理论力学第九章

1、OCh身体重心身体重心杆的重心杆的重心OA(x,y,z)BrmvhyxzikjMo(mv) MO(mv) =mvh=2OAB MO(mv)定位矢量定位矢量oxyzxyzijkMmvr mvxyzmvmvmvMmv iMmv jMmv k Mo(F)Mo(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzFOriviyxzm1mim2ii)(vrvMLmmiiOO)(iizzmMLvzzOLLrimi令：令： 对于其质量为连续分布的刚体，对于其质量为连续分布的刚体，则上式成为定积分则上式成为定积分 若设想刚体的质量集中于若设想刚体的质量集中于离离z轴距离为轴距离为 处，令处，令Jz=M ，则称之为对，则称之

2、为对z轴的轴的回转半径。回转半径。z 2z CBAlxdxxz 计算均质细长杆对通过质心计算均质细长杆对通过质心轴的转动惯量轴的转动惯量Jzz ROz 计算均质细圆环对中心轴计算均质细圆环对中心轴(垂直垂直于圆环平面于圆环平面)的转动惯量的转动惯量Jz。质量为。质量为m。解：解：取一环状微元体，则有取一环状微元体，则有dm dds22020222mRdmRdmRJz RO22022212mRdRmrmJRiiCz dRmdRmdARmdm22222 zz1x1y,y1xCOdmrr1yy1x=x1z=z1lOCdm1m2CBAzCzl。221mrJC 2meJJCO 2221memr )er(

3、m22221 OOJL )er(m22221 OCre 2a2maammOJ支座的转动惯量计算图示刚体绕固定铰O其中：其中：P)(22RgWJWRaOm2gAm1gBr4r3Oxy 质量为质量为m3、m4的均质圆盘结合在的均质圆盘结合在一起并绕一起并绕O轴转动。已知轴转动。已知m2m1。 运动演示运动演示解：解：取整个系统为研究对象，并取逆时针取整个系统为研究对象，并取逆时针的动量矩为正，则两圆盘的动量矩为的动量矩为正，则两圆盘的动量矩为2213 34 41122zzLJm rm r两重物的动两重物的动量矩分别为量矩分别为整个系统的动量矩为整个系统的动量矩为22223 34 41 32 411

4、22zzLmmvm rm rm rm rm2gAm1gBr4r3Oxy 由动量矩定理由动量矩定理 ，得，得 ezzFmdtdL22223 34 41 32 413241122dm rm rm rm rdtm grm gr所以圆盘的角加速度为所以圆盘的角加速度为 24242232313112rmrvmLrmrvmLZZ=grmmrmmrmrm2442233142312121 小球小球A，B以细绳相以细绳相连。质量皆为连。质量皆为m，其余构件质，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕量不计。忽略摩擦，系统绕z轴轴自由转动，初始时系统的角速自由转动，初始时系统的角速度为度为0。当细绳拉断后，求各。当细绳

5、拉断后，求各杆与铅垂线成杆与铅垂线成角时系统的角速角时系统的角速度度 。 运运动动演演示示 此系统所受的重力和轴承的此系统所受的重力和轴承的约束反力对于转轴的矩都等于零，约束反力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。因此系统对于转轴的动量矩守恒。 解解:BaAavv2BrArvvu2BrArBaAavvvv对本章开始时的爬绳比赛对本章开始时的爬绳比赛的分析的分析rimiaCO 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是知复摆的质量是 m，重心，重心 C 到转轴到转轴 O 的距离的距离 OC = a，复摆对转轴，复摆对转轴 O 的转动惯量是的

6、转动惯量是JO ，试求复摆，试求复摆的微幅摆动周期。轴承摩擦和空气阻力不计。的微幅摆动周期。轴承摩擦和空气阻力不计。)sin(0tJmgaO 飞轮对飞轮对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO，以角速度，以角速度O绕水平的绕水平的O轴转轴转动，如图所示。制动时，闸块给动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力轮以正压力FN。已知闸块与轮之。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为间的滑动摩擦系数为f，轮的半径，轮的半径为为R，轴承的摩擦忽略不计。求制，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间动所需的时间t。 OFNF(O轴处得约束反力没有画出轴处得约束反力没有画出)RFfJtNO0OCmgFOyFOxRg32,

7、xcxFma, ycyFmam ll/43l/4AOBm ll/43l/4AOBm求求O处约束反力处约束反力m ll/43l/4AOBmm求求O处约束反力处约束反力求求O处约束反力处约束反力求求O处约束反力处约束反力m 2ll/23l/2AOB 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。解解：选T 字型杆为研究对象。受力分析如图示。 rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 081217225 . 025. 0 mgmgJO22221217121

8、31mlmlmlmlJO由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程由质心运动定理，得OxxCxCFmama21mgmgFmamaOyyCyC21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221xCxCOxaamFN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982OyF, xcxFma, ycyFma一般情形下，应该以定点、定轴或质心一般情形下，应该以定点、定轴或质心(平移系平移系)为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心的速度瞬为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心的速度瞬心，对质心心，对质心(平移系平移系)动量矩定理与对定点的动量矩动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。定理形式相同。动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。力学问题。对于定轴转动问题，对于定轴转动问题，系统