离散时间信号与系统频域分析

1、第六章第六章 离散时间信号与系统的频域分析离散时间信号与系统的频域分析 本章内容本章内容 6.1 z6.1 z变换的定义变换的定义 6.2 z6.2 z变换的基本性质变换的基本性质 6.3 z6.3 z反变换反变换 6.4 z6.4 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 6.5 6.5 离散时间系统的离散时间系统的z z变换分析法变换分析法 1.1. Z Z变换定义及其收敛域变换定义及其收敛域（1 1）变换域的基本概念）变换域的基本概念 离散时间信号与系统的常用分析方法离散时间信号与系统的常用分析方法 时域分析法：时域分析法： 系统与信号系统与信号不需任何变换而在时域直接分析、运

2、算。不需任何变换而在时域直接分析、运算。 变换域分析法：变换域分析法： 通过变换，建立时域与其频谱间的内在联系，利用通过变换，建立时域与其频谱间的内在联系，利用 频谱分析的观点方法对系统与信号进行分析和运算。频谱分析的观点方法对系统与信号进行分析和运算。6.1 z z变换的定义变换的定义 变换域分析法：变换域分析法： 频域分析法：离散时间的傅立叶变换频域分析法：离散时间的傅立叶变换 （4 4种情形）种情形） 频域分析法：频域分析法：z z变换变换 （连续时间：拉氏变换）（连续时间：拉氏变换） 变换域分析法的优点变换域分析法的优点 可使信号与系统的分析、运算变得简便。可使信号与系统的分析、运算变

3、得简便。 例：卷积和计算例：卷积和计算 y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(n)h(n) Y(z)=X(z)H(z) Y(z)=X(z)H(z)6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续）利用变换域分析法求解利用变换域分析法求解LTILTI系统输出的思路系统输出的思路 复复频域频域 z z变换变换 LTILTI系统系统信号信号时域解时域解系统函数系统函数信号信号z变换变换z变换解变换解时域：时域：复频域：复频域： z z反变换反变换h(n)h(n)y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(n)h(n)Y(z)=X(z)H(z)Y(z)=X(z)H(z)H(Z)H(Z)X(Z)X(Z)x(n

4、)x(n)6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续）（2 2）Z Z变换定义变换定义 （ Z Z变换通常表达式：变换通常表达式： X(z)=Zx(n) X(z)=Zx(n) ） 通常通常z z变换为一有理分式，它可由分式多项式表示变换为一有理分式，它可由分式多项式表示: :nnz ) n( x) z (X为为复复变变量量 r re ez z 其其中中：j jQ(z)Q(z)P(z)P(z)X(z)X(z)分子多项式的根是分子多项式的根是x(z)x(z)的零点的零点分母多项式的根是分母多项式的根是x(z)x(z)的极点的极点（r:r:矢径，矢径，：复角）：复角）6.1 z z变换的定义变换的

5、定义（续）（续）（3 3）Z Z变换收敛域（定义变换收敛域（定义） 求序列的求序列的z z变换时需变换时需 同时求出其收敛域。同时求出其收敛域。 |z )n(x|nnxxR| z |Rj jr re ez z6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） 1 1）序列特性对其收敛域的影响）序列特性对其收敛域的影响 右边序列右边序列 z z变换收敛域变换收敛域 左边序列左边序列 z z变换收敛域变换收敛域 双边序列双边序列 z z变换收敛域变换收敛域| zRx n1n2nnxRz|0nxxRzR|若若n n2 200，则，则 0 0|z|R|z|Rx+x+若若n n1 10 0，则，则 R Rx

6、-x- R Rx x+ + , ,则不收敛则不收敛6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） 2 2）有限长序列的）有限长序列的z z变换收敛域变换收敛域 有限长序列有限长序列 n n1 1nnnn2 2 z z变换收敛域变换收敛域 （三种情形三种情形） 有限长左序列：有限长左序列： n n1 10, n0 0 z z变换收敛域：变换收敛域： 有限长双边序列：有限长双边序列：n n1 1 0, n0 0 z z变换收敛域：变换收敛域： 因果序列是一种右边序列，其因果序列是一种右边序列，其z z变换收敛域变换收敛域包括无穷大包括无穷大|0z|0z|0z6.1 z z变换的定义变换的定义（续）

7、（续） 3 3）Z Z变换收敛域情形的图解变换收敛域情形的图解 （1 1）（2 2） （3 3）（4 4） 收敛域与序列的相互关系收敛域与序列的相互关系： 因果序列因果序列 右边序列右边序列 ( ( 且且n n1 100） 非因果序列非因果序列 左边序列左边序列 4 4）收敛域的求法：）收敛域的求法： 由收敛域定义求出由收敛域定义求出z z变换的收敛域变换的收敛域 6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） 例例6-16-1 求序列求序列 x(n)=ax(n)=an nu(n ) u(n ) 的的z z变换。变换。 解解 由由z z变换定义式知变换定义式知： 其收敛域为：其收敛域为： |z

