层次分析法及matlab程序

1、层次分析法建模、层次分析法（AHPAnalytic Hierachy p roc e s s） 多目标决策方法70年代由美国运筹学家TLSatt y提岀得，就是一种立性与圧量分析相结合得多目标决 策分析方法论吸收利用行为科学得特点，就是将决策者得经验判断给予量化，对目标（因素）结 构复杂而且缺乏必要得数据情况下，採用此方法较为实用，就是一种系统科学中，常用得一种系 统分析方法，因而成为系统分析得数学工具之一。传统得常用得研究自然科学与社会科学得方法有：机理分析方法：利用经典得数学工具分析观察得因果关系：统计分析方法：利用大量观测数拯寻求统汁规律,用随机数学方法描述（自然现象、社 会现象）现象得

2、规律。基本内容：（1）多目标决策问题举例A HP建模方法（2 ）AHP建模方法基本步骤（3） A HP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用得若干问题。参考书：1、姜启源，数学模型（第二版,第9章;第三版,第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第1 0章），淸华大学出版社3、运莓学编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例:A。大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位得毕业生，“双向选择”时,用人单位与毕业生都有各自得选择标准与要求。 就毕业生来说选择单位得标准与要求就是多方而得,例如： 能发挥自己得才干为国家作出较好翹（即工作岗位适

3、合发挥专长）； 工作收入较好（待遇好）； 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； 单位名声好（声誉-R e pu t a t i on）： 工作両好（人际关系与谐等） 发展晋升（promote, p r omo t ion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。问题五在有多个用人单位可供她选择，因此，她而临多种选择与决策，问题就是她将如何 作岀决策与选择？一一或者说她将用什么方法将可供选择得工作单位排序？暑假有3个旅游胜地可供选择。例如:：苏州杭州，北戴河，桂林，到底到哪个地方去旅游最 好？要作岀决策与选择。为此，要把三个旅游地得特点，例如：景色;费用;居住;环境; 旅途条件等作一些比较一-

4、建立一个决再得准则，最后综严评判确左岀一个可选择得最优方案.目标层选择旅游地7种金属可供开发.开发后对国家贡献可以通过两两比较得到决泄对哪种资源先开发, 效用最用.二、问题分析:例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：（S1）将决策解分解为三个层次,即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有，三个选择地点）并用直线连接各层次。（S2）互相比较各准则对目标得权重，各方案对每一个准则得权重。这些权限重在人得思维过程 中常就是定性得。例如:经济好，身体好得人：会将景色好作为第一选择：中老年人:会将居住、饮食好作为第一选择：经济不好得人:

5、会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重得泄量分析方法。（53）将方案后对准则层得权重，及准则后对目标层得权重进行综合.（54）最终得出方案层对目标层得权重，从而作岀决策。以上步骤与方法即就是A HP得决策分析方法.三、确定各层次互相比较得方法一一成对比较 矩阵与权向量在确定各层次各因素之间得权重时，如果只就是疋性得结果,则常常不容易被别人接受，因 而Santy等人提出:二玖年呼迭即：1、不把所有因素放在一起比较，而就是两两相互比较2、对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同得诸因素相互比较得困难，提高准确度。因素比较方法成对比较矩阵法：目得就是，要比较某一层个因素对上一层因素O

6、得影响（例如:旅游决策解中，比较景色等 5个准则在选择旅游地这个目标中得重要性）。採用得方法就是：每次取两个因素与比较其对目标因素O得影响，并用表示，全部比较得 结果用成对比较矩阵表示，即：（1）由于上述成对比较矩阵有特点：故可称为正互反矩阵:显然，由,即:,故有：例如：在旅游决策问题中：=表示：故：=表示：即：景色为4,居住为1。= 表示：即:费用重要性为7,居住重要性为1。因此有成对比较矩阵：? ?问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵得问题： 即存在有各元素得不一致性.例如:既然：所以应该有：而不应为矩阵中得 成对比较矩阵比较得次数要求太，因:个元素比较次数为:次，因此，问题就是:如何改造

