住房合理定价-(20088387郭诚)

1、西南交通大学峨眉校区数学建模选拔赛姓名：郭诚学号：20088387联系电话算机与通信工程系2010年4月1日21一、（必做题）冰雹的下落速度当冰雹由高空落下时，它受到地球引力和空气阻力的作用，阻力的大小与冰雹的形状和速度有关，一般可以对阻力作两种假设：（1）阻力大小与下落的速度成正比；（2）阻力大小与速度的平方成正比；请根据两种不同的假设，建立速度满足的微分方程，并计算冰雹下落的极限速度（已知初速度v(0)=0、冰雹质量m、重力加速度g、正比例系数k0）。解1：由物理学可知，冰雹受到地球引力和空气阻力的影响，其加速度应该为： (1.1)而显然 (1.2)联立上述两式子

2、得到： (1.3)显然3式就是所要求解的微分方程模型。在（3）两边作Laplace 变换并且代入v(0)=0，得到： (1.4)解代数方程，得 (1.5)最后对做Laplace 反变换，最终求得： (1.6)从式中不难看出，当时，v(t)的值为。解二：分析方法和第一题很类似，只不过将上述第一式改为： (2.1)这个时候所要求解的模型变成了 (2.2)由于这是一个非线性的微分方程，以我的数学水平很难给出它的精确解，但是，我们可以来讨论一下这个冰雹的下落情况，在一开始速度比较小时（阻力小于重力），冰雹的速度总是增加的。当速度达到一定时（阻力等于重力），速度不再增加，显然这个时候就是冰雹速度的最大值

3、。所以，若要冰雹的速度达到最大，必有： (2.3)即： (2.4)即： (2.5)但是只如此，我们便知知道冰雹的最终速度，而对其运动过程了解不多，所以可以采用数值计算的办法来求解这个非线性微分方程。此时，取m=0.1kg,k=0.1,g=9.8。(k是随意取的)数值解如图表 1所示：图表 1模型的改进：对于阻力，我们所能够知道的是，它一定是与速度成正比的。但是具体是怎么样一个“正比”法呢？ 请想一想，当您在散步的时候，能感觉到空气的阻力吗？显然是不能的！而当您参加运动会百米赛跑，就会比较明显的感受到阻力。而当您骑着摩托车在公路上飙车，更是能亲身体会到空气阻力的“强大”。所以不妨先将阻力设成速度

4、的函数，即令： （3.1）然后我们利用Taylor级数将其理论上展开成为如下的形式： (3.2）取到v的多少次方取决于速度的大小，就像我们刚才讨论的那样，走路的时候就一项都不取，跑步时取到,飙车时取到，要是要讨论一架飞机或者一个UFO，就一定要取到了。所以对这个冰雹的模型，既然题目第二题让我们讨论到了速度的平方项，故不妨将阻力设为： ； （3.3）则我们的微分方程变为： （3.4）不幸的是，它看起来更难求解了，所以我们还是只能用数值计算的方法求出数值解，取m=0.1kg,k1=0.1,k2=0.05.数值解的结果如图表 2所示图表 2附录附录1：数值计算的两个matlab程序：function

5、 xdot = diffq(t,x) /*第二个微分方程*/xdot=9.8-0.05*x.2;function xdot = difeq(t,x) /*改进后的微分方程*/xdot=9.8-0.05*x.2-0.1*x;t,x=ode23(diffq,t0,tf,x0); /用低阶法求微分方程二的数值解/plot(t,x)t,x=ode23(difeq,t0,tf,x0); /用低阶法求微分方程（改进）的数值解/plot(t,x)住房的合理定价摘要本文一开始根据历年住房的平均价格建立了房价与时间的函数关系，并根据这个关系预测了2010的房价。之后根据各组数据分别建立了两个模型并讨论了房价与G

6、DP的关系。最后根据题目的要求，在基本假设及多个条件的约束下建立了2010房价的最优化模型。问题一中，我们先依据直观的散点图确定了要使用的函数，并根据最小二乘法的思想使用MATLAB中的统计工具箱拟合出了房价关于时间的函数。然后计算了函数与现实房价的误差，并对误差进行了矩估计和区间估计，得出了它的Gauss分布函数。最后预测了2010年的房价可能的区间。问题二中，由于GDP和房价之间的关系不易确定，即我们无法直接断定究竟GDP是房价的函数还是房价是GDP的函数。因此我们对应两种假设分别建立了两个模型，同样利用统计工具箱进行多变量非线性拟合，并得出各自的函数关系，最后以误差的大小决定模型的优劣。

