概率论与数理统计第五章习题课

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第五章习题课大数定律大数定律一、主要内容一、主要内容中心极限定理中心极限定理切比雪夫定理特殊情况切比雪夫定理特殊情况伯努利大数定理伯努利大数定理辛钦大数定理辛钦大数定理依概率收敛依概率收敛林德伯格林德伯格- -勒维定理勒维定理棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理二、重点与难点二、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.中心极限定理的应用中心极限定理的应用.切比雪夫定理的特殊情况切比雪夫定理的特殊情况有有数数则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均个随机变量个随机变量作

2、前作前和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一种形式定理一的另一种形式(依概率收敛依概率收敛). , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则序列则序列和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量伯努利大数定理伯努利大数定理有有则对于任意正数则对于任意正数率率在每次试验中发生

3、的概在每次试验中发生的概是事件是事件的次数的次数发生发生次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件是是设设 , 0 , , ApAnnA. 0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或辛钦大数定理辛钦大数定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有数学期望且具有数学期望服从同一分布服从同一分布相互独立相互独立设随机变量设随机变量有有则对于任意正数则对于任意正数, . 11lim1 nkknXnP独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机

4、变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn .111 nkknkknkknXDXEXY标准化变量标准化变量满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim棣莫弗拉普拉斯中心极限定理棣莫弗拉普拉斯中心极限定理恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 设某单位有200台电话机，每台电话机大约有5的时间要使用外线通话，若每台电话机是否使用外线通

5、话是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用。 设X表示200200台电话机中同时需要使用外线通话的电话机数，则X Xb(200,0.05)b(200,0.05)，并设安装了k k条外线，依题意为求 PXk0.9PXk0.9 成立的最小正整数。根据中心极限定理有三、典型例题三、典型例题 解解: :9 . 0)5 . 910(5 . 9105 . 910kkXPkXP查表得 14,30.15 .910kk故该单位至少需要安装14条外线才能以90以上的概率保证每一台电话机需要使用外线时不被占用。 现有一批种子现有一批种子,其中良种占其

6、中良种占1/6.今任取今任取6000粒粒,问能以问能以0.99的概率保证在这的概率保证在这6000粒种子中粒种子中良种所占的比例与良种所占的比例与1/6的差不超过多少的差不超过多少?相应的良相应的良种粒数在哪个范围内种粒数在哪个范围内?解解: :.99. 061-6000P X，则则应应有有：设设不不超超过过的的界界限限为为由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: 61-6000P X 6/56/1600060006/56/160006/16000P X故近似地有故近似地有:,99. 016/56/1600060002 16/56/1600060002 . 6/1,6000 pn)(lim

7、xxnpqnpPnn ,995. 06/56/160006000 即即,58. 26/56/160006000 查查表表得得.0124. 0 解解得得良种粒数良种粒数X的范围为的范围为:,6000)0124. 06/1(6000)0124. 06/1( X61-6000X.1075925 X即即第四章第四章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理nXXX,21设设独立同分布独立同分布,则则且且, 0 iEX._)(lim1 nXPniin由辛钦大数定律由辛钦大数定律(取取 =1)有有:, 1)11(lim)101(lim11 niinniinXnPXnP又显然有又显然有:故故),()11

8、(11nXXnniinii . 1)11(lim)(lim11 niinniinXnPnXP. 1, 1)(lim1即应填即应填从而有从而有 nXPniin 对足够多的选民进行民意调查，以确定某一候选人的支持率。假定选民中有未知的百分数P支持他，并且他们彼此是独立行动的。问：为了有95的信度预测P的值在4.5的误差幅度内，应至少调查多少人？|(1)(1)(1)(1)(1)nnnnpnPpPnppnppnpnnPppppnpp nn 假假设设 应应该该调调查查 个个人人，其其中中有有个个人人支支持持他他，误误差差为为 ，则则根根据据中中心心极极限限定定理理有有解解: :2 ()10.95,(1)

9、()0.975,(1)1.96(1)nppnppnpp 查查表表得得214.5%,0(1)411.96()474.34 4.5%475,475ppnn 又又故故取取即即最最少少调调查查个个人人。 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1) 至少命中180发炮弹的概率;(2) 命中的炮弹数不到200发的概率.解解: : 设设 X k 表示第表示第 k 次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数2()2,()1.5 ,1,2,100kkE XD Xk12100,XXX相互独立

10、，相互独立，设设 X 表示表示100次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数, 则则1001,()200,()225,kkXXE XD X ( 2 0 0 , 2 2 5 )XN近似由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理, 有有(1) 180200(180)115P X (2)200 2000 200(0200)1515PX 1( 1.3)(1.3)0.91 (0)( 13.33)0.5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/31/3. 令X X 是出售了100100份报时过路人的数目，求 P P (280 (280 X X 320 320).). 令令Xi 为售出

11、了第为售出了第 i 1 份报纸后到售出份报纸后到售出第第i 份报纸时的过路人数份报纸时的过路人数, i = 1,2,100 11/3()1,1,2,kipP Xkppk (几何分布几何分布)21/31/311()3,()6iipppE XD Xpp 解解: :1001kkXX 12100,XXX相互独立相互独立,()300,()600E XD X (300,600) ()XN近近 似似320 300280 300(280320)600600PX 2021600 20.81651 0.5878 由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理, 有有 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率. 若在若在 8 小时内检查的产品多于小时内检查的产品多于1900个个,即检查即检查1900个产品所用的时间小于个产品所用的时间小于 8 小时小时.设设 X 为检查为检查1900 个产品所用的时间个产品所用的时间(秒秒)设设 Xk 为检查第为检查第 k 个产品所用的时间个产品所用的时间(单单位：秒位：秒), k = 1,2,1900解解: : XkP 10 200.5