自考04184线性代数(经管类)讲义

1、自考高数线性代数课堂笔记第一章 行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工 具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要,而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义注意：在线性代数中，符号 ”不是绝对值例如|5| = 5,且卜5|二5；q =a b*1ab1-ad be（2）定义：符号c d叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：Cd所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次

2、对角线的乘积）（3）符号幻 b 勺 函%巾 込銚5叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为勺% F码爲u 砧a +两鸟6 +盘少悅一住曲C_ 响5 一砌外勺：1 2 315 6例如1= Ix5x9+4x8x3+7x26-7x5x3-4x2k9-1x6x8=o三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆G1 b( C|注/v卜d陽6 +他+旳妬“ 一&少刈-僧岛切一&矗创方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数

3、的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之 和。例如:（1）1 i If & M i z4 t斗宀右Gz yaJk 7 a ?7 s it? a=1X5X9+2X6X7+3X4X8-3 X5X7-1 6X8-2 X4X9=0(2)Rf h 口& tk0肛Q 00 fl( 00心0h 0MqWkt/. A5j bS耳i 勺=dtLx +0x0x3； + Oxa2 x鸟-0xti3xO -Ox2 xc-口5（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2） （3） 可见，在三阶行列式中， 三角形行列式的值为主

4、对角线的三个数之积，其余五项都是0,例如2 130 310 0 = 2x3xt-2) = -123001 -2 Q2 34= 3(-2)x4 = -242 0 00 30 =2x3x(-l) = -0 0 -1欢迎下载#a为何值时,答疑编号10010101 :针对该题提问2 a= 8-3（i解因为弓4=c =所以8-3a=0,.时T-1 42-2 xX04 21当x取何值时,答疑编号10010102 :针对该题提问解：=01加 1+4 盖V+2(-2)-2-2-4(龙1) X- 2 4 (_2) 1= x +16jf2?P + 2犹+遇=H十9兀=x(?-z) 0=(x-1)x-1+4-4-f

5、2-(-2)-2-2-4-(x-l)-x1二F_工十18 Sz- 27十十塔=_工亍+9芹=双9 x) A 0解得 0x9所以当0x9时，所给行列式大于 0。(二) n阶行列式乩住- /a11 氐口%口 21如a2t2= 一符号：口ml 厲心 它由n行、n列元素（共”个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数一；称为行列式的一个 元素，它的前一个 下标i称为行标，它表示这个数一弋在第i行上；后一个下标j称为列标，它表示这个数一1 在第j列上。所以吋在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用（i,j）表示这个位置。n阶行列式：通常也简记作D = d-n阶行列式Q 門強也是一

6、个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。（1 ）在n阶行列式匚冲，戈卩去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个（n-1）阶行列式叫元素1的余子式，记作例如，在三阶行列式丐占口 总区他1 也中，说二的余子式表示将三阶行列式 J划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶 行列式，所以欢迎下载5解（1）(2)(3)4 77訂相似地，i乜:的余子式二.：表示将三阶行列式八!划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式 所以広121322 二478例1若569,求：（1）I口答疑编号10010103 :针对该题提问 儿-答疑编号10010104 :针对该题提问（3）:

7、答疑编号10010105 :针对该题提问（4）答疑编号10010106 :针对该题提问0-36-40-492-27-12-159（2）符号I叫元素-打的代数余子式定义：吗=（7叫（系数其实是个正负符号）例2求例1中丄.的代数余子式（1）.j答疑编号10010107 :针对该题提问（2）答疑编号10010108 :针对该题提问（3）答疑编号10010109 :针对该题提问（4）仁答疑编号10010110:针对该题提问解：（1）=-= （-1 严=0厅城（2）地广严伦严凯=75（3）.（- l）l+-=-11（4 /-1 -念产勢三-陆厂I（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）2 二

8、%】au例3若a31计算1. I. i；. L.（以上两组数相等）答疑编号10010111:针对该题提问解：anAi + 切為 1 十=九（7严n十心1严陆】+砌产陆1=旳座订-叫务+如S 4耳: 、输%* G則=如住22的2 +免“2遇1 +釦应皿立 巧 113辿与2 直1沪21刊?与例3的结果比较，发现幻先知Q 二 a2i 他療答=anAi + 32lAi +asiAi陌132 &营欢迎下载45这一结果说明：三阶行列式.:等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和 广到n阶行列式作为定义。即规定n阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为，这一结果可以推4i