7、问题三中，考虑到人的收入是不一样的，相对富有的人群可能会购买多于一套的住房，而经济条件差的人群可能一套也购买不起。基于这个原因，我们将所谓的“平均房价”分为了两部分，一部分是购买第一套住房的价格；另一部分是购买多于一套住房的价格，这样就建立起了一个相对“不平等”的房价模型。这样做的好处是，它可以既基本维持总体平均房价（即保障了国家的税收和房地产商的收入），又减轻了中低收入人群购房的压力。最后我们得到了一个非线性最优化模型，所以对模型的求解使用了lingo软件。 本文最大的特色是：对关系不明确的量分别建立模型并以误差为依据判断优劣；对不同收入的人群建立不同的房价模型。关键词：多变量拟合、“不平等

8、”房价模型一、问题提出民以食为天，民以安居为乐。目前国内的房地产业面临前所未有的困境，原因在于房价太高，而需房者收入太低。2010年3月5日，温家宝总理在第十一届人大三次会上作的政府工作报告上讲,在2010年要“促进房地产市场平稳健康发展。要坚决遏制部分城市房价过快上涨势头，满足人民群众的基本住房需求”。所以如何使得百姓买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱性产业得以健康地发展是放在我们面前的一大难题。下表为某地区各年的平均房价、人均GDP、职工平均年收入等数据:时间：年平均房价：元/平米人均GDP：元平均年收入：元1997767 354051561998895 378351381999995

9、 3916652620001117 4239743420011261 4922847520021437 5560968820031640 63991070320041957 78421138420052244 91161234320062489 108791363020072801 134751555820083096 167371847220093500 1874519820请根据以上数据完成下列三个问题：（1）根据该地区历年的平均房价建立模型预测2010年的平均房价。（2）研究该地区人均GDP与房价的关系。（3）试建立2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意（如果你

10、的模型需要，你可以在网上查阅并使用有关的数据）。二、基本假设1、2010年我国处于和平稳定状态，并且没有发生大的自然灾害。2、百姓的收入能够买得起房，房地产商有利可图，是各自“满意”的条件。3、根据经济学上的“二八定律”，我们假设有20%的人（富人）会买第二套房。4、假设对富人来说，住房需求的价格弹性比较小，即房价上涨对富人的消费计划影响应该小于普通人。5、为了方便讨论，将该地区近似视为封闭的，即，本地人都在本地买房，外地人不到本地买房，本地人也不到外地买房。三、符号说明符号意义单位备注y时间（以1997年为第0年）年在问题1、2中使用p平均房价元/平方米全局使用g人均GDP元问题1、2中使用

11、平均房价的估计值元/平方米问题1、2中使用人均GDP的估计值元问题2中使用房屋需求的价格弹性/在问题三中使用购买第二套住房增加的价格比例/无常量，取0.4增加的价格比例k中付给房地产商的部分/无量纲购买第一套房的房价元/平方米在问题三中使用。购买多于一套房的房价元/平方米2009年房屋的总销售量平方米2010年房屋的总销售量平方米四、问题分析我们一个一个的去分析这三个问题：问题一的要求是根据现有的数据预测2010年的平均房价，而要预测房价，可以理解为找到时间和房价之间的内在联系，即找到二者之间的函数关系。可以立即想到的办法是，先将这几年的房价按照时间顺序做出散点图，以给我们一个直观的印象。而后

12、，可以根据这个直观的印象确定所要使用的预测函数并用这个函数去“适合”这些数据点，最后，在决定了函数（即模型）之后，还需要讨论模型的误差。问题二的要求相对比较模糊，如果说在问题一中显然房价是时间的函数的话，那么问题二中我们很难决定到底GDP是房价的函数亦或者房价是GDP的函数。所以我们基本的思路是，分别建立两个模型并且求解，最后以误差的大小来决定取舍。对问题三我是这样想的，由于房地产开发商和老百姓处于利益的对立面，要想兼得鱼和熊掌怕是不大可能。但是后来我想起了一句诗“朱门酒肉臭，路有冻死骨”，其实房地产市场也是这样的，一部分的人有能力购买多套住房，而广大的老百姓一套也买不起，所以基本的思路是这样

