空间曲面及其方程多元函数

1、返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 1 高等数学多媒体课件 华南农业大学理学院数学系 牛顿（牛顿（Newton） 莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz ） 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 2 第六章第六章 多元函数微积分多元函数微积分 第一部分 空间解析几何 第二部分 多元函数微分学 第三部分 二重积分 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 3 主主 要要 内内 容容 第一节 空间曲面及其方程 多元函数 第二节 偏导数 全微分 第三节 复合函数和隐函数的偏导数 第四节 二元函数的极值 第五节 二重积分 第六节 二重积分的应用 第七节 经济应用 返回 上

2、页 下页 目录 2019年3月9日星期六 4 第一节 空间曲面及其方程 多元函数 第六章 四、多元函数 一、空间直角坐标系 二、空间曲面与方程的概念 三、常见的空间曲面及其方程 五、二元函数的极限与连续性 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 5 x y z 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按 右手规则 组成一个空间直角坐标系 . ? 坐标原点 ? 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , o ? 坐标面 ? 卦限(八个) 面xoy 面yoz 1. 空间直角坐标系的基本概念 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六

3、6 x y z o 向径 ? ? 11 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 ? ? 11 ) 0 ,(yxA ),(zoxC (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; r M 在直角坐标系下 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 7 坐标轴 : 坐标面 : x y z o 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 8 2. 空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离 设 11112222 ( ,),(,)M x y zMx y z为空间的两点，记 12 ,M M的距离为 12 M M， 222

4、2 1212 dM MM NNM? 222 12 222 212121 ()()() . MPPNNM xxyyzz ? ? 于是空间两点间的距离公式为： 222 212121 ()()()?dxxyyzz 特别地 222 ?dxyz 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 9 证: ? 21M M? 2 )47 ( ? 2 )3 1 ( ? ? 2 ) 12 ( ? ? 14? ? 32 MM 2 )75 ( ? 2 ) 12 ( ? ? 2 )23 ( ? ?6? ? 31M M 2 )45 ( ? 2 ) 32 ( ? ? 2 ) 13 ( ? ? 6? 3132 MMMM?

5、即 321 MMM? 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 例1 求证以以 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 10 3 、向量及其运算、向量及其运算 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 1 M 2 M 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量 . 起点为原点的向量 . 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M 1 M2 , 或 a , 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 11 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,

6、则称 a 与 b 相等, 记作 ab ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上 , 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作a ; 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 12 (1) 向量的加法向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . abba? cba?)()(cba?cba? c b a ? c b? )(cb

7、a? b a ? b a ? 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 13 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 14 三角不等式 a (2) 向量的减法向量的减法 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 15 ? 是一个数 , 规定 : ;1aa ? ? 可见 ;1aa ? ? ? 与 a 的乘积是一个新向量 , 记作 总之: 运算律 : 结合律 )(a ? ?)(a ? ?a ? ? 分配律 )(ba ? ? ?ba ? ? ? ? ? ? a则有单位向量因此 (3) 数与向量的乘积数与向量的乘积 返回 上页 下页 目

8、录 2019年3月9日星期六 16 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ? 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 ,0?故.?即 ab 设 ab 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b? a , 0)(?a? ?b? .ab?故 定理定理1 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 17 “ ” 则 例例1 设 M 为 M B A C D解解: ABCD 对角线的交点, b a ACMA2 ? BDMB2? 已知 b? a , b0 a , b 同向 a , b 反向 ab .,MDMCMBMAba表示与

9、试用 ? ? b a ? ? a b )( 2 1 baMA?)( 2 1 abMB? )( 2 1 baMC?)( 2 1 abMD? 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 18 在空间直角坐标系下 , 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的 分向量. x o y z M N B C A ,轴上的单位向量分别表示以zyxkji ? 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , r ? 任意向量 r 可用向径 OM 表示. NMONOM?OCOBOA? (4) 向量的坐标表示向量的坐标表示 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 19 (5)利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向

10、量的线性运算 设 ),( zyx aaa a ? ? , ),( zyx bbb b ? ? 则 ? ? b a ? ? ),( zzyyxx bababa? ?a ? ? ),( zyx aaa? ,0 时当 ? ? ?axx ab? yy ab? zz ab? ? x x a b ? y y a b z z a b 平行向量对应坐标成比例 : ，为实数? 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 20 在AB直线上求一点 M , 使 解解: 设 M 的坐标为 如图所示 A B M o ?1 1 M A B 及实数 得 ?1 1 ),( 212121 zzyyxx? 即 AMMB?