9、 = ir4i = -bk=-4L =(-DM所以有2 =码1昭1 -旳1城1 4电1颯1h(-1严务1叫1特别情形2 =如购- 2121 +&31M3LD* =如Mi】 -的l购1 +劭-砌应电 例4计算下列行列式jT)0旳2%m茁f -00血如4000(1)答疑编号10010112:针对该题提问0说2213a230033000=an4i+f血 +旳41 +iAi=如41十0洛血i + 0x吕+。兀吕1二 anMn勺2应忑%=ano也码40 0盘44-口1*22也弓口 口由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积Ki先%0如円42 =00Q空务000曲4%(2)0000答疑编

10、号10010113:针对该题提问兔10血%”23%q =00%码芍000%0000二uAi十色十口汛均1 +iAi十陽i4jl=%i_4 + C1+ 0 + 0+ 0=口口肠I 十 0+0+ 0 + 0%0龟工00%叫000如|-al22a3Zaa5-5可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积一般地可推得即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积-立讥同理有0) 02200喩1a星m.*1.2行列式按行（列）展开在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把.：按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其 值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求岀它的值。现

11、在给出下面的重要定理，其证明从略。定理1.2.1 （行列式展开定理）n阶行列式.1 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D=aiA（i=1,2,n（ 1.8）或一 L- . ，;. 1（j=1,2,n）（1.9）其中，匕是元素在D中的代数余子式。定理1.2.1 （行列式展开定理）n阶行列式：等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数 余子式的乘积之和，即（i=1,2，,n （1.8）或（j=1,2,n（1.9）其中，亡是元素在D中的代数余子式。（1.8 ）式称为D按第i行的展开式，（1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2, 上述展开定理也可以表示成

12、匸1二-沪匕禺1+（-1严刚见+- +-）初牡胚 （i=1,2,n（j=1,2，,n这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号 I-1）呷 以及它后面的余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素仁（特别是_ ）抄写下来。根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。特别情形(1)D = )4i+iAi+i4i=LJS +勺/as斗盘彗生=11-41 十 先时厘 +3二2141 +沈过&2 +渔営4呂 -aiiAi十如禺十如玉(2)少二=1 Ai +i4i+i4i +iAi=口口/u 十 2222 +%2冯2 +检占42 二口1

13、3占孑十牛鼻百+碍/孑*433=進14W +吆血+知电斗+知/电=11A1亠宀12血+ 1313亠知占4故可按第一行展开（解题技巧）=禺1舄十勺2九2 +菇&3 +说驚川計 二aSlAl十迪念十皿对玉+区如念 -%企严兔2十知比十如坷斗flu000D=l，21a22000例5计算答疑编号10010201 :针对该题提问解：由于第一行或第四列所含零最多，D= iiAi +如血卜珂祖蚪丁 12 = fl13 =我14 = 0 .D位iiM! + 0-F0 + CJF flLLdC22a3Jfl44可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积=心;“二七戶例5的结果可推广为k=*勺*呻（=也

14、龟我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）121-1dk =00302003例6计算1121答疑编号10010202 :针对该题提问解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开D* =曲1-21 +如月22 +他413十的4纽:的1 =曲加=如4 = .= 0 + 0 +世防+ 0 =如皿空12-1-3203111=3 （屯+ 2222 +%3&3 =+ 0-21/35答疑编号10010203 :针对该题提问解：将按第6行展开得2 盹141十他血*C3j4h +伽轴+务念+%奇人点1000002000=6003000004000005-2x 3x4x5-5!例8计算%D