13、：国家应该出面对购买多于一套住房的人加收一定的房产税，而这些税收的一部分则用于补贴那些购买第一套住房的人，但是这样操作起来比较麻烦。不过我们可以把这种办法简化为让房地产商直接提高购买多于第一套住房的价格，但是您要明确的是，我们这种做法的本质是税收加补贴，实际的做法只是为了简便。五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析由“问题分析”中讨论的我们知道，要预测2010年该地区的房价，首先必须找到一个年份与房价之间的函数表达式，使其能够比较好的适合这些数据点并且达到误差最小。要实现这一点，我们首先要确定使用怎样的一个函数。为了找到这样的一个函数，我们先从最简单的函数做起

14、，即线性函数或者二次函数。利用MATLAB的数据拟合功能，分别可以对数据进行线性和二次拟合，在这里我们只是想直观的看一看，用线性或者二次函数能不能较好的适合这些数据。拟合出的图形见下图：从图形中可以直观的看出，房价和时间（年份）的关系更加接近于一个二次函数，这暗示了我们应该为此建立一个二次函数的回归模型。5.1.2 问题一模型的建立由上所述，我们所要建立的是一个二次函数的回归模型，使得该函数能够“最好的”表现房价与年份的关系。而什么叫做“最好的”呢？精确的来说，就是要让函数上的值与实际的值之间的差别最小。在建立数学的模型之前，首先再次明确一下变量：p是指房屋的价格，y是指时间（年份），而是由函

15、数所确定的房屋价格p的估计值。由已经讨论的内容可知，要建立的是一个回归模型，并且是使用二次函数去表现房价和时间（年份）的关系。即设： (1.1)并且找到合适的参数 ，使得达到最小值。5.1.3 问题一模型的求解这个问题相当于是要求我们找到三个参数来使得达到最小，又由于，其中和y为已知。具体求解的步骤如下：Step1：显然该函数的变量有三个，即，要求得函数的最小值，分别对这三个变量求偏导数，并令其等于0,即： (1.2)如果使用手工计算则太繁琐，所以采用了MATLAB来求解这个方程组，得到的结果是： (1.3)Step2：只是求出了这三个参数还不够，自然的想法就是再分析一下在1-=0.95的置信

16、水平下，参数，的置信区间是多少，而这个问题要是用手工求解，难度更大，所以不妨利用MATLAB提供的统计工具箱，计算出如下的数据：参数参数的估计值参数的置信区间727.4112 ,831.072355.3866 ,95.521510.9781 ,14.2018用这种方法不仅可以求出各个参数的值，还可以找到它们的置信区间。Step3：用前面求得的参数估计2010年的房价。由以上的参数，可以得到房屋价格的预测函数为，将y=2010-2007=13代入此方程，可以得到5.1.4 问题一结果的分析及验证为了分析该结果的合理性和准确性，请考虑这样的问题，如果说房价与年份之间有这么一个不为人知的但是“确定性

17、”的函数关系，而所做出的函数p=和它之间肯定是有一定误差的，不妨将此误差设为，则我们可以得到一个关系： (1.4)而如果满足某个分布，则我们可以估计2010年房价的一个合适的范围而不是一个“光秃秃”的值。所以我们先把的值列在下表：y0123456789101112-122814-2-21-34-453255118-372假设服从正态分布，即，不妨使用矩估计的方法来确定参数和的值，于是得到方程组： (1.5)据此不难解得，=102，故。绘出的概率分布如下：对此我们感兴趣的是，找到一个的阀值，使得当时，这样做的目的是，我们希望得到一个房价的区间，使2010年真实房价落在这个区间内的概率比较大 （这

18、里比较大就是取的0.7）。由概率论可以知道，由于正态分布的曲线是对称的，即,而，查表得出，所以我们得到的的阀值约为100元。综上所述，我们用最小二乘法得出了的表达式，并用此预测了2010年的房价，同时分析了与的误差，并得出结论：在70%的精确度下，2010年的房价应该在元以内。您也许会认为的标准差太大，这是可以理解的，但是请明确这样的一个问题，在3800元左右的房价面前，100块钱的误差实在是可以忽略不计了，就好比说您打算购买一套80平米的房子并且提前为此准备资金。如果您按照本模型去准备房款，那么当您实际购房时付款的出入也就是在8000元钱左右，这相比一套几十万的房子来说确实是可以忽略的。5.