7、成对比较矩阵，使由其能确左诸因素对上层因素O得权重？对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素对因素（上层因素）0得 权重方法，并确定了这种不一致得容许误差范围。为此，先瞧成对比较矩阵得完全一致性一一成对比较完全一致性四:一致性矩阵Def：设有正互反成对比较矩阵:（4）除满足：（i）正互反性：即 而且还满足：（i i）致性：即/有点点错误 则称满足上述条件得正互反对称矩阵A为一致性矩阵,简称一致阵。一致性矩阵（一致阵）性质：性质1：得秩Rank （A） = 1 /显然得唯一非0得特征根为n性质2：得任一列亠心向量都就是对应特征根得特征向量：即有（特征向量、特征值）：,则向量满

8、足：即：我得理解:通过A （变换A与W中得 元素有关）变换将一致w矩阵变成权向量W （特征向量），如果正互反矩阵W，接近一致矩 阵，同样得道理变换A可以将W，变成权向量 （这里得权向量与W，稍有不同）启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即门个元素 血， w2,必,.必 构成得向呈就是一致矩阵A得特征向星,则可以把向星W归一化后得向呈，瞧成就是诸元素z W2, 必.Wn目标得权向呈,因此，可以用求力得特征根与特征向呈得办法，求出元素146,W2, Ws .必相对于目标O得劝向星。解释：一致矩阵即：件物体，它们重量分別为，将她们两两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重 呈:向量右乘，则A的特征根为

9、2,以”为特征根的特征向量为重量向量 w=肥，则归一化后的特征向量fw；W=（SW=l就表示诸因素6，C?,，Cn对上层因素0的权重，即为W /权向量，此种用特征向星求权向量的方法称特征根法，分析:若重量向量未知时，则可由决策者对物体之间两两相比关系，主观作出比值得判断，或用D e 1 phi（调查法）来确左这些比值，使矩阵（不一上有一致性）为已知得，并记此主观判断作出 得矩阵为（主观）判断矩阵，并且此（不一致）在不一致得容许范围内，再依据: 得特征根或 与特征向量连续地依赖于矩阵得元素，即当离一致性得要求不太远时f得特征根与特征值（向量）与一致矩阵得 特征根与特征向量也相差不大得道理：由特征

10、向量求权向量得方法即为寮征问量迭,并由此引出一致性检查得方法.问题：Remar k以上讨论得用求特征根来求权向疑得方法与思路，在理论上应解决以下问题：1. 一致阵得性质1就是说:一致阵得最大特征根为（即必要条件），但用特征根来求特征向量时, 应回答充分条件:即正互反矩阵就是否存在正得最大特征根与正得特征向量？且如果正互反 矩阵得最大特征根时，就是否为一致阵？2. 用主观判断矩阵得特征根与特征向量连续逼近一致阵得特征根与特征向量时，即：由得到：即：就是否在理论上有依据.3. 般情况下，主观判断矩阵在逼近于一致阵得过程中，用与接近得来代替，即有，这种近似得替 代一致性矩阵得作法，就导致了产生得偏差

11、估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性 检验判断指标，由此指标来确定在什么样得允许范用内，主观判断矩阵就是可以接受得,否则，要两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题得内容。以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325,泄理1、立理2）。第3 个问题：Sa tty给出一致性指标（TH I , TH2介绍如下：）附：Thl:（教材P326, perro n Th 比隆19 70 ）对于正矩阵（得所有元素为正数）（1）得最大特征根就是正单根；（2 ）对应正特征向疑（得所有分量为正数）（3） 其中：为半径向量，就是对应得归一化特征向疑证明：（3）可以通过将化为标准形证

12、明Th2：阶正互反阵A得最大特征根；当时，就是一致阵五、一致性检验致性指标:1 一致性检验指标得定义与确定（平均值）得定义：当人们对复杂事件得各因素，采用两两比较时，所得到得主观判断矩阵，一般不可直接保证 正互反矩阵就就是一致正互反矩阵，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差.必然导致特征 值与特征向量之间得误差此时就导致问题与问题之间得差别（上述问题中就是主观判断矩阵得 特征值，就是带有偏差得相对权向量）。这就是由判断矩阵不一致性所引起得.因此，为了避免误差太大,就要衡量主观判断矩阵得一致性.因为： 当主观判断矩阵为一致阵时就有：为一致阵时有：（a Ci i 为对角线上得值，按照一致性矩阵