15、 =*坊000(1)000答疑编号10010204 :针对该题提问解：按第4行展开D &軌+0 + 0 + 0-一些网1%=-2X32 斗(-1) X一2兀 _4 T + (7) X0 -7 -5A -1= 26-7 -52141q =3-1215232例8计算行列式7025答疑编号10010304:针对该题提问（把最简单的调到第一列或是第一旬）-1+ IX+ (-2) X5 31 21 0 00+5 X 7 3750按弟二行展开在本例中，记号表示将行列式的第一列乘以 5后加到第二列。1 -5按第一別展开37 5=81+5X写在等号下面,3 11113111131例9计算行列式：1113（例子

16、很特殊）写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，答疑编号10010305 :针对该题提问解 这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6,我们可以采用简易方法求其值,先把后三列都加到第一列上去，提岀第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行:31111 13 11 31 1例10计算行列式:11111 13 11 31 111 =613a3 (a+l)J (a+S)3 (込十卯 b3 (b+1)2 3卯(b+3)2 ca (cH-1)3 (u 十纤 (c+3)a$ (d+1)1 (d+2)1 纣答疑编号10010306 :针对该题提问10001 1 12 0 0 =480 2 0

17、0 0 2a2-b2=(a+b)(a-b)(32)?6时96b-b9dA-9（W2a+33 (2a+3)M尸2tr+33 (2b+3)(汁 1)2c+33(2c+3)（曲厅2d433(2d+3)baJ护ia由十 1)(a+2)3(a+3)3 Ila3(日十2a+3；b+l)ae+2)，(b+3)ab2(b+iy2b+3:弟)：(皿：=?申；沁(如(甘2尸 申纠 +(fxO)旧 1) 2d+3例11计算n阶行列式（n1):a.b0 -0 Clab0 02 二 d000a bb000 a|N-1 )等例12计算范德蒙德VanderMonde )行列式:答疑编号10010307 :针对该题提问解将行

18、列式按第一列展开，得a b 。0b 0 - 0 00 a(I 0a b - 00=盘E * -:二 !:Q0直b00t 0000由00- a b(-D胃二円i4i+十十十止（简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（* 严+（_ 1）乩旷& +（-1严1护1 1 111i呵叼 电o 死-珂电可=可F馬W二JJX1X2V0 亏（勺巧）工3 （亏叫（叼秀务巧）答疑编号10010308:针对该题提问（第一行乘（-X1 ）加到第二行上；第二行乘（上）-X1 ）加到第三行=（可卞）（可巧）二（72 _A1 X例14计算:aAaaaa.aa生X3aaXaaaK（解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是

19、每b b2 c F例13计算答疑编号10010309 :针对该题提问2 !4 自a1 a ab b2 b323=abc1 b b2=c cc1 c c?abc（b-（c-d）（c-b）（这是个定律）1”的行列列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为k a a a a.兀十4 口i z a a a1H乩乱m逵n個ffa. a aa确a. a a a x8式，然后再化简）答疑编号10010310 :针对该题提问11111JT + 4l2K十也x+4（?Xa&aQxaaaaxaaaax1 1 1 11aa.a4 （亠日丿 層十 斗-a）00x-a 00000

20、 x-a0000 0r-i0 0akaa.=（h 十 4口）aaxaaaaxaaaa=（x+4a） （ x-a） 41.4克拉默法则由定理1.2.1和定理1.3.1合并有i 二k;jiAi+引* 知 A =仁A , j二匕口切血+%血+十喝去=|0弄血一或（一）二元一次方程组 （方程1、2左右同乘以一个数，上下对减）严迅+%二耳 知屮寺忍二d由a22*-a12*得（听角2 沪21）珂=%2勾円曲由an-购得令叫1 叱衍】=Dbl ai2t)且玉=D1ail Saai 6=D2则有Q叼二A是常数项当 0时，二元一次方程组有唯一解= , =D D（二）三元一次方程组冋曲+為丹+屯*广3包1%+岂头

21、也切 鬥1%亠叫X扌 b aia 电au b叱胡aai %=D25a316%令也嗨叫系数行列式由D中的A11+A21+A31得引】aia5aaiS%二 Ra3ia32十切血十畋4】）两=AiAi十為珂1 +鸟41由D中的A12+A22+A32得（口112十仃虧堆厘十勺/卫）“2二对4a十包堆7十鸟Ad由D中的A13+A23+A33得（如金十知血十如堆；J） =如比j +Aj十鸟念Dx = D-当 ”0时，三元一次方程组有唯一解一般地，有下面结果定理（克拉默法则）在n个方程的n元一次方程组时毘+6凶+细氐二h 口2再十丹+如盅吗5b(1)中，若它的系数行列式D=则n元一次方程组有唯一解。推论：在