8、|a|z|a| 由右边序列特性及由右边序列特性及z z变换极点也可知收敛域为：变换极点也可知收敛域为：|z|a| |z|a| 1 10 0n nn n1 1n nn nn na az z1 11 1) )( (a az z z z a aX X( (z z) )n(u|az|az-1-1|1|1时时6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） 求序列求序列 x(n)= -ax(n)= -an nu(-n-1 ) u(-n-1 ) 的的z z变换。变换。 解解 由由z z变换定义式知变换定义式知, , ,有：有： 其收敛域为：其收敛域为： |z|a|z|a| 由左边序列特性及由左边序列特性及z

9、 z变换极点也可知收敛域为：变换极点也可知收敛域为：|z|a| |z|a| 11011n111nx- - -n nn n- -n nn n- -n nn nn nn nn na az z1 11 1z za a1 11 1z z) )( (a az za az za az z ) )( (X X( (z z) )|a|a-1-1z|1z|a| u(n) |z|a| x(n)=-a x(n)=-an nu(-n-1) |z|a| u(-n-1) |z|a| 由上看出，序列不同由上看出，序列不同, ,其其z z变换可能相同，但其收敛域不同。变换可能相同，但其收敛域不同。1az11)z(X收敛域：收

10、敛域：z变换：变换：6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） a an n （n n00） a an nu(n) u(n) -b -bn n （n-1n-1） -b-bn nu(-n-1) u(-n-1) 解解 由于由于 x(n)= ax(n)= an nu(n)u(n)- b- bn nu(-n-1)u(-n-1) 收敛域：收敛域： |a|z|b|a|z|b| 例例6-26-2 求双边序列的求双边序列的z z变换及收敛域变换及收敛域（ |a| |b| |a| |b| 时，有公共收敛域，否则不收敛。）时，有公共收敛域，否则不收敛。）X(n)=X(n)=)bz)(az()ba2z(zbz1

11、1az11)z(X11z变换：变换：6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续）结论结论X(z)X(z)的极的极点相同时点相同时其收敛域其收敛域可能不同可能不同所对应的所对应的序列亦不序列亦不相同相同相同极点时的几种收敛域情形相同极点时的几种收敛域情形（3个极点）个极点） 2.2.常用常用z z变换变换 单位冲激序列单位冲激序列(n):(n): 指数序列指数序列a an nu(n):u(n): 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n):u(n):6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） 6.1 z z变换的定义变换的定义（续）（续） 设：设： x(n)x(n)的的z z变换为：变换为：x(z)

12、=Zx(n) x(z)=Zx(n) y(n) y(n)的的z z变换为：变换为：y(z)=Zy(n)y(z)=Zy(n) 1 1）线性：）线性：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) 其收敛域为两者的公共部分其收敛域为两者的公共部分 若有零极点对消，则收敛域扩大。若有零极点对消，则收敛域扩大。）（xxRzR|）（yy|RzR6.2 z z变换的基本性质变换的基本性质 2 2）序列移位：）序列移位： Zx(nZx(nm)=zm)=zm m X(z) X(z) 若若x(n)x(n)为双边序列：移位后收敛域不变为双边序列：移位后收敛域不变 若

13、若x(n)x(n)为单边（或有限长双边）序列：为单边（或有限长双边）序列： 可能会在可能会在 z=0 z=0 或或 z=z= 不收敛不收敛 3 3）乘以指数序列（）乘以指数序列（z z域尺度变换）域尺度变换） ZaZan nx(n)=X(ax(n)=X(a-1-1z) z) （收敛域（收敛域: |a|R: |a|Rx-x-|z| |a|R|z| |a|Rx+x+ ）6.2 z z变换的基本性质变换的基本性质（续）（续） 5) 5) 反折序列反折序列 Zx(-n) = X(1/z) Zx(-n) = X(1/z) 6) 6) 初值定理初值定理 若若x(n)x(n)为因果序列为因果序列 x(n)=

14、0 x(n)=0，n n 0 0 ， 则：则：)0(x)z(Xlimz）（xxR1|z|R16.2 z z变换的基本性质变换的基本性质（续）（续） 7)7)序列卷积和（时域卷积和定理）序列卷积和（时域卷积和定理）6.2 z z变换的基本性质变换的基本性质（续）（续） 6.2 z z变换的基本性质变换的基本性质（续）（续）其他性质：其他性质： 终值定理终值定理 序列的线性加权序列的线性加权 有限项累加特性有限项累加特性 复卷积定理复卷积定理 帕塞瓦定理帕塞瓦定理 . .6.2 z z变换的基本性质变换的基本性质（续）（续） 1. 1. z z反变换反变换 根据根据z z变换及其收敛域还原其序列变