13、得理解，它 应该为1）此时存在唯一得非（由一致阵性质1： Rark（4）=l,有唯一非0最大特征根且） 当主观判断矩阵不就是一致矩阵时,此时一般有：（Th2） 此时,应有：（不大理解）即：所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵得准则，一致性得指标，即：显然：（1）当时，有:，为完全一致性（2）值越大，主观判断矩阵得完全一致性越差，即:偏离越远（用特征向量作为权向量引起 得误差越大）（3）一般，认为主观判断矩阵得一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判 断矩阵。2随机一致性检验指标一问题:实际操作时发现:主观判断矩阵得维数越大，判断得一致性越差，故应放宽对髙维矩阵得一得维数12345

14、89670、0 0 321.0、000. 580、961、1 2411. 45K 241、义检 标致性要求。于就是引入修匸值来校正一致性检验指标：即左义得修正值表为: 并定 新得 致性 验指 为：随机一致性检验指标-一寻解释：为确左得不一致程度得容许范I札需要确宦衡量得一致性指示得标准于就是S atty又引入所谓 随机一致性指标，其定义与计算过程为：对固泄得,随机构造正互反阵，英元素从19与1中随机取值,且满足与得互反性，即:，且、 然后再计算得一致性指标，因此就是非常不一致得,此时，值相当大、 如此构造相当多得，再用它们得平均值作为随机一致性指标.Sa tty对于不同得11），用100- 5

15、 00个样本计算出上表所列出得随机一致性指标作为 修正值表。3、一致性检验指标得定义-致性比率。由随机性检验指标可知：当时,，这就是因为1,2阶正互反阵总就是一致阵。对于得成对比较阵，将它得一致性指标与同阶（指相同）得随机一致性指标Z比称为一致性比率一一简称一致性指标，即有：一致性检验指标得泄义一一致性比率定义:：当:时，认为主观判断矩阵得不一致程度在容许范围之内，可用苴特征向碗作为权向量.否则，对主观判断矩阵重新进行成对比较，构重新得主观判断矩阵。注：上式得选取就是带有一左主观信度得。六、标度一比较尺度解：在构造正互反矩阵时，当比较两个可能就是有不同性质得因素与对于上层因素O得影响 时，採用

16、什么样得相对刻度较好，即得元素得值在（19）或（1）或更多得数字,S any 提出用19尺度最好，即取值为19或其互反数1，心理学家也提出：人们区分信息等 级得极限解能力为2.可见对阶矩阵，只需作岀个判断值即可标度定义1因素与因素相同重要3因素比因素稍重要5因素比因素较重要7因素比因素非常重要9因素比因素绝对重要2 , 4, 6&因素与因素得重要性得比较值介于上述两个相倒数1,邻等级之间因素与因素比较得到判断值为得互反数，注：以上比较得标度S a tty曾用过多种标度比较层，得到得结论认为：19尺度不仅在较简单得 尺度中最好，而且比较得结果并不劣于较为复杂得尺度。Salt y曾用得比较尺度为：

17、 1-3,1-5,1 6,，111,以及 ，其中 ，其中等共27种比较尺度，对放在不同距离处得光源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩阵,il算 岀权向疑同时把计算岀来得这些权向量与按照物理学中光强度左律与其她物理知识得到得实际 权向量进行对比。结果也发现19得比较标度不仅简单，而效果也较好（至少不比其她更复杂得 尺度差）因而用19得标度来构造成对比较矩阵得元素较合适。七、组合权向量得计算层次总排序得权向量得计算层次分析法得基本思想：（1） 计算岀下一层每个元素对上一层每个元素得权向量de f ：层次总排序，计算同一层次所有元素对最高层相对重要性得排序权值. 当然要先:构造下一层每个元素对上一

