0-2-21 1-2-2n n-1-1= =n n22n n-2-2n n+1.+1.题型三题型三 分组转化

21、求和分组转化求和【例例3 3】求和求和S Sn n=1+=1+ 数列的通项数列的通项a an n= =2 2 ，求，求S Sn n可用分可用分 组求和法组求和法. . 解解 和式中第和式中第k k项为项为思维启迪思维启迪211 ()41211 ()211 ().21411n)211 (n).211 (2211)21(121412111kk-kka. 2221211)211 (212)212121() 111 ( 2)211 ()211 ()211(2122nnSnnnnnn个 探究提高探究提高 先将求和式中的项进行适当分组调整，先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每一个组为等差或等比数列，然

22、后分别求和，使之每一个组为等差或等比数列，然后分别求和，从而得出原数列的和从而得出原数列的和. .它是通过对数列通项结构特它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种求和方法求和方法. .解解 前前n n项和为项和为S Sn n= =（1+11+1）+ += += +1+4+7+(31+4+7+(3n n-2)-2)，设设S S1 1= = 当当a a=1=1时，时，S S1 1= =n n；当当a a11时，时，S S1 1= =., 231,

23、71, 41, 1112naaan)71()41(2aa)231(1nan)1111 (12naaa,111112naaa,11nnnaaa知能迁移知能迁移3 3 求下列数列的前求下列数列的前n n项和：项和：S S2 2=1+4+7+=1+4+7+（3 3n n-2-2）= =当当a a=1=1时，时，S Sn n= =S S1 1+ +S S2 2= =当当a a11时，时，S Sn n= =S S1 1+ +S S2 2= =.2) 13(nn;2) 13(2) 13(nnnnn.2) 13(11nnaaannn题型四题型四 裂项相消法求和裂项相消法求和【例例4 4】（1212分）已知数

24、列分）已知数列 a an n 中，中，a a1 1=1=1，当，当n n22时，时，其前其前n n项和项和S Sn n满足满足 （1 1）求）求S Sn n的表达式；的表达式； （2 2）设）设b bn n= = ，求，求 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .)21(2nnnSaS12 nSn解解 （1 1） a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1，（，（n n22）, , = =（S Sn n- -S Sn n-1-1）( (S Sn n- ),- ),即即2 2S Sn n-1-1S Sn n= =S Sn n-1-1- -S Sn n， 3 3分分由题

25、意由题意S Sn n-1-1S Sn n00，式两边同除以式两边同除以S Sn n-1-1S Sn n，得，得数列数列 是首项为是首项为 公差为公差为2 2的等差数列的等差数列. .4 4分分 =1+2=1+2（n n-1-1）=2=2n n-1-1，S Sn n= 6= 6分分),21(2nnnSaS2nS21, 2111nnSSnS1, 11111aSnS1.121n（2 2）又）又b bn n= = 8 8分分T Tn n= =b b1 1+ +b b2 2+b bn n 12 12分分 使用裂项法求和时，要注意正负项相消使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切

26、不可漏写未被时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的上造成正负相消是此法的根源与目的. .探究提高探究提高) 12)(12(112nnnSn),121121(21nn.12)1211 (21)121121()5131()311(21nnnnn知能迁移知能迁移4 4 已知等差数列已知等差数列 a an n 的首项的首项a a1 1=1,=1,公差公差d d0 0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项列

27、的第二项、第三项、第四项. . （1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式； （2 2）设）设b bn n= (= (n nN N* *) )，S Sn n= =b b1 1+ +b b2 2+b bn n，是否，是否存在最大的整数存在最大的整数t t，使得对任意的，使得对任意的n n均有均有S Sn n 总总 成立？若存在，求出成立？若存在，求出t t; ;若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. . 解解 （1 1）由题意得（）由题意得（a a1 1+ +d d）( (a a1 1+13+13d d)=()=(a a1 1+4+4d d) )2 2， 整理得整理得2

28、2a a1 1d d= =d d2 2. . a a1 1=1=1，解得，解得d d=2=2，d d=0=0（舍）（舍）. . a an n=2=2n n-1 -1 （n nN N* *）. .)3(1nan36t（2 2）b bn n= =S Sn n= =b b1 1+ +b b2 2+b bn n假设存在整数假设存在整数t t满足满足S Sn n 总成立，总成立，又又S Sn n+1+1- -S Sn n= = 0,0,数列数列 S Sn n 是单调递增的是单调递增的. .S S1 1= = 为为S Sn n的最小值，故的最小值，故 ，即，即t t9.9.又又t tN N* *，适合条件