22、n个方程的n元一次齐次方程组/曲+屯忍+%忑二0轴也十5匚+码庄占o角同中耳二0(2)（1）若系数行列式D0,方程组只有零解兀二0（2）若系数行列式D=0厂则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例在三元一次齐次方程组E+的十勾二0气十2升一3舟二02kl+*3xz +axa=O中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解答疑编号10010401 :针对该题提问解：=2a-6+3-4- (-9) -a=a+2( 1) a乂2时，0,只有零解(2) a=-2时,D=0，有非零解。本章考核内容小结（一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义知道余子式，代数余子式的定义（二）知道行列式按一行（列）

23、的展开公式优二尙始十知血十十弼/拆2二十口打4I-厲福比j（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式 重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算（四）知道克拉默法则的条件和结论第二章 矩阵矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工 具；矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性经济模型时，也都是 一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置运算，矩阵的求逆，矩阵的初 等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。2.1矩阵

24、的概念定义2.1.1由rrKn个数a （i=1，2，m； j=1，2，n）排成一个 m行n列的数表旳112- %F 口用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是，这mKn个数排成一个矩形阵列。 其中aj称为矩阵的第i行第 j列元素（i=1，2，m； j=1，2，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）通常用大写字母 A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n,也可记为A= （aj） mKn 或（ aj） nKn 或A nXn当m=n时，称A= （a） nxi为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形 表, 它不是一个数（行列

25、式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数 。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素an,322,，ann,称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Omn或者o （大写字）表示。特别，当m=1时，称a = （ai，a2，an）为n维行向量。它是1xn矩阵。当n=1时，称I工丿为m维列向量。它是rrK1矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。b例如，（a，b，c）是3维行向量，1心丿是3维列向量。几种常用的特殊矩阵:A =0U-0 -QA 二形

26、如0或简写为口糊丿1.n阶对角矩阵（那不是对角矩阵必须是方阵。A，念“尖”）q0 303例如，s -d是一个三阶对角矩阵，也可简写为的矩阵，称为对角矩阵，2.数量矩阵在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。n阶数量矩阵常用aEn或aln表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵形如的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵对角矩阵必须是方阵。4.零矩阵一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵巾0Ip0 0 - 09F10 0 6(可以是方阵也可以不是方阵)22矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有

27、理论意义和 实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1矩阵的相等(同)定乂 2.2.1 设 A= (aij) rmn, B= (bij) kxi,右 m=k, n=l 且 aj=bj, i=1 , 2,，m； j=1 ,2,，n,则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置(i, j)上的一对数都必须对应相等 。特别，A= (aij) mxn=O=aj=0, i=1 , 2,，m； j=1 , 2,，n。 注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如rl “1，a为一个数，则

28、 A+a无意义！但是n阶方阵A= （ aj） mxn与数量矩阵 aEn可以相加：A-aEn =荷2旳1如禺4（把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）由定义222知矩阵的加法满足下列运算律：设A，B，C都是论n矩阵，0是论n零矩阵，则（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B ） +C=A+ （ B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律 A+C=B+C =A=B.2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义2.2.3对于任意一个矩阵 A= （aj） mn和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA= （kaij） m0=5例4设矩阵 0 -Pfl iTA =2 1 0i B =3 11Q 3 -1卩（列行）1 0 -Prlyl40x? +(-1)x0 IxOOxl+xAB =2 1 03 1-2 xl + 1 x3 4-ClxO2 xO +1 xl-i-0 x2解：J 2 JJxl十2x3十UU汕 3xO+2xl + (-L)x2;10020104针对该题提问求AB。答疑编号:BA没有意义。珂2%4 =出2例5靭求(1) A3E3(2) E3A3121 00 4A 二0 10解: (1)P 01丿这里矩阵A是3X3矩阵，而