15、换及其收敛域还原其序列( ( c c为为X(z)X(z)收敛域内的一条逆时针闭合曲线收敛域内的一条逆时针闭合曲线 ) )6.3 z z反反变换变换 根据复变函数理论，根据复变函数理论，X(z)X(z)在解析的环状区域内可展成在解析的环状区域内可展成 罗朗级数罗朗级数 其罗朗级数系数即为其罗朗级数系数即为z z反变换反变换x(n)x(n) （可由柯西积分定理证明）可由柯西积分定理证明） z z反变换通式：反变换通式： x(n) =Zx(n) =Z-1-1X(z)X(z)6.3 z z反变换反变换（续）（续） 2. 2. 求解求解z z反变换的三种常用方法反变换的三种常用方法 留数法（围线积分法）

16、留数法（围线积分法） 部分分式展开法部分分式展开法 幂级数展开法幂级数展开法（长除法）（长除法） 6.3 z z反变换反变换（续）（续） * *留数法（围线积分法）留数法（围线积分法） 根据留数定理，若根据留数定理，若X(z)zX(z)zn-1n-1在围线在围线c c内有内有K K个极点个极点z zk ， 则：则：（即：（即： Z Z反变换反变换x(n)x(n)为围线为围线c c内所有极点留数之和内所有极点留数之和 ） X(n) X(n) 6.3 z z反变换反变换（续）（续）6.3 z z反变换反变换（续）（续） 留数求解：留数求解： z=zz=zr rz=zz=zr rz=zz=zr rz

17、=zz=zr r 留数辅助定理：留数辅助定理： 若围线内、外分别存在若围线内、外分别存在K K和和M M个极点，则存在个极点，则存在 下述关系：下述关系： 应用围线外留数时的条件：应用围线外留数时的条件： 被积函数的分母多项式阶被积函数的分母多项式阶数较分子多项式高数较分子多项式高2 2阶以上阶以上z=zz=zm mz=zz=zk k6.3 z z反变换反变换（续）（续） 收敛域：收敛域： 1/4|z|41/4|z|4 解解 z z反变换反变换x(n)x(n)为：为： 例例 用留数法求用留数法求z z反变换反变换x(n)x(n)41z)(z4(z)z(X26.3 z z反变换反变换（续）（续）

18、 分析被积函数在闭环围线分析被积函数在闭环围线c内外的极点、零点情况。内外的极点、零点情况。 分析分析： n+1n+1 0,0, 即即 n-1n-1时，时，极点极点：z=1/4, z=4z=1/4, z=4 n+1n+1 R|z|Rx-x- 时（右序列），时（右序列），X(z)X(z)展成展成z z的的降幂级数降幂级数 X(z) = x(n)zX(z) = x(n)zn n + x(n-1)z+ x(n-1)zn-1 n-1 + x(n-2)z+ x(n-2)zn-2 n-2 + + 收敛域收敛域 |z|R|z| 3|z| 3 解解 由收敛域判定由收敛域判定x(n)x(n)为右边序列为右边序列

19、 （ |z| 3 |z| 3 ） 将原式按将原式按z z的降幂排列的降幂排列: : 例例6-4 6-4 用幂级数法求用幂级数法求z z反变换反变换x(n)x(n)21-13z13z)z(X）（6.3 z z反反变换变换（续）（续） 进行多项式长除进行多项式长除 6.3 z z反反变换变换（续）（续） 归纳出幂系数通式归纳出幂系数通式 由此得：由此得：6.3 z z反反变换变换（续）（续） 1. 1. 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z z变换定义式的比较：变换定义式的比较： z=ez=esTsT 时时抽样序列的抽样序列的z z变换变换就等于就等于理想采样信号的拉普拉斯变换理想采样信号的拉普拉斯变换

20、。6.4 z z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯变换Z Z变换变换抽样抽样f(n)=f(nTf(n)=f(nT）映射映射z=ez=esTsTsTez| ) z(F) s (F 2. 2. 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z z变换的数式关系：变换的数式关系： 复平面：复平面： z z平面平面 s s平面平面 坐标系：坐标系： 映射关系：映射关系：TerT模与实部对应模与实部对应相角与虚部对应相角与虚部对应jsjrez （极坐标）（极坐标）（直角坐标）（直角坐标） sTez j j) )T T( (e ez zjrez 6.4 z z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系（续）（续） 3. 3. 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z z变换的映射关系图变