偏微分方程数值解法2014.11.05

1、偏微分方程数值解法（第四讲）2014年11月05日星期三1.1.一阶线性常系数双曲型方程组一阶线性常系数双曲型方程组考虑一阶线性常系数方程组考虑一阶线性常系数方程组其中其中 为常为常系系数矩阵。数矩阵。 ) 1 (00tRxxUAtUp,),(,),(),(),(21TptxutxutxutxUUppRA 定义：定义： 如果如果A A的特征值是实的，并存在非奇异矩阵的特征值是实的，并存在非奇异矩阵S S使得使得其中其中 为为A A的特征值，称（的特征值，称（1 1）为双曲型方程组，）为双曲型方程组，如果如果A A是对称阵，则称（是对称阵，则称（1 1）为对称双曲型方程组，如果）为对称双曲型方程

2、组，如果A A的特征的特征值是实的且互不相同，则称（值是实的且互不相同，则称（1 1）为严格双曲型方程组。）为严格双曲型方程组。给定初始条件给定初始条件 与（与（1 1）构成初值问题。）构成初值问题。, ,211pdiagASS, 2 , 1(pii)()0 ,(0 xUxU4.3 4.3 一阶双曲型方程的差分格式 常用求解该线性方程组的格式有常用求解该线性方程组的格式有a. 后退的后退的Euler方法方法 此格式不能用。此格式不能用。 b.LaxFriedrichs 格式格式c. 蛙跳格式蛙跳格式)(211111njnjnjnjUUAhUU)(2)(2111111njnjnjnjnjUUAh

3、UUU)2(2)(211222111njnjnjnjnjnjnjUUUAhUUAhUU4.3.1 Lax-Friedrichs4.3.1 Lax-Friedrichs格式2. 2. 二阶线性双曲型方程二阶线性双曲型方程 为推导简单起见，令为推导简单起见，令 令令因此我们有因此我们有 ).(), 1 (),(), 0(:),()0 ,(),()0 ,(:1021102tgtutgtuBCxuxuxuxuICxuautxxttxtuqup1axxxtttqupuxxtxttxxxtttpuuqquup)(4.3.1 Lax-Friedrichs4.3.1 Lax-Friedrichs格式 这里这里

4、A的特征值为的特征值为-1,1，因此这个方程组为双曲型方程组。，因此这个方程组为双曲型方程组。边界条件边界条件 所以所以 所以所以初始条件初始条件xtqpqp0110)(), 0(), 0(1tgtptut0110A)(), 0(1tgtu)(), 1 (2tgtu)(), 1 (), 1 (2tgtptut)()0 ,()0 ,()()0 ,()0 ,(010 xuxuxqxuxuxpx4.3.1 Lax-Friedrichs4.3.1 Lax-Friedrichs格式 也可直接求解：也可直接求解：截断误差为截断误差为 稳定性条件为稳定性条件为 )(22hO1a211221122huuuau

5、uunjnjnjnjnjnj3 二维问题二维问题求解的格式有：求解的格式有：a. 隐格式隐格式该截断误差为该截断误差为yxyxgyxutyxyubxuatu, ),()0 ,(0,0022111111111njmnjmnmjnmjnjmnjmuuhbuuhauu)(2hO令令 代入格式后可得，代入格式后可得， 格式是无条件稳定的。格式是无条件稳定的。b. Crank-Nicolsonb. Crank-Nicolson格式格式 该截断误差为该截断误差为 格式为无条件稳定。格式为无条件稳定。 1),(2kG)(21mhkjhkinnjmevvhkibhkiakG21sinsin11),(02221

6、22211111111111111huubhuuahuubhuuauunjmnjmnmjnmjnjmnjmnmjnmjnjmnjmhkbihkaihkbihkaikG2121sin2sin21sin2sin21),()(22hO1),(2kG用隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状。因此求解用隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状。因此求解不是特别便利。不是特别便利。c. Lax-Friedrichs c. Lax-Friedrichs 格式格式 显格式，条件稳定显格式，条件稳定 令令022)(41111111111huubhuuauuuuunjmnjmnmjnmj

7、nmjnmjnjmnjmnjm)(21mhkjhkinnjmevv),sinsin()cos(cos21),(2121hkbhkaihkhkkG注意到如果 ， 即 则格式稳定，若b=a,稳定性条件化为 2212221222221222122212)sinsin()cos(cos41)(21)sin(sin1)sinsin()cos(cos41),(hkbhkahkhkbahkhkhkbhkahkhkkG)(21)sin(sin1),(22222122bahkhkkG2222ba21)(222ba21ad.d.局部一维格式局部一维格式在在x x方向的差分把方向的差分把 推进到推进到在在y y方向

8、上的差分把方向上的差分把 推进到推进到其中其中 是关于是关于x x方向、方向、y y方向的差分算子，这样的二步法称为分数方向的差分算子，这样的二步法称为分数步长法，也称为局部一维格式步长法，也称为局部一维格式212211121njmnjmnjmnjmnjmnjmuDuuuDuunt21,DD2nt1nt2nt 格式1： 可改写为 这里， mjmjmjxuuu, 1, 10211111121121121)(2)(2njmnjmnjmnjmnjmnmjnmjnjmuuuhbuuuuhau2110210)21 ()21 (njmnjmxnjmnjmxuuauua1,1,0mjmjmjyuuu 为分析

9、截断误差，消去上述格式等价于 可得截断误差为 对应第一式的增长因子是 对应第二式的增长因子是 整体格式的增长因子为 格式为无条件稳定。 )sin1)(sin1 (1),(),(),(212211hkibhkiakGkGkG022100210101njmyxnjmynjmxnjmnjmuhabuhbuhauu)(22hhO21nuhkiakG111sin11),(hkiakG222sin11),( 格式2：Lax-Wendroff 这里，x方向定义的算子有 y方向定义的算子有mjmjjmxuuu, 1, 102122202112220212222njmyynjmynjmnjmnjmxxnjmxn

10、jmnjmuhbuhbuuuhauhauumjmjjmxuuu, 1mjmjjmxuuu, 1,1,1,0mjmjjmyuuumjmjjmyuuu,1,1,mjmjjmyuuu 格式2：Lax-Wendroff将第一式代入第二式可得等价式子：得到截断误差为 第一式当 时有第二式当第二式当 时有时有 由由 可得上述格式的稳定性条件为可得上述格式的稳定性条件为 njmyxyyxxyxnjmuabbabaIu21(21)(2002220012122202112220212222njmyynjmynjmnjmnjmxxnjmxnjmnjmuhbuhbuuuhauhauu)(222hhO),(),(),

11、(2211kGkGkG1a1),(11kG1b1),(22kG1a1be. Beam-Warming格式C-N 格式将C-N格式等价地写成或写成或写成0222122211111111111111huubhuuahuubhuuauunjmnjmnmjnmjnjmnjmnmjnmjnjmnjm0)(4)(410101njmnjmynjmnjmxnjmnjmuuhbuuhauunjmyxnjmyxubauba)41411 ()41411 (00100上式也可等价为上式也可等价为上式中最后一项是 的项，去掉后可得一个二阶格式由上可得由上可得ADIADI格式为格式为)(161)411)(411 ()411)(411 (100200100njmnjmxynjmyxnjmyxuuabubauba)(3O)()411)(411 ()411)(411 (00100njmyxnjmyxubaubajmnjmynjmyxjmxuububaua10000)411 ()411)(411 ()411 (增长因子，增长因子，该格式为二阶精度，无条件稳定。该格式为二阶精度，无条件稳定。另