11、?AMOAOM ? ?MBOMOB? AOOM ?)(OMOB? ?OM?OBOA?( 例例3 已知两点 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 21 得定比分点公式: , 1 21 ? ? ? ?xx , 1 21 ? ? ? ?yy ? ? ? ? 1 21 zz ,1时当?点 M 为 AB 的中点 , 于是得 , 2 21 x x ? , 2 21 y y ? 2 21 z z ? A B M o M A B ?1 1 ),( 212121 zzyyxx? 中点公式: 说明: 由 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 22 内容小结 2. 向量的概念及其线性运算 1

12、. 空间直角坐标系 3. 利用坐标变量作向量的线性运算 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 23 二、空间曲面与方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 222 )3()2() 1(?zyx 化简得 即 说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 222 )4() 1()2(?zyx 解:设轨迹上的动点为 , ),(zyxM,BMAM ?则 轨迹方程 . 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 24 0),(?zyxF S z y x o

13、如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 ; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形. 两个基本问题两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 , (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 , 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 定义定义1 返回返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 25 故所求方程为 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解解

14、: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M 0 M 表示上(下)球面 . Rzzyyxx? 2 0 2 0 2 0 )()()( 2222 000 ()()()xxyyzzR? 2222 xyzR? 例例1 求动点到定点 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 26 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形 . 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 例2 研究方程 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 27 例例 3 3 设有点 1( 1,0,1) M ? 与点 2 (0,1,

15、 2)M?，求到这 两点的距离相等的点的轨迹方程 . 解解 设( , , )P x y z是所求轨迹上的任意一点，则由 12 | |PMPM?得 222222 (1)(0)(1)(0)(1)(2)xyzxyz? 整理得 22630 xyz? 该方程表示的是垂直平分线段 12 M M 的一 个平面，即线段 12 M M 的垂直平分面. 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 28 三、空间常见的空间曲面及其方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 旋转面和二次曲面等. 空间曲线，特别是直 线，在空间解析几何中非常重要. 下面，我 们对这些图形作简单介绍. 返回 上页 下页 目录 201

16、9年3月9日星期六 29 1. 平面及其方程 第六章 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 30 ? z y x o 0 M n 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 M 称式为平面? 的点法式方程, 求该平面? 的方程. ,),(?zyxM任取点 法向量. 量 nMM? 0 0 0 ? ?n MM 则有 故 的为平面称?n 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 31 例 4 求过三点) 1 , 1 , 1 ( 1 M、) 1 , 2 , 3( 2 ?M及)2 , 3 ,

17、 4( 3 M的 平面方程. 解 由于过三个已知点的平面的法向量n与向量 21M M、 31M M都 垂 直 ， 而?0 , 1 , 4 21 ?MM， ?1 , 2 , 3 31 ?MM，设n?, ,x y z?，则有： ? ? 12 , ,4,1,040? ? ?n M Mx y zxy ? ? 13 , ,3,2,1320?n M Mx y zxyz 解此方程组， 可得1,4,11xyz? ?,即所求平面的 法线向量n ? 1,4, 11?.根据平面的点法式方程，所 求平面的方程为： (1)4(1) 11(1)0?xyz 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 32 二、平面的

18、一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 , 000 zyx则 0 000 ?DzCyBxA 显然方程与此点法式方程等价 , )0( 222 ?CBA ),(CBA n ? 的平面, 因此方程的图形是 法向量为 方程. (General Equation of a Plane) 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 33 特殊情形特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面