29、的适合条件的t t的最大值为的最大值为8.8.),111(21) 1(21)3(1nnnnann.) 1(2)111 (21)111()3121()211(21nnnnn36t) 1(2)2(21nnnn) 1)(2(21nn36t4141方法与技巧方法与技巧1.1.求数列通项的方法技巧：求数列通项的方法技巧：(1)(1)通过对数列前若干项通过对数列前若干项的观察、分析的观察、分析, ,找出项与项数之间的统一对应关系，找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；猜想通项公式；(2)(2)理解数列的项与前理解数列的项与前n n项和之间项和之间满足满足a an n= =S Sn n- -S Sn

30、 n-1-1（n n22）的关系，并能灵活运用它）的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题解决有关数列问题. . 2.2.a an n的两种常见变形的两种常见变形 a an n= =a a1 1+ +（a a2 2- -a a1 1）+ +（a a3 3- -a a2 2）+（a an n- -a an n-1-1）（累加）（累加法）；法）；a an n= =a a1 1 （累乘法）（累乘法）. .1342312nnaaaaaaaa思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧（1 1）倒序相加：用于等差数列与二项式系数相关联）倒序相加：用于等差数列与二项式系数相

31、关联的数列的求和的数列的求和. .（2 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和的求和. .（3 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和列的求和. .失误与防范失误与防范1.1.直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程的推导过程. .2.2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和

32、，或转化为基本和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和数列求和. .求和过程中同时要对项数作出准确判断求和过程中同时要对项数作出准确判断. .3.3.含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论. .一、选择题一、选择题1.1.等差数列等差数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n=2=2n n-1,-1,数列数列b bn n= = 其前其前n n项和为项和为S Sn n，则，则S Sn n等于等于（） A. B.A. B. C. D. C. D.以上都不对以上都不对122nn12 nn12 nn,11nnaa定时检测定时检测解析解析 a an

33、n=2=2n n-1-1，答案答案 B B.12)1211 (21)12112171515131311 (21),121121(21) 12)(12(1nnnnnSnnnnbnn2.2.已知数列已知数列 a an n 满足满足a a1 1=1,=1,a an n+1+1= =a an n+2+2n n，则，则a a1010等于等于 （） A.1 024 B.1 023 C.2 048 D.2 047A.1 024 B.1 023 C.2 048 D.2 047 解析解析 利用叠加法及等比数列求和公式，利用叠加法及等比数列求和公式， 可求得可求得a a1010=2=21010-1=1 023.-

34、1=1 023.B3.3.已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n= =n n2 2-4-4n n+2+2，则，则| |a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a a1010| |等于等于（） A.66A.66B.65B.65C.61C.61D.56D.56 解析解析 当当n n=1=1时，时，a a1 1= =S S1 1=-1;=-1; 当当n n22时，时， a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1= =n n2 2-4-4n n+2-+2-（n n-1-1）2 2-4-4（n n-1-1）+2+2 =2=2n n-5-5， a a2 2=-

35、1=-1，a a3 3=1=1，a a4 4=3=3，a a1010=15=15， | |a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a a1010|=1+1+|=1+1+ =2+64=66. =2+64=66.A2)151 (84.4.数列数列1 1，1+21+2，1+2+41+2+4，1+2+21+2+22 2+2+2n n-1-1，的前的前n n项和项和S Sn n1 0201 020，那么，那么n n的最小值是（的最小值是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10A.7 B.8 C.9 D.10 解析解析 1+2+21+2+22 2+2+2n n-1-1= =2= =2n n-1-1，

36、S Sn n= =（2+22+22 2+2+2n n）- -n n= = - -n n=2=2n n+1+1-2-2-n n. . 若若S Sn n1 0201 020，则，则2 2n n+1+1-2-2-n n1 020,1 020,n n10.10.D2121n21221n5.5.若数列若数列 a an n 的通项为的通项为a an n=4=4n n-1,-1,b bn n= = n nN N* *, ,则数列则数列 b bn n 的前的前n n项和是项和是（） A.A.n n2 2 B.B.n n( (n n+1)+1) C. C.n n( (n n+2) D.+2) D.n n(2(2

37、n n+1)+1) 解析解析 a a1 1+ +a a2 2+a an n =(4 =(41-1)+(41-1)+(42-1)+(42-1)+(4n n-1)-1) =4(1+2+ =4(1+2+n n)-)-n n=2=2n n( (n n+1)-+1)-n n =2 =2n n2 2+ +n n, , b bn n=2=2n n+1,+1,b b1 1+ +b b2 2+b bn n =(2 =(21+1)+(21+1)+(22+1)+(22+1)+(2n n+1)+1) = =n n2 2+2+2n n= =n n( (n n+2).+2).,21naaanC6.6.数列数列a an n

38、= ,= ,其前其前n n项之和为项之和为 , ,则在平面直角坐则在平面直角坐 标系中标系中, ,直线直线( (n n+1)+1)x x+ +y y+ +n n=0=0在在y y轴上的截距为（轴上的截距为（ ） A.-10 B.-9 C.10 D.9A.-10 B.-9 C.10 D.9 解析解析 数列的前数列的前n n项和为项和为 直线方程为直线方程为1010 x x+ +y y+9=0.+9=0. 令令x x=0,=0,得得y y=-9,=-9,在在y y轴上的截距为轴上的截距为-9.-9.) 1(1nn109B, 9,1091111) 1(1321211nnnnnn二、填空题二、填空题7