19、2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二的分析为了搞清楚房价和GDP的关系，让我们先来了解一下什么是GDP，据西方经济学上的定义，GDP即在一年内，国家或地区生产（或者说是消费）的各种最终产品和劳务按当年市场价格计算的价值总和。即如果用表示消费的各种产品的数量，而用表示它们当年的价格的话，则GDP可以表示为。换句话说，人均GDP可以理解为一年中人均的消费量，或者通俗的说就是平均一个人在这年里花了多少钱。要研究房价和GDP的关系和研究房价和年份的关系有点不同，在问题一中，很显然的我们知道房价是随着年份在变化的，即可以不用怀疑的将房价看成了时间的函数。但是在本问之中，房价和GDP的关系变得微妙了

20、起来。从经济学家对GDP的定义可以看出房价会影响GDP，而GDP也会影响房价。也即它们是相互影响的，如果这样去考虑问题并且建立模型将会把我们引入一个类似“先有鸡还是先有蛋”的死循环。所以我们不妨先将GDP看成房价的函数，再把房价看成GDP的函数，从而比较那种假设更加合理。这里需要特别注意的是，无论是建立p(g)的模型还是g(p)的模型，都不能忽略时间（即年份）的影响，所以我们接下来要建立两个模型：模型1： （2.1）模型2： （2.2）5.2.2 问题二模型的建立按照我们以上的讨论，姑且先主观的将GDP看成是p的函数，即我们由西方经济学可知： (2.3)我们将其分解为用于购买房屋造成的GDP以

21、及用于其它消费造成的GDP，即： (2.4)其中c代表其他消费所造成的GDP。而代表真正由房价造成的GDP。请特别注意这一点，就像我们刚才讨论的那样。GDP不仅仅与房价有关系，它还与许多因素相关，我们把这些因素汇总在一起，将其看成时间（年份）的函数，就像问题一中我们把房价看成时间（年份）的函数是一个道理，故有： c=c(y) (2.5)好了，现在有一个问题，就是我们应该用怎样的两个函数呢？为了说明这一点，让我们来看一看GDP分别对时间（年份）和对房价的散点图：直观的来看，GDP对时间的散点图比较近似一条指数曲线，而GDP对房价的散点图近似一条直线。所以我们不妨设 （2.6）而设 (2.7)将两

22、个式子合并，则我们得到： （2.8）于是我们的模型是：替找到合适的参数，使得达到最小值。但是后来我们发现，如果用指数函数去拟合，并尝试用最小二乘法求解，计算机算不出来正确结果，所以被迫改变我们的模型，还是只好用二次函数来拟合，即式子2.7和2.8分别变为： (2.9) (2.10)则修正后的模型是：替找到合适的参数，使得达到最小值。这就是第一个模型，将GDP看成是p的函数。现在来讨论第二个模型，此时我们将把p看成是GDP的函数，仿照上一个模型，它也应该由两部分组成,即p=p(g,y)。其中，对y的描述与上个模型相同，即，而对另一个部分，我们设。则这一个最终表达式可以写成： （2.11）于是我们

23、的模型是：替找到合适的参数，使得达到最小值。这就是第二个模型，将房价看成是GDP的函数5.2.3 问题二模型的求解由于在以上的模型中，最先建立的是带有指数函数的模型，而那样导致了计算机无法求出正确解，所以在后面的模型里，不得不改用二次函数。又由于这两个模型都是有两个参数的，所以还是只能通过MATLAB提供的统计工具箱进行求解。以下是分别求解两个模型的步骤：step1：对模型1，直接调用MATLAB统计工具箱中的regress命令。求得各参数如下：参数A值7951 -5.1185-2.795200step2:对模型2，采用同样的方法，求得各参数如下：参数A值935-0.039460.133917

