全概率习题-文档资料

1、AABAB AB( )()P BP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A全概率公式全概率公式解解 因为 AB ，且与互不相容，所以AB()()()P BP ABP AB()()()()PA P B APA P B A6546109109 0.6 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率的概率例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球 B=B=第二次取到白球第二次取到白球 甲箱中有甲箱中有3个白球，个白球，2个黑球，乙箱中

2、有个黑球，乙箱中有1个白个白球，球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？出白球的概率是多少？答案：8/25)(,51)|(,41)|(,31)(APBAPBAPBPAB试试求求是是两两随随机机事事件件，已已知知设设答案：23/30 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件时合格品的概率。答案：0.97333BA1一等A2二等A3三

3、等A4四等任选一颗种子所结的穗含有任选一颗种子所结的穗含有5050粒以上麦粒粒以上麦粒例例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上颗以上麦粒的概率分别为麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子，求这批种子所结的穗含有所结的穗含有50颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率 答案：0.4825 例例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各

4、车间的产量分别占全厂产量的一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次，而且各车间的次品率依次为为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率 次品（B）甲（A1）乙（A2）丙（A3）)()()()()()()(1111iiABPAPABPAPBPBAPBAP 例例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%

5、，而且各车间的次品率依次为，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率是由甲车间生产的概率解解 设设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品间生产，表示产品为次品 显然，显然，1 ，2 ，3 构成完备事件组依题意，有构成完备事件组依题意，有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) )AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P3322

6、11110.25 0.050.25 0.050.35 0.040.4 0.020.362 已知在所有男子中有已知在所有男子中有5%，在所有女子中有，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。女子的人数相等）。解：设解：设A=“男子男子”，B =“女子女子” C=“患有色盲患有色盲”答案：20/21讨论讨论 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验，患者对一种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反，

7、正常人对这种试验反应是阳性的概率为应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. C设设A=试验结果是阳性试验结果是阳性，C C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症,求求 P(C|A).已知已知 P(C)=0.005,P( C)=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C )=0.04现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPC

8、APCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？已知已知 P(C)=0.005,P( C)=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C )=0.04求求 P(C|A). 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从

9、0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医，此时医生常要通过再试验来确认生常要通过再试验来确认. njjj

10、iiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别称为原因的原因的先验概率先验概率和和后验概率后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不是在没有进一步信息（不知道事件知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸发生），人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从

11、数量上刻划了这种变化 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后, 这个估计这个估计就有了变化就有了变化.P(A1 | B)知道知道B发生后发生后P(A2 | B) P(A3 | B)最大最大偏小偏小全概率公式全概率公式Bayes公式公式条件概率条件概率乘法公式乘法公式孩子与狼思考题： 有个放羊的孩子，每天带着羊群上山，晚上赶着羊群回来。他觉得挺无聊，想玩个把戏作弄作弄人。 这天早上，他又赶着羊群上山。到了中午，他放开咽喉大喊：“狼来啦！”山下的人一听，慌慌