19、平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 34 解解: 因平面通过 x 轴 , 0 ? ? D A故 设所求平面方程为 0ByCz? 代入已知点 ) 1, 3,4(?得 化简,得所求平面方程 例例2 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程. 例 例3

20、 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 . 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 35 例 6 求过三点)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR的 平面的方程(其中cba、为不等于零的常数) 解 设所求的平面的方程为 0?DCzByAx 因为平面经过RQP、三点，故其坐标都满足 方程，则有 0 0. 0 aAD bBD cCD ? ? ? ? ? ? ? z x y o R P Q 得所求方程为 1.? xyz abc 平面的截距式方程 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 36 内容小结 1. 平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 0?D

21、CzByAx 1? c z b y a x )0(?abc 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 37 2. 直线 第六章 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程 二、空间直线的参数方程 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 38 x y z o 0 1111 ?DzCyBxA 1 ? ? 2 ? ? L 因此其一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一 不唯一) 一、空间直线方程的一般方程 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 39 (Symmetric Expression) 1. 对称式方程（点向式方程) ),( 0000 zyxM 故有

22、说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零 . m xx 0 ? 设直线上的动点为 则 ),(zyxM n yy 0 ? ? p zz 0 ? ? 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 ),( 0000 zyxM ),(zyxM 例如, 当 ,0, 0时?pnm 和它的方向向量 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 40 设 得参数式方程 : t p zz n yy m xx ? ? ? ? ? ? 000 tmxx? 0 tnyy? 0 tpzz? 0 3. 参数式方程参数式方程 (Parametric

23、Form ) 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 41 例7 把直线L的一般方程 250 2310 xyz xyz ? ? ? ? 化为对称式方程和参数方程 . 解 先求出直线上的一点),( 000 zyx.为此，任意选定 它的坐标，例如令1 0 ?x，代入直线方程得 3 1 yz yz ? ? ? ? ? 解得2 0 ?y、 0 1 z ? ，所以， (1,2,1)是直线上的一点 . 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 42 下面再求直线的方向向量，因为平面的法向量为 ? 1 211 n ? ， ，和 ? 2 213n ?， ， 设直 线的 方 向向 量为 s ?

24、 , ,m n p?, 则有 12 0,0? ? ?nsns 即有 20 230 mnp mnp ? ? ? ? 解得：0 p ? ，且有 20 20 m n m n ? ? ? ? ，令1 m? ，则2n ? ?. 取s? ? 1, 2,0?为直线的方向向量。为直线的方向向量。 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 43 因此，直线因此，直线L的对称式方程为：的对称式方程为： 121 120 xyz? ? ? 令令 121 120 xyz t ? ? ? 则得直线的参数方程为则得直线的参数方程为 1 22 1 xt yt z ? ? ? ? ? ? ? 返回 上页 下页 目录 2

25、019年3月9日星期六 44 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 ? ? ? ? ? 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA ? ? ? ? ? ? ? ? tpzz tnyy tmxx 0 0 0 内容小结 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 45 x y z 3 、柱面、柱面 引例 分析方程 表示怎样 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为 圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 o C 在圆C上任取一点 l M 1 M ),(zyxM点

26、其上所有点的坐标都满足此方程 , 的曲面 ? 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 46 x y z x y z o 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. 1 2 2 2 2 ? b y a x ? z 轴的平面. 0? ? y x ? 表示母线平行于 C (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. x y z o o 定义 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 47 x z y 2 l 柱面, 柱面, 平行于 x 轴 ;

27、平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l 1 : F(x,y)=0. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l 2 : G(y,z)=0. 母线 ( , )0F x y ?1:方程表示 ( , )0G y z ?2:方程表示 ( , )0H z x ?3:方程表示 x y z 3 l x y z 1 l 一般地,在三维空间 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 48 定义 一条平面曲线 4 、旋转曲面、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 ,旋