18、次每个元素得成对比较矩阵计算出成对比较矩阵得特征向量（与法，根法，幕法） 由特征向量求岀最大特征根（由与法，根法，幕法求得） 用最大特征根用方式及对成对比较矩阵进行一致性检，并通过.（2） 并把下层每个元素对上层每个元素得权向量按列排成以下表格形式：例,假定:上层有 个元素，且其层次总排序权向量为，下层有个元素，则按对 个元素得单排序权向 虽:得列向量为，即有：层次 层总就是排序权重（权向 量、列向量） 计算出最大特根（方法:与法、根法、幕法）一致性检验一致性检验比率检验否？注：若下层元素与上层元素无关系时，取总排序权向量各分量得计算公式：（3 ）对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进

19、行，如果如果层次某些元素对单得排序得一致性指标为，相应得平均随机一致性指标为，则层总排序 随机一致性比率为：当时，认为层次总排序里有满意得一致性，否则应重新调整判断矩阵得元素取值。八、层次分析法得基本步骤:（S1）建立层次结构模型将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次：同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层得因素或受 到下层因素得影响。最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有1 个或几个层次，通常为准则层或指标层。当准则层元素过多（例如多于9个）时,应进一步分解出子准则层。（52）构造成对比较矩阵,以层次结构模型得第2层开始

20、，对于从属于（或影响及）上一 层每个因素得同一层诸因素，用成对比较法与19比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。（53）计算（每个成对比较矩阵得）权向量并作一致性检验 对每一个成对比较矩阵汁算最大特征根及对应得特征向疑（与法、根法、蒔法等） 利用一致性指标，随机一致性指标与一致性比率作一致性检验 若通过检验（即，或）则将上层出权向量归一化之后作为（到）得权向量（即单排序权向量） 若不成立，则需重新构造成对比较矩阵（S4 ）计算组合权向星并作组合一致性检验一一即层次总排序利用单层权向量得权值构组合权向量表：并讣算岀特征根，组合特征向量，一致性T- V层层次 计算组合权向量 其中 最大特征根与法、

21、根法、幕法一致性检验9一致性随机检验对照表9一致性比率 若通过一致性检验，则可按照组合权向量得表示结果进行决策（中中最大者得最优），即: 若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率，较大得成对比较矩阵九、特征根得近似求法（实用算法）层次分析法得基本思路就是讣算上层每个元素对下一层次各元素得权向量（即最大特征根 对应得特征向量），以及组合权向量及一致性检验问题。计算判断矩阵最大特征根与对应阵向量，并不需要追求较髙得精确度，这就是因为判断矩阵 本身有相当得误差范【饥而且优先排序得数值也就是定性概念得表达，故从应用性来考虑也希 望使用较为简单得近似算法。常用得有以下求特征根得近似求法：

22、“与法”、“根法”、“幕法”， 具体如下：1紀与法”求最大特征根与对应特征向量（近似解）（S 1）将矩阵得每一列向量得归一化得：（利用数据验证即为：每个位置得数除以该列得合计）（S 2）对按行求与得：（S3）将归一化,即有:，则有特征向量：（S 4）计算与特征向量对应得最大特征根得近似值：此方法：实际上就是将得列向量归一化后取平均值作为得特征向疑。解释：当为一致矩阵时，它得每一列向量都就是特征向量可以在得不一致性不严重时，取得列向量（归一化后）得平均值作为近似特征向量就是合理 得（有依据得）。2。根法”求最大特征根特征向量近似值：步骤与“与法”相同，只就是在（S2）时：对归一化后得列向量按行“

23、求与”改为按行“求 积”再取次方根，即：。即有具体步骤：（S1）将矩阵得每一列向量归一化得：（52）对归一化以后得列向量各元素：按行“求与”并开次方根得：（53）再将归一化得：得到特征向量近似值：（54）计算最大特征根：作为最大特征根得近似值。注：“根法”就是将“与法”中求列向量得算术平均值改为求几何平均值.3 “幕法”求最大特征根：（si）任取维归一化初始向量（52）计算（53）归一化，即令：（S4）对预先给左得，当时，即为所求得特征向量：否则返回（S2）（S5）计算最大特征根，以上用幕法求最大特征根对应特征向量得迭代方法，其收敛性由TH1（教材P325）中得3）, 其中，漑是对应得归一化向