24、.9207在附录三中可以找到各自的误差，由于模型二的误差远远小于模型一，所以我们不再过多的讨论模型一，只写出模型二的的表达式为： (2.12)同样的，在现实中一定能找到一个确定的函数，它能够完整的反映p和(g,y)的关系，故我们不妨设，可以在附表二（1）中看到，的误差是比较小的。5.2.4 问题二结果的分析及验证这里对我的结果我想重申的是，GDP和房价的关系不像房价和时间的关系那么简单，即，我们可以简单的将房价看成时间的函数。却不那么容易说清楚房价和GDP的微妙关系。显然GDP包括了房屋销售的一部分，而且那可能还是很大的一部分。也即房价会显著的影响GDP，反过来说，GDP显然也会影响房价。所以

25、我在这个问题上建立了两个模型，分别将他们中的一个看作另一个的函数。得到了两个完全不同的模型。您也许注意到在结果中，无论谁是谁的函数，自变量里面都包括了时间甚至是时间的平方项，这我认为是必须的。因为随着社会的发展，通货膨胀和其他因素总是不可避免的。10年前的100元钱的购买力也许比现在的200元还要强大，所以要更好的研究GDP和房价的关系，我们先要排除这些所谓“其他因素”的影响。为了解决这一点，我将这些因素汇总，并将他们设置为时间的函数。所以您看到的函数关系中，包括了时间对因变量的影响。而且在我们的模型中，这个影响甚至超过了我们的主角。但是请注意到我们求解出模型一和模型二的那两个表格中的两个的值

26、，请特别注意它们的符号，您会发现他们都是负的，虽然他们负的程度都不大。但是从这个负号我们是不是可以看出，无论是房价对GDP的影响还是GDP对房价的影响都不是积极的（positive）而是消极的（negative）。特别是当我们把GDP看成房价的函数时，参数的估计值居然低达-5（相比-0.04来说）。这在某种程度上说明了过高的房价对GDP的增长略有抑制。最后我们再来讨论一下求解模型二所得到的误差，由于我们之前设了实际的房价函数，其中包括了时间和GDP对房价的影响，而则包含了我们没有考虑到的因素。由于之前的假设，由于 c=c(y) 已经囊括了所有的与时间有关的内容，所以根据假设，一定是与时间没有关

27、系的随机误差。但是，考虑到GDP与房价之间错综复杂的关系，不得不去担心仍然与时间有关，为了解除这一疑惑，我们先将列于下图，并不妨画出的散点图，以检查是否与时间有关。y0123456789101112 -2931227-8-28-503140-114-101从上图中可以看到，有5个点落在1、3象限，而7个点落在2、4象限，5和7相差不大，我们基本可以认定与时间无关。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 问题三的分析“试建立2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意”，这个问题初读起来让人摸不着头脑。故我们首先要解决的问题是，什么叫做“满意”。 再次仔细阅读题目，我们便可以

28、从中得到一些信息，即，使百姓满意的意思是“买得起房”，而对房地产商自然是“有钱可赚”。这两点毋庸置疑，而要说清楚“政府比较满意”就显得麻烦一点。我们认为，在利益的冲突中，政府总是倾向于维护人民的利益，也即，政府的满意度首先与百姓的满意度成正相关，即，只要百姓能买得起房，安居乐业，政府就满意了“一大半”了。而在百姓买得起房的前提下，政府自然是希望房地产业能够稳定的发展，以获得更多税收。在建立模型之前，让我们对已有的数据进行粗略的分析，考虑到要买房必须先有足够的收入，我们先研究一下房价的增长速率以及收入的增长速率。如下表：年份1997 1998 199920002001200220032004 2

29、005 2006200720082009房价767895 9951117126114371640195722442489280130693500增长率/16.6811.1712.2612.8913.9514.1319.3214.6610.9212.5310.5313.05收入51565138652674348475968810703113481234313630155581847219820增长率/-0.3527.0113.9114.0014.3110.486.368.4210.4314.1518.737.29收入/房价6.725.746.556.656.726.746.525.825.505