39、.7.等比数列等比数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n=2=2n n-1-1，则，则 . . 解析解析 当当n n=1=1时，时，a a1 1= =S S1 1=1,=1, 当当n n22时，时，a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1=2=2n n-1-1-（2 2n n-1-1-1-1）=2=2n n-1-1， 又又a a1 1=1=1适合上式适合上式. . a an n=2=2n n-1-1， =4=4n n-1-1. . 数列数列 是以是以 =1=1为首项，以为首项，以4 4为公比的等比为公比的等比数列数列. . 22221naaa) 14(31n2n

40、a2na21a).14(3141)41 (122221nnnaaa8.8.已知数列已知数列2 008,2 0092 008,2 009，1 1，-2 008-2 008，-2 009-2 009，这这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前前后两项之和，则这个数列的前2 0092 009项之和项之和S S2 0092 009等于等于 . . 解析解析 由题意由题意a an n+1+1+ +a an n-1-1= =a an n, ,a an n+ +a an n+2+2= =a an n+1+1, , 两式相加得两式相加得

41、a an n+2+2=-=-a an n-1-1, , a an n+5+5= =a an n-1-1, ,即即 a an n 是以是以6 6为周期的数列为周期的数列. . 2 009=334 2 009=3346+5.6+5. a a1 1+ +a a2 2+a a2 0092 009= =a a1 1+ +a a2 2+ +a a3 3+ +a a4 4+ +a a5 5 =2 008+2 009+1-2 008-2 009=1, =2 008+2 009+1-2 008-2 009=1, 即即S S2 0092 009=1.=1.1 19.9.有限数列有限数列 a an n 中，中，S

42、Sn n为为 a an n 的前的前n n项和项和, ,若把若把 称为数列称为数列 a an n 的的“优化和优化和”，现有一个共，现有一个共2 0092 009项的数列：项的数列：a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a a2 0092 009, ,若其若其“优化和优化和”为为2 0102 010，则有，则有2 0102 010项项的数列：的数列：1 1，a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3,a a2 0092 009的优化和为的优化和为 . . 解析解析 依题意，依题意， S S1 1+ +S S2 2+S S2 0092 009=2 009=2 0092 010.

43、2 010. 又数列又数列1,1,a a1 1, ,a a2 2,a a2 0092 009相当于在数列相当于在数列a a1 1, ,a a2 2,a a2 0092 009前加前加一项一项1 1， 其优化和为其优化和为 nSSSn212 0102 010,01020092009221SSS0102) 1() 1() 1(1009221SSS.01020102010201020092三、解答题三、解答题10.10.数列数列 a an n 中中, ,a a1 1=3,=3,a an n+ +a an n-1-1+2+2n n-1=0 (-1=0 (n nN N* *且且n n2).2). （1

44、1）求）求a a2 2、a a3 3的值；的值； （2 2）证明：数列）证明：数列 a an n+ +n n 是等比数列，并求是等比数列，并求 a an n 的通项的通项公式；公式； （3 3）求数列）求数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n. . （1 1）解解 a a1 1=3=3，a an n+ +a an n-1-1+2+2n n-1=0 -1=0 （n nN N* *且且 n n22），）， a a2 2=-=-a a1 1-4+1=-6,-4+1=-6,a a3 3=-=-a a2 2-6+1=1.-6+1=1.（2 2）证明证明 数列数列 a an n+ +n n

45、 是首项为是首项为a a1 1+1=4,+1=4,公比为公比为-1-1的等比数列，的等比数列，a an n+ +n n=4=4（-1-1）n n-1-1，即，即a an n=4=4(-1)(-1)n n-1-1- -n n, ,a an n 的通项公式是的通项公式是a an n=4=4(-1)(-1)n n-1-1- -n n ( (n nN N* *).).1) 12() 1(111nannananannnn),2( 11111nnanann（3 3）解解 a an n=4=4（-1-1）n n-1-1- -n n （n nN N* *），），S Sn n= =a a1 1+ +a a2 2+a an n= =4(-1)4(-1)0 0-1-1+ +4(-1)4(-1)1 1-2-2+ +4(-1)4(-1)2 2-3-3+4(-1)4(-1)n n-1-1- -n n=4=4(-1)(-1)0 0+(-1)+(-1)1 1+(-1)+(-1)2 2+(-1)+(-1)n n-1-1- -（1+2+3+1+2+3+n n）=2=21-(-1)1-(-1)n n- -.2) 1( nn11.11.已知数列已知数列 a an n 的各项均为正数，的