24、量特征.（证明：可以将化为标准形证明）保证。任意选取，也可以取由“根法”、与法”得到得注：在以上求特征根与特向量得方法中“与浓 ；J单。例：在旅游问题中，求目标层到准则层得成对比较矩阵为得特征向量与最大特征根：准则层:方案层:利用“与法”求得特征向咼与特征根（S1）将得元素按列归一化得:各列归一化得分母（S2）将中元素按行求与得各行元素之与:（53）再将上述矩阵向量归一化得到特征向量近似值，特征向量其中（54）讣算与特征向量相对应最大特征根（得近似值）(0.262)0.262、0.4740.4740.055(21 755)0.0550.0990.099(0.102丿,0.102 丿0.262(

25、1 0.5 4 33)(0.25H0.474(0.262)0.4740.1431 0.5 0.333 ) 0.0550.099,0.102 丿0.055P.262、P.262、0.4740.474)0.055(0.333 0.2 3 11 )0.0550.0990.099、002,、0.102,(0.337 0.2 2 110.099+0.1021 0.263 + 0.237 + 0.22 + 0.297 + 0.3060.524 + 0.474 + 0.385 + 0.495 + 0.5+5 L0.2620.4740.066 + 0.068 + 0.055 + 0.0495 + 0.0340

26、.087 + 0.095 + 01 + 0.099 + 0.1021F0.0550.0990.087 + 0.095 + 065 + 0.099 + 0.1020.102 1 1.323 2.388 0.273 0.493 0.548+4H+510.262 0.474 0.055 0.099 0.102 J =*5.05 + 5.038 + 4.960 + 4.98 + 5.373) = 1x25.4015= 5.0802 故有最大特征根 对一致性检验指标: 故通过检验。十、应用实例对前而旅游问题进行决策（由前而已算岀），并已通过一致性检验。准则相对于得成对比较矩阵为0、 1 02对作用得成对

27、比较矩阵为:同样对作用得成对比较矩阵为:解：对以上每个比较矩阵都可计算出最大特征根及对象得特征向量（即权重向量）,并进行一致性检验:以为例用与法”求岀得特征根及对立得特征向量（S1）对按列归一化得：（S2 ）对按列归一化反向就再按行求与：（S3）对按行归一化得到特征向量（S4）计算特征根if(0.595 -0.554+ 0.645),(0.298+ 0.277+ 0.258)、(0.119 + 0.139 + 0.129)30.5950.2770.129.1f 1.7940.8330.387-十310.5950.277 0.129丿0.5952 51 0.2770.1290.595f 0.59

28、5 (0.5 1 2j 0.2770.129,0.277(0.595、(0.2 0.5 1 0.2770.129 丿0.129= 1(3.015 + 3.007 + 3)=丄 x 9.022 = 3.007一致性检验：故通过检验，既成对矩阵可以接受。 同样步骤对，对得影响用特征向量表示最大特征根用:表示并分别计算一致性检验指标：列表如下:沁层决策层B1B2B3B5B4组合权向量0、26 20、4740、0551020.0990、0.59506 330820、0、42 91 660、0、2771930.0、2361660、42 90、0、1 291 750、0、6686 820、1420、3.0

29、03.009733、00230、00 3 500 50、000100、0、585 80、0、58580 . 580、0、006其中得计算公式为:(0.595)叱=Z?丿久=(0.262, 0.474, 0.055, 0.099, 0.102) =i0.0820.4290.633(0166丿=0.262 x 0.595 + 0.474 x 0.082.0.055 x 0.429 + 0.099 x 0.633 + 0.102x0.166= 0.156 + 0.039 + 0.024 + 0.063 + 0.017=0.299並=(0.277 0.236 0.429 0930.5950.0820.166) 0.4290.633.0.166,=0.246必=工5仇，=(0.129 0.682 0.142 0.175J=10.59