28、转曲线叫做旋转曲 面的母线. 例如 : 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 49 故旋转曲面方程为 , ),(zyxM 当绕 z 轴旋转时 , ,), 0( 111 CzyM?若点 给定 yoz 面上曲线 C: ), 0( 111 zyM 1 22 1, yyxzz? 则有 0),( 22 ?zyxf 则有 该点转到 o z y x C 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 : 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 50 0),(:?zyfC o y x z 0),( 22 ?zxyf 求旋转曲面方程时 ,平面曲线绕某坐标轴旋转 ,则该坐 标轴对应的变量

29、不变 ,而曲线方程中另一变量写成 该变量与第三变量平方和的正负平方根 . 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 51 的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 x y z ? 两边平方 L ), 0(zyM 例例8 试建立顶点在原点 , 旋转轴为z 轴, 半顶角为 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 52 x y 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 . 解解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为

30、 例9 求坐标面 xoz 上的双曲线 (旋转双叶双曲面） (旋转单叶双曲面） 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 53 5、二次曲面、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 , 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx? 222 0?JIzHyGx (二次项系数不全为 0 ) 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 54 ),( 2 2 2 2 2 为正数baz b y a x ? 上的截痕为在平面t

31、 z ? 椭圆 在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 . z x y o 1 )()( 2 2 2 2 ? t b y ta x t z ? , (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P202) x y z (1) 椭圆锥面椭圆锥面 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 55 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x ? (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 , 0 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? z b y a x , 0 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? x c z b y

32、 ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 2 2 2 y c z a x (2)椭球面椭球面 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 56 1 2 2 2 2 2 2 ? c z b y a x 与 )( 11 czzz?的交线为椭圆： 1 z z ? (4) 当 ab 时为旋转椭球面; 同样 )( 11 byyy?的截痕 及 也为椭圆. 当abc 时为球面. (3) 截痕: 1 )()( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ?zc y zc x c b c a cba,(为正数) z 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 57 (3) 抛物面抛物

33、面 22 22 xy z ab ? (1) 椭圆抛物面 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 22 22 xy z ab ? 特别,当a = b 时为绕 z 轴的旋 转抛物面. x y z x y z 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 58 (1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet) by ? 1 ) 1 上的截痕为平面 1 z z ? 椭圆. 时, 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x ?(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 1 y y ? ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x ? 1 y y

34、 ? 平面 上的截痕情况: 双曲线: (4) 双曲面双曲面 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 59 虚轴平行于x 轴） by ? 1 )2时, 截痕为 0? c z a x )(bby?或 by ? 1 ) 3时, 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x ? (实轴平行于z 轴; 1 y y ? 相交直线: 双曲线: z x y z x y 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 60 222 222 1 zxy cab ? ， 上的截痕为平面 1 y y? 双曲线 上的截痕为平面 1 x x? 上的截痕为平面)( 11 czzz?椭圆 注意单

35、叶双曲面与双叶双曲面的区别 : 双曲线 z x y o 单叶双曲面: 系数二项正,一项为负. 双叶双曲面: 系数一项正,二项负. 图形 (2) 双叶双曲面双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets) （a、b、c 是正数） 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 61 内容小结 1. 空间曲面空间曲面 三元方程 ? 球面 ? 旋转曲面 如, 曲线 ? ? ? ? ? 0 0),( x zyf 绕 z 轴的旋转曲面: ? 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 62

36、 三元二次方程 ? 椭球面 ? 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 z q y p x ? 22 22 ? 双曲面: 单叶双曲面 2 2 2 2 b y a x ?1 ? 双叶双曲面 222 222 1 zxy cab ? ? 椭圆锥面: 2 2 2 2 2 z b y a x ? 2. 二次曲面二次曲面 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 63 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 思考与练习思考与练习 1. 指出下列方程的图形