30、.475.555.965.66房价的年均增长率为：13.49% 收入的年均增长率为：11.87%不难从表中看出，房价的年均增长率大于收入的增长率，而平均年收入能购买的住房平米数自2004年起就几乎没有增长过，并且小于1997年2003年的水平。我们从另一个角度来看这个问题，我们之前谈到，人均GDP可以理解为一年中人均的消费量，或者通俗的说就是平均一个人在这年里花了多少钱。那么收入减去GDP则可以看作是人均收入的剩余。我们考虑一个三口之家，如果他们从1997年开始打算凑钱购买一套新房子（由于GDP中显然包含了住房消费，所以我们必须将住房消费从GDP中扣除掉才能进行计算。）由附表三当中的数据，20

31、06年平均消费为10000元的家庭在住房上的平均消费是1000元，即约10%。那么我们假设该家庭从1997年以来没有买房，故应从他们的人均GDP中扣除这10%。那么我们来计算一下。他们每年剩下来的钱积累起来能够买多大的一套住房，结果如下表：年份1997 1998 199920002001200220032004 2005 2006200720082009总面积7.713.522.632.342.051.760.767.472.977.581.284.587.0增加面积7.7 5.89.09.79.69.89.06.65.54.63.73.32.52这个表将问题反映的更明显，从表中可以看到，居民

32、每年剩余下来的钱所能购买的住房面积越来越少。特别是2004年之后，每年结余下来的收入所能够购买的住房量急剧下降。从以上的数据我们不难看出，房价的确是涨得太快了。接下来我们来讨论一下怎么解决这个问题，有一个“单纯”的想法是：靠国家的宏观调控抑制房价。但如此一来难免对房地产业产生不良影响，由经济学原理可以知道，如果政府强制降低住房的价格，则会导致需求增加而供给减少，后果就是使供求不平衡。所以这种做法肯定是行不通的。换个思路，我们已经在“平均GDP”，“平均房价”，“平均收入”上讨论了半天。所以不妨从“平均”这个字眼上下点功夫，您可能注意到了在我们的假设中提到了一条“二八定律”，经济学家认为，全世界

33、80%的财富掌握在20%的人手中。那么我们不妨这么去考虑问题，将我们的房价模型分成两部分，一部分为那些富人（购买第二套或更多住房的）设计，而另一部分则为广大的老百姓设计。打个调侃的比方：美国独立宣言声称人人生而平等，但是它显然忘记把人的收入也包含在内！对，既然收入是不平等的！所以房价也该不平等！您请再次注意我们之前所说的，本模型的本质是“税收”加“补贴”，以下的做法仅仅是为了简便。5.3.2 问题三模型的建立根据我们以上的分析，我们要建立一个“不平等”的房价模型，区别对待富人和普通人，并且要满足以下几个条件：1、2010年的房价（第一套房）不能涨得比收入还快。2、在降低房价的同时要保证房地产开

34、发商的利益。好了，在以下的工作之前，我们说明一下变量：为购买第一套住房平均房价，为购买多于一套住房的平均房价，而p为总的平均房价。为购买第二套住房增加的价格比例。为增加的价格比例中付给房地产开发商的部分。并且设2009年房屋的总销售量为，2010年为。重申一下假设：第一、有20%的人（富人）会考虑购买第二套房，即在当年消费的总住房数中有20%是由富人购买的。第二、对富人来说，房屋需求的价格弹性 所谓需求的价格弹性是指需求量变化的百分比除以价格变化的百分比。很小，即房价上涨几乎不会影响富人的消费计划。第三、根据参考文献中的资料，我们假定城镇住房需求（对普通人）的价格弹性在0.50.6之间，我们不

35、妨对普通人取0.6，即： （3.1） 因为我们对感兴趣，故将3.1写为： （3.2）对于，根据假设，可以知道，由于房价的变化对富人的购房计划没有影响，但会影响到普通人的消费，故2010年房屋的销售量可以用下式来描述： （3.3）将3.2代入3.3，得到： （3.4） 由于2009年还没有开始我们的新政策，故这里的 ，3500元是2009年的平均房价，故3.4式成为： （3.5）根据我们对房价的条件，并结合问题一以及本问问题分析中的数据，房价2010年的总平均房价必须满足增长率不得超过收入增长率的条件（收入的增长率为11.8%），即： （3.6）为了保证房地产业健康发展，我们同时想要保证房地产商

