2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1

1、2.4.22.4.2抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质课标要求课标要求: :1.1.掌握抛物线的简单几何性质掌握抛物线的简单几何性质, ,并能应用性质解题并能应用性质解题.2.2.理解直线与理解直线与抛物线的位置关系抛物线的位置关系. . 自主学习自主学习知识探究知识探究1.1.抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的简单几何性质的简单几何性质(1)(1)范围范围由由p0p0和方程和方程y y2 2=2px=2px可知可知, ,对于抛物线对于抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的点上的点M(x,y),x0,M(x,y),x0,所以所以这条抛物线在这条抛物

2、线在y y轴的右侧轴的右侧, ,开口方向与开口方向与x x轴正向相同轴正向相同; ;当当x x的值增大时的值增大时,|y|,|y|也增也增大大, ,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. .(2)(2)对称性对称性以以-y-y代替代替y,y,方程方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)不变不变, ,所以这条抛物线关于所以这条抛物线关于x x轴对称轴对称. .我们把抛我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴物线的对称轴叫做抛物线的轴. .(3)(3)顶点顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. .在方程在方程y y2 2

3、=2px(p0)=2px(p0)中中, ,当当y=0y=0时时,x=0,x=0,因此抛物线因此抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的顶点就是坐标原点的顶点就是坐标原点. .(4)(4)离心率离心率抛物线上的点抛物线上的点M M到焦点的距离和它到准线的距离之比到焦点的距离和它到准线的距离之比, ,叫做抛物线的离心率叫做抛物线的离心率, ,用用e e表示表示. .由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知,e=1.,e=1.3.3.直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系直线与抛物线有三种位置关系: :相离、相切、相交相离、相切、相交. .(1)(1)直线的斜

4、率存在时直线的斜率存在时, ,设直线设直线y=kx+my=kx+m与抛物线与抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)相交于相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点两点, ,将将y=kx+my=kx+m代入代入y y2 2=2px,=2px,消去消去y y并化简并化简, ,得得k k2 2x x2 2+2(mk-p)x+m+2(mk-p)x+m2 2=0.=0.当当k=0k=0时时, ,直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合, ,直线与抛物线只有一个公直线与抛物线只有一个公 共点共点. .当当k0k0

5、时时, ,判别式判别式00直线与抛物线相交直线与抛物线相交, ,有两个公共点有两个公共点; ;判别式判别式=0=0直线与抛直线与抛物线相切物线相切, ,有且只有一个公共点有且只有一个公共点; ;判别式判别式00).=2px(p0).显然显然, ,当当m0m0m0时时, ,直线与抛物直线与抛物线相交线相交, ,有两个交点有两个交点. .(2)(2)通径在反映抛物线开口大小上的作用通径在反映抛物线开口大小上的作用线段线段ABAB叫做抛物线的通径叫做抛物线的通径, ,长度为长度为2p,2p,这是常数这是常数2p2p的又一几何意义的又一几何意义, ,所以所以p p越越大大, ,通径越大通径越大, ,即

6、抛物线的开口越大即抛物线的开口越大; ;反之反之,p,p越小越小, ,通径越小通径越小, ,即抛物线的开口即抛物线的开口越小越小. .通径是所有焦点弦中最短的弦通径是所有焦点弦中最短的弦. .自我检测自我检测1.1.设抛物线的顶点在原点设抛物线的顶点在原点, ,准线方程为准线方程为x=-2,x=-2,则抛物线的方程是则抛物线的方程是( ( ) )(A)y(A)y2 2=-8x=-8x(B)y(B)y2 2=8x=8x(C)y(C)y2 2=-4x=-4x(D)y(D)y2 2=4x=4xB BB B3.3.已知直线已知直线y=kx-ky=kx-k及抛物线及抛物线y y2 2=2px(p0),=

7、2px(p0),则则( ( ) )(A)(A)直线与抛物线有一个公共点直线与抛物线有一个公共点 (B)(B)直线与抛物线有两个公共点直线与抛物线有两个公共点(C)(C)直线与抛物线有一个或两个公共点直线与抛物线有一个或两个公共点 (D)(D)直线与抛物线可能没有公共点直线与抛物线可能没有公共点C C4.4.过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点作直线交抛物线于的焦点作直线交抛物线于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点两点, ,若若x x1 1+x+x2 2 =6,=6,则则|AB|=|AB|=. . 答案答案: :8 85.5.过抛物线过抛

