电大第三版常微分方程答案

1、习题1.21=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=3= 解：原方程为：=dy=dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程

2、为： dy=-dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： =-令=u 则=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程为： =+-则令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：=两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 +=0

3、 解：原方程为：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：=ln令=u ,则=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程为：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,则=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,则=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+

4、x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程为：=（x+4y）+3令x+4y=u 则=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 证明： 令xy=u,则x+y= 则=-，有： =f(u)+1 du=

5、dx 所以原方程可化为变量分离方程。1） 令xy=u 则=- (1)原方程可化为：=1+（xy） (2)将1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x - y= y - x y 则 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。解：由题意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则y=tgx 所以 c=1 y=x.19.证明曲线上的切线

6、的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx 则：y=kx +c 即为所求。 常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3 解：原式可化为： 12解1516解： ，这是齐次方程，令17. 解：原方程化为 令方程组则有令当当另外 19. 已知f(x).解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0

7、)=0. x(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n为常数.解：原方程可化为： 是原方程的解.5+=解：原方程可化为：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 则 =u因此：= （*） 将带入 （

8、*）中 得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令 p(x)= q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式 =14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 p（x）= q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = =15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以 令 = p(y)=-2y q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 =16 y=+p(x)=1 q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = =c=1y=17 设函数(t)于t0,使得又是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数使得从而故上面方程的每一个

9、解在上有界b) 时，当tn时由a)的结论故时，原命题成立 11、给定方程组 （5.15）这里a(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数f(t,x)在，上连续，试证明初值问题： （*）的唯一解是积分方程组 （*）的连续解。反之，（*）的连续解也是初值问题（8）的解。证明：若是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式即（*）的解满足（*）反之，若是（*）的解，则有两边对t求导：即（*）的解是（*）的解习题5.31、 假设a是nn矩阵，试证：a) 对任意常数、都有exp(a+a)=expaexpab) 对任意整数k,都有(expa)=expka (当k是负整数时，规定

10、(expa)(expa)证明：a) （a）（a）（a）（a） exp(a+a)= expaexpab) k0时，(expa)expaexpaexpa exp（a+a+a） expka k0 (expa)(expa)=exp(-a) = exp(-a)exp(-a)exp(-a) exp(-a)(-k) expka 故k，都有(expa)=expka2、 试证：如果是=ax满足初始条件的解，那么expa(t-t)证明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因为(t)= expat , -1(t0)=( expat0)-1= exp(-at0), f(s)=0,又因为矩阵 （at）（- at0

11、）=（- at0）（at）所以 expa(t-t)3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（ea）=(5)(+1)=0=5, =1对应于=5的特征向量u=, ()对应于=1的特征向量v=, ()b) det（ea）=(+1)(+2)(2)01，2，2对应于1的特征向量u1， （ 0 ）对应于2的特征向量u2， （ ）对应于2的特征向量u3， （ ）c）det（ea）=(+1)2(3)0 1（二重），3对应于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）对应于3的特征向量v, （ ）d) det（ea）=(+3)(+1)(+2)=0 1，2，3 对应于1的特征向量u1， （ 0 ） 对应于2的特征向量u2， （ ） 对应于3的特征向量u3， （ ）4、 试求方程组=ax的一个基解矩阵，并计算expat，其中a为：a） b）