36、的收入，若设2009年房地产商的总收入为，2010年的收入为。不难知道，且根据3.5式，同样可以计算出，这里再次强调房地产商的利益同样需要保障，我们按照通常的“保八”的提法，认为房地产商在下一年的收入应该大于这一年的108%，即，即： （3.7）当然我们还需要一些条件，虽然说这是一个“不公平”的模型，但是我们也不能像对待土豪劣绅那样对待有钱人，根据在互联网上查到的一些数据，设，即，购买第二套住房每平米比正常贵40%。我们也不能太便宜房地产商了，所以令中只有是给开发商的，其余的部分作为国家的税收。显然有，所以3.7式变成了： （3.8）最后，在房价变动不太大的情况下，为了计算简便，我们设 （3.

37、9）好了，综上所述，我们要建立的模型一是： （3.10）这个模型的意义在于，既保证了房地产商的收入，并且降低了购买第一套住房的价格。而且如果小于0.4，还可以为国家增加收入。好了，现在我们对模型一进行一下修正，您也许注意到，当讨论需求的价格弹性时，我们使用的基数是3500元，即2009年的房价。如果我们考虑到经济的增长，老百姓可以接受的价格可能会比3500元高。于是我们不妨重新把这个值设置的大一些，如3780元，即比3500元高8%，这样做是有道理的，因为之前我们在讨论房地产开发商的利润时就使用到了8%这个数值。除了这一点，模型一还有一个需要改进的地方，即我们一开始认为房价不会对富人的消费造成

38、影响，但是就如我们在假设中说的那样，房价的上涨虽然对富人影响不大，但是毕竟还是有影响的，所以我们不妨重新认为房屋需求的价格弹性对富人为0.5。（取0.5的依据见附录4）所以我们的模型变为： （3.11）5.3.3 问题三模型的求解不难看出我们建立的是一个非线性最优化模型，而这种模型使用lingo求解起来非常的方便，所以我们直接使用软件对两个模型分别进行求解，lingo程序被放在了附录中。很有意思的是，根据我们的模型一居然求出了元，=0.4的结论，也就是说，在2010年的房价模型中，2010年的购买第一套房的房价维持在2009年的水平上，而购买第二套房的价格提高40%，即元。而这个结果可以保证房

39、地产商的收入比前一年增加8%。而在模型二中，我们求出了，=0.4，。这个模型同样可以保证房地产商的收入比前一年增加8%。5.3.4 问题三结果的分析及验证在模型一中，我们主要保证了百姓购买第一套住房的价格最低，在此基础上保证了房地产商的利益。虽然求解出等于0.4，即政府没有直接从这套政策中获得额外的税收，但是由于房地产商的收入增加了8%，自然的房地产税收也会因此增加，这样，对政府来说也是满意的。如果不讨论弹性系数对第一套住房销量的影响，我们还可以大致估计一下该年真正平均住房的价格大约为（元），考虑到我们在问题一中计算出的结果，=100，而这里算出的p几乎是落在了这个范围内的，也就是说，我们的结

40、果还不算离谱。再次说明一下，这套模型的本质是国家强制对购买多于一套住房的高收入人群征收房产税以补贴低收入人群的购房。因此，在这里相当于是国家补贴了低收入人群3780-3500=280元/平米，只不过说这280元最终还是进了房地产商的腰包，这也就是为什么我们不绕弯子，而直接让房地产商提高购买多于一套住房价格的原因。当修正了模型后，即重新认为房屋需求的价格弹性对富人为0.5，并且认为在2010年，由于收入的增加，老百姓的经济承受能力比2009年大。可以看到，用修正后的模型，我们计算出的房价平均值与之前差别不大。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价我最先想说的是本文的模型总体看起来比较简单，但请注