8、物线y y2 2=4x=4x的顶点的顶点O O作互相垂直的两弦作互相垂直的两弦OM,ON,OM,ON,则则M M的横坐标的横坐标x x1 1与与N N的横的横坐标坐标x x2 2之积为之积为. . 答案答案: :1616题型一题型一抛物线简单几何性质的应用抛物线简单几何性质的应用 课堂探究课堂探究【例例1 1】 已知抛物线已知抛物线y y2 2=8x,=8x,(1)(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x x的范围的范围; ;解解: :(1)(1)抛物线抛物线y y2 2=8x=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量的顶点、焦点、准线、对称

9、轴、变量x x的范围分别为的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x(0,0),(2,0),x=-2,x轴轴,x0.,x0.(2)(2)以坐标原点以坐标原点O O为顶点为顶点, ,作抛物线的内接等腰三角形作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,OAB,|OA|=|OB|,若焦点若焦点F F是是OABOAB的重心的重心, ,求求OABOAB的周长的周长. .易错警示易错警示 抛物线的几何性质抛物线的几何性质( (对称性、范围等对称性、范围等) )在解决抛物线问题时在解决抛物线问题时, ,有有着广泛的应用着广泛的应用, ,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件但在解题过程中又容易忽

10、视这些隐含条件, ,如抛物线的对如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等称性、准线与对称轴垂直等, ,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件. .(2)(2)已知抛物线已知抛物线C C的顶点在原点的顶点在原点, ,焦点焦点F F在在x x轴正半轴上轴正半轴上, ,设设A,BA,B是抛物线是抛物线C C上的两个动点上的两个动点(AB(AB不垂直于不垂直于x x轴轴),),且且|AF|+|BF|=8,|AF|+|BF|=8,线段线段ABAB的垂直平分线恒经过定点的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),Q(6,0),求此抛物求此抛物线方程线方程. .题型二题型二直线与抛

11、物线的位置关系直线与抛物线的位置关系【例例2 2】 已知直线已知直线l:y=k(x+1)l:y=k(x+1)与抛物线与抛物线C:yC:y2 2=4x.=4x.问问:k:k为何值时为何值时, ,直线直线l l与抛与抛物线物线C C有两个交点有两个交点, ,一个交点一个交点, ,无交点无交点? ?若直线与抛物线有一个交点若直线与抛物线有一个交点, ,则则k k2 2=0=0或或k k2 200时时,=0.,=0.解得解得k=0k=0或或k=k=1.1.所以当所以当k=0k=0或或k=k=1 1时时, ,直线直线l l和抛物线和抛物线C C有一个交点有一个交点. .若直线与抛物线无交点若直线与抛物线

12、无交点, ,则则k k2 200且且0.1k1或或k-1.k1k1或或k-1k-1时时, ,直线直线l l和抛物线和抛物线C C无交点无交点. .题后反思题后反思 研究直线和抛物线的位置关系时研究直线和抛物线的位置关系时, ,由于消元后所得的方程中含由于消元后所得的方程中含参数参数, ,因此要注意分二次项系数为因此要注意分二次项系数为0 0和不为和不为0 0两种情况讨论两种情况讨论. .(2)(2)过点过点(-3,2)(-3,2)的直线与抛物线的直线与抛物线y y2 2=4x=4x只有一个公共点只有一个公共点, ,求此直线方程求此直线方程. .抛物线的焦点弦问题抛物线的焦点弦问题题型三题型三【

13、例例3 3】 已知直线已知直线l l经过抛物线经过抛物线y y2 2=6x=6x的焦点的焦点F,F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,BA,B两点两点. .若直线若直线l l的倾斜角为的倾斜角为6060, ,求求|AB|AB|的值的值. .变式探究变式探究: :若本例中若本例中“直线直线l l的倾斜角为的倾斜角为6060”改为改为“|AB|=9|AB|=9”, ,求线段求线段ABAB的中的中点点M M到准线的距离到准线的距离. .方法技巧方法技巧 求圆锥曲线的弦长时求圆锥曲线的弦长时, ,为简化计算常常借助根与系数的关系为简化计算常常借助根与系数的关系, ,这样可以避免分别求这样可以避免分别求x x1 1,x,x2 2( (或或y y1 1,y,y2 2) )的麻烦的麻烦, ,如果是利用弦长求参数的问如果是利用弦长求参数的问题题, ,只需要列出参数的方程或不等式即可求解只需要列出参数的方程或不等式即可求解, ,而而x x1 1,x,x2 2( (或或y y1 1,y,y2 2) )一般是求一般是求不出来的不出来的. .(3)(3)以以ABAB为直径的圆与抛物线的准线相切为直径的圆与抛物线的准线