第三章 连续时间信号与系统频域分析 (2)

1、 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n1.1.周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析n根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷(Dirichlet)条件的周期连续信号 都可表示为无限多个、频率为基频倍数的复正弦信号的加权和，若 其中， 为任何整数， 为周期， 为基频， 为相应的角频率，则 tf kTtftfkTTf11Tf2211 10101jntnntTjntntf tF eFf t edtT 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级傅里叶级数数n1.1.周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析n 用FS分析是对周期信号进行谐波分解

2、，即用谐波加权和来合成信号，因此，FS分析又称为谐波分析谐波分析。 nFS分析是一个正交级数展开分析正交级数展开分析。 1jntnnf tF e 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱n（1）采样序列 的FS和FT nTnTttTdtemTtTFTtttjnmn11001 111111nntjnnTneTnTtt（1）采样序列的FS和FT 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱n（2）周期信号的FT离散谱 00100,0,f ttttTfttttT 1

3、111nnTnf tftnTfttnTfttnTftt 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱n（2）周期信号的FT离散谱n周期信号的频谱是离散离散的，并且在 的谱线强度为 n给出了利用利用FTFT计算计算FSFS系数的方法系数的方法 1111111nnf tFnF nn 12nnf tFn 111nFTFn1n1112nFFn 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱n（2）周期信号的FT离散谱n对实周期信号实周期信号有 ，于是有正余弦分量正余弦分量形

4、式形式的FS展开式 11001110111coscossinjntjntnnnnnnnnnf tFF eF eccntaantbntnnFF 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱n（2）周期信号的FT离散谱n两种展开形式的系数之间的关系是n通过谐波分析，周期信号可表示为无限多个、频无限多个、频率为基频倍数、幅度为率为基频倍数、幅度为 、相位为、相位为 的余弦的余弦信号之和信号之和。 000Im,2,arctanRennnnnnnnnnnFacF cFFaFFbj FF，2nFn 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分

5、析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（1）周期信号的FS分析步骤n步步1.1. 截取与周期信号 相应的非周期信号 ，并计算其FT表示式 ；n步步2.2. 计算周期信号 的 后，得其指数形式的FS展开式，并计算其离散谱，画出其离散幅度谱和离散相位谱；n步步3.3. 计算周期信号 的谐波形式或正余弦形式的FS展开式。 tf tf1 1F tfnF tf 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的FS分析n例3-17：周期矩形脉冲信号n以幅度为E的窗函数 为基周期、占空比 的周期矩形脉冲信号 EGt1T 12FE

6、 Sa12nnEEnFSaSaTTT 1111 2cosjn tnnEnEnftSaeSan tTTTT矩形周期矩形脉冲信号的FS和FT 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的FS分析n例3-17：周期矩形脉冲信号n特殊的，当占空比 时， 为方波信号n方波信号只有直流分量和奇次余弦分量只有直流分量和奇次余弦分量，并且谐波幅度呈倒数衰减规律波幅度呈倒数衰减规律12T 11111,2121220,212cos21221mnmmEnmEnFSamnmEEftmtm方波 tf 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶

7、级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的FS分析n例3-18：三角脉冲信号n以三角窗函数 为基周期的周期三角脉冲信号 1TEBt 211124ETTFSa211112221242,2121220,2nETnTFSaTEnmEnmSanm例3-18：三角脉冲信号n三角脉冲信号只有直流分量直流分量和奇奇次余弦分量次余弦分量n谐波幅度呈平方倒数衰减规律平方倒数衰减规律，即比方波的衰减规律要快比方波的衰减规律要快 212141cos21221nEEftmtm三角 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的F

8、S分析n例3-19：锯齿脉冲信号n以锯齿波窗函数 为基周期的周期锯齿脉冲信号 11TEtGtT 1111111222cos22TTTEEftGtttTTTESaE111cos22TTEFSaj例3-19：锯齿脉冲信号n锯齿脉冲信号只有正弦分量正弦分量n谐波幅度呈倒数衰减规律倒数衰减规律，与方波的衰减规律相同 1111sinnnEftntn锯齿1110,01cos1,02nnnEFSa nnETjnnj n 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的FS分析n例3-20：半波余弦脉冲信号n以半波余弦窗函数 为基周期的周期半波