41、意这是褒义而不是贬义，因为从哲学上讲，复杂的东西不见得比简单的来的优秀。如果一个问题可以用更容易的方法解决那么我们是绝不提倡用复杂的办法。我想用举一个微积分的例子来说明这一点：如果我们想在高维上反映边缘和内部的关系，当然Gauss公式和stokes公式是不错的，但是它们都太难了，相对更简单的外微分形式岂不很好？在问题一中，我们不仅建立了房价的预测模型，而且找出了模型与实际数据间的误差，而后对这些误差进行了参数估计并且大致找到了误差的分布函数。这样，我们预测出的房价就不只是一个“光秃秃”的值，而是一个范围，大大增加了模型的可信度。在问题二中，由于房价和GDP之间微妙的关系，我们建立了两个模型，先

42、将GDP看成是房价的函数，然后将房价看成是GDP的函数，分别进行回归分析，最后以误差的大小来判断模型的优劣，这样做比单纯建立一个模型要好的多。在处理问题三的时候，本文创造性的将购房的人群分为了两类，并分别对两类人建立了房价的模型。显然这样的处理方法更加精细。最后我想说的是，本文的模型还需要很多不足，如在问题二中，本来是想建立一个多变量的含指数函数的模型，后来因为计算的原因放弃了。导致了建立的模型仍然停留在二次函数上。而在问题三的第二个模型中，当讨论到2010年老百姓的经济接受能力时，我们只假设了它随经济的增长而有所提高，显然这个做法比较粗糙。6.2 模型的推广我们认为，模型一和模型二的方法可以

43、适用于多种预测和回归模型，因为做这些预测的基本思路是一定的。并且模型二处理GDP和房价关系的办法值得推广，即当我们搞不清楚两个量中哪个是自变量，哪个是因变量的时候，不妨建立两个模型并加以比较。而在模型三中，我们对于不同的人群建立了不同的模型，但最后保证总的平均落在合理的范围内，这种思想或许是值得借鉴的。七、参考文献1 姜启源等, 数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月2 沈恒范，概率论与数理统计（第四版），高等教育出版社 3 新浪网 房地产业，被误读的GDP支柱，4邹至庄 普林斯顿大学,牛霖琳 厦门大学王亚南经济研究院,中国城镇居民住房的需求与供给，2009 年8 月5许纯祯等，西

44、方经济学（第三版），高等教育出版社，2009年8月八、附录8.1 附录清单附录1：求解问题一的程序以及中间数据附录2：求解问题二的程序以及中间数据附录3：求解问题三的lingo程序即引用的外部结论、数据8.2 附录正文附录1：求解问题一的程序以及中间数据（1） MATLAB程序1（2） % Y是年份，以2007年为第0年，P为房价（3） Y=0:2009-1997;（4） P=767 895 995 1117 1261 1437 1640 1957 2244 2489 2801 3096 3500;（5） fPY1=polyfit(Y,P,1); %线性拟合（6） fPY2=polyfit(Y

45、,P,2); %二次拟合（7） t=0:0.1:2009-1997; （8） PY1=zeros(size(t);（9） PY2=zeros(size(t);（10） PY1=polyval(fPY1,t); （11） PY2=polyval(fPY2,t);（12） plot(Y,P,*,t,PY1,-,t,PY2);（13） legend（2）MATLAB程序2% Y是年份，以2007年为第0年，P为房价Y=0:2009-1997;P=767 895 995 1117 1261 1437 1640 1957 2244 2489 2801 3096 3500;P1=zeros(length(

46、P),3)；%由于使用二维拟合，故P1应该为3*13的矩阵，第一列为1，第二列为Y，第三列为Y的平方P1(:,1)=1；P1(:,2)=P；P1(:,3)=(P.2)；b,bint,r,rint,stats=regress(Y,P1)；（3）MATLAB程序2 x=-150:1:150; y=zeros(length(x); y=39/10000.*exp(-1/(2*1022)*x.2); plot(x,y)（4）用统计工具箱求解的中间数据：Y1 = 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 4 16 1 5 25 1 6 36 1 7 49 1 8 64 1 9 81 1 10 100 1 11 121 1 12 144b = 779.2418 75.4540 12.5899bint = 727.4112 831.0723 55.3866 95.5215 10.9781 14.2018r = -12.2418 27.7143 14.4905 -1.9131 -21.4965 -34.2597 -45.2028 32.6743 55.3716 10.8891 8.2268 -36.6154 2.3626其中，b即我们求出的系数，bin