37、 : 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 64 2. 填空题： （1） 与Z轴和点)1,3,1(?A等距离的点的轨迹方 程是_ ； （2） 以点)1,2,2(?O为球心，且通过坐标原点的 球面方程是_ ； （3） 设曲面方程 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z =1，当b a ? 时，曲面 可由xoz面上以曲线 _绕_ 轴旋转面成，或由yoz面上以曲线_ 绕_轴旋转面成 ; 2 262110zxyz? 222 4420 xyzxyz? 22 22 1 xz ac ?z 22 22 1 yz bc ? z 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 65

38、四、多元函数 第六章 一、区域 二、多元函数的定义 三、二元函数的几何意义 四、二元函数的极限与连续性 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 66 0 0 ? PP 1. 区域区域 点集 称为点 P 0 的? ? 邻域. 例如,在平面上, ? ),(),( 0 yxPU? (圆邻域) 在空间中, ? ),(),( 0 zyxPU? (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ? ,也可写成 . )( 0 PU 点 P 0 的去心邻域记为 0 ?PP 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 67 ?0),(? ? y xyx ?41),( 22 ?yxyx ?0),(? ? y

39、 xyx ?41),( 22 ?yxyx 开区域 闭区域 ? ? ? ? x y o 21 x y o x y ox y o 21 例如，在平面上 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 68 ? 整个平面 ? 点集 ? ?1),(?xyx 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 1?1o x y ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P? D 与某定点 A 的距离 ?AP? K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域 . 否则称为无无 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 69 2 、多元函数的定义 引例引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量

40、理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 c b a h r 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 70 定义定义 1 1 设有三个变量, x y和z，D是平面上的一个点 集，对于任意一点DyxP?),(，变量z的值由这三个变 量之间的关系 f 以及, x y的值完全确定，称这个关系 f 为定义在D上的一个二元函数关系，或称z是变量x、y 的二元函数,记作 ( , )zf x y?,(或)(Pf z ? ). 其中点集D称为该函数的定义域 ,x、y称为自变量,z 称为因变量 . z的取值范围称为函数f 的值域 ,记作 )(Df,即 () |( , ) , ( , )f Dz zf

41、x yx yD?. 类似地可以定义三元函数),(zyxf u ? 以及三元以 上的函数,二元和二元以上的函数统称为 多元函数多元函数. 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 71 3 、二元函数的几何意义 设函数),(yxf z ? 的定 义域 为D, 对 于 任 意 取 定 的 点 DyxP?),(, 对 应 的 函 数 值 为 ),(yxf z ? ,也就是对于D中的点 ),(yxP, 在 空 间 对 应 一 点 ),(,(yxfyxM,当(yx,)取遍D 上的一切点时 ,则得到一个空间 点集: ),( , ),(| ),(Dyxyxfzzyx? 图626 这个点集称为二元函数

42、),(yxf z ? 的图形.一般地,二 元函数),(yxf z ? 的图形是一张曲面。 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 72 x z y 22 1yxz? 定义域为 ?1),( 22 ? ? y xyx圆域 说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面 . , )sin(,yx z? 又如 的图形一般为空间曲面 ? . 1 2 R),(?yx 三元函数 )arcsin( 222 zyxu? 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 x y z o 例如, 二元函数 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 7

43、3 4 、二元函数的极限 定义 2 设二元函数),(yxf z ? 在点),( 000 yxP的某 一 邻 域 内 有 定 义 ( 点 0 P 可 以 除 外 ) ， 如 果 在 ),(),( 000 yxPyxP?的过程中 ,对应的函数值),(yxf能 与某一确定的常数 A无限接近,则称 A是函数),(yxf当 ),(),( 00 yxyx?时的极限.记作 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x yA ? ? 或 00 ( , ) , ( , )(,)f x yAx yx y?, 或记作 0 lim( ) PP f PA ? ?或 0 ( ),()f PA PP?. 二元函数的极限也叫做二重极限 . 返回 上页 下页 目录 2019年3月9日星期六 74 ? 若当点 ),(yxP 趋于不同值或有的极限不存在， 解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