9、余弦脉冲信号 112cosTEt Gt 1cosftt ft半波方波例3-20：半波余弦脉冲信号n半波余弦脉冲信号只有直流分量、基直流分量、基波余弦分量和偶次余弦分量波余弦分量和偶次余弦分量n谐波幅度呈倒数平方衰减规律倒数平方衰减规律 11111111211coscos 21cos 222112coscos 2241mmmmEEfttmtmtmEEEtmtm半波 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的FS分析n例3-21：全波余弦脉冲信号n以全波余弦窗函数 为基周期的周期全波余弦脉冲信号 112cosTEt Gt 12

10、cosftftEt全波半波例3-21：全波余弦脉冲信号n全波余弦脉冲信号只有直流分量和偶直流分量和偶次余弦分量次余弦分量，这些分量的幅度都是半幅度都是半波的两倍波的两倍，并且半波中存在的基波分半波中存在的基波分量已不复存在量已不复存在。这是因为全波信号的全波信号的实际周期已减为半波的一半实际周期已减为半波的一半。 1121cos 221141mmm tEftm全波 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n3.典型周期信号的FS分析n（2）典型周期信号的FS分析n例3-22：导通角 的余弦脉冲波 n幅度为E、导通角为 的余弦窗函数是： 其中， ，即 以它为基周期的周期脉

11、冲波是高频丙类功率放大以它为基周期的周期脉冲波是高频丙类功率放大电路中使用的输出电流波形电路中使用的输出电流波形 1coscosEtGt 1coscosfttft矩形22cos2cos1T例3-22：导通角2余弦脉冲波 1111121coscos12cossincossincoscoscos sinsincos2cos1mmftEtSa mmttEmmmmtm m 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n4.对称性与FS系数的关系n当实信号实信号 满足某对称性时，其FS展开式中的有些项就不会出现，致使展开式相对简单。信号对称性分为对整周期而言的偶函数偶函数和奇函数奇函

12、数，以及对半周期而言的奇谐函数奇谐函数和偶谐函数偶谐函数。n当周期信号 为实偶函数实偶函数时，其频谱为实偶函频谱为实偶函数数，因此 ，使得 ，因此FS展开式中无正弦项无正弦项。这是很容易理解的，因为实偶信号中不可能含有具有奇对称性的正弦分量不可能含有具有奇对称性的正弦分量。 tf tfnnFF实数0nb 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n4.对称性与FS系数的关系n周期信号 为实奇函数实奇函数时，其频谱为虚奇函数虚奇函数，因此 ，使得 ，因此FS展开式中无直流项无直流项，也无余弦项无余弦项。因为实奇信号中不可能不可能含有具有偶对称性的直流和余弦分量含有具有偶对称

13、性的直流和余弦分量。n例如，周期矩形波、周期三角脉冲信号、半波余弦脉冲信号、全波余弦脉冲信号和导通角为 的余弦脉冲波都是偶对称，它们都只含有直流分量和余弦分量，而锯齿脉冲信号奇对称，它只含有正弦分量。 tfnnFF 虚数0na 2 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数n4.对称性与FS系数的关系n周期信号 满足 时， 使得 ，这样 ，从而有 ，这意味着，周期信号 无直流分量无直流分量和偶次谐波分量，仅含有奇次谐波分量和偶次谐波分量，仅含有奇次谐波分量。因此，把它称为奇谐信号奇谐信号。n周期信号 满足 时， 使得 ，这样 ，从而有 ，这意味着，周期信号 无奇次谐波无奇次谐波分量，仅含有偶次谐波分量分量，仅含有偶次谐波分量。因此，我们把它称为偶谐信号偶谐信号。 tf 2Tf tft 112Tftft 211TjFFe jnnnFF e 20mF tf tf 2Tf tft 112Tftft 211TjFFejnnnFF e