Ch8 变形及刚度计算

1、 8 1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 8 2 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 8 3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8 4 简单超静定问题简单超静定问题内内 容容 提提 要要第八章第八章 变形及刚度计算变形及刚度计算 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形FF一、轴向拉压杆的变形一、轴向拉压杆的变形l0 lll1 1ld1d纵向伸长、横向缩短纵向伸长、横向缩短纵向伸长量：纵向伸长量：横向缩短量：横向缩短量：0 ddd1 1) 轴向拉伸轴向拉伸 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形FFl1ld1d0 lll1纵向缩短、横向伸长纵向缩短、横

2、向伸长纵向缩短量：纵向缩短量：横向伸长量：横向伸长量：0 ddd12) 轴向压缩轴向压缩结论结论： 绝对变形量不足以描述变形的程度绝对变形量不足以描述变形的程度。讨论：下列两杆件哪一个变形更严重讨论：下列两杆件哪一个变形更严重F1F1l1l（a）F2F2l+a1la（b） 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形表示单位长度线段变形的表示单位长度线段变形的应变应变恰好可以恰好可以描述变形的程度。描述变形的程度。FFl1ld1d lll11、纵（轴）向变形量：、纵（轴）向变形量：2、横向变形量：、横向变形量： ddd1FFl1ld1d轴向

3、线应变：轴向线应变：ll 横向线应变：横向线应变：dd3、线应变的符号约定：、线应变的符号约定： 与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形二、轴向拉压杆的变形计算二、轴向拉压杆的变形计算EENFANFEAllll =NF llEA上式表明上式表明:EA愈大，愈大，l愈小。或者说，愈小。或者说， EA反映了杆反映了杆件抵抗变形的能力，称为杆件的

4、抗拉（压）刚度。件抵抗变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。1) 轴向变形轴向变形 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 =NF llEA上式的适用条件：线弹性条件下，在上式的适用条件：线弹性条件下，在l长度上长度上EA和和FN均为常数。即杆件变形均匀，均为常数。即杆件变形均匀，=常数常数。若若EA和和FN分段为常数分段为常数i iiiNF llEA=若若EA和和FN连续变化连续变化 dlxxxNFlEA= 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。压缩

5、沿纵向缩短时，横向则伸长。FFb1h1bh横向线应变：横向线应变：11-hhhhhbbbbbll 轴向线应变：轴向线应变：实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：v或：或：v v 称为称为泊松比，量纲为一常数泊松比，量纲为一常数负号表示纵向与横负号表示纵向与横向变形的方向总是相反向变形的方向总是相反l1l 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形2) 泊松比泊松比材料名称材料名称E（GPa）v钢钢2002200.240.30铝合金铝合金70720.260.33铸铁铸铁801600.230.27混凝

6、土混凝土15360.160.20木材（顺纹）木材（顺纹）812-硅石材硅石材2.73.50.120.20几种常见材料的几种常见材料的E和和v值值 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求杆的总变形求杆的总变形。弹性模量弹性模量材料的材料的积，受力如图。积，受力如图。已知杆的长度、截面面已知杆的长度、截面面例例MPa10125 .E画轴力图画轴力图EAlFLLLLLLNDECDBCABiAE10KN40KN20KN+FN图图0.762mm250102.1101

7、1040L533AB0.381mm250102.11021010L533BC0.238mm200102.11011010L533CD 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1mFN图图AEL0.7620.381 0.2381.429 1.572mm 33DE52010310L2.110200 1.429mm 即杆被压短了即杆被压短了1.572mm1.572mm 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的

8、变形轴向拉压杆的变形下下的的伸伸长长量量。求求自自重重作作用用长长抗抗拉拉刚刚度度等等直直杆杆容容重重为为例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11 GAlql b c解：解：把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q qAA任意取一个截面任意取一个截面1 11 1，画受力图。，画受力图。qy(y)FN在在1 11 1截面处取出一微段截面处取出一微段dydy作为研究对象，受力如图。作为研究对象，受力如图。由于取的是微段，由于取的是微段，dFdFN N(y)(y)可以忽略，认为在微段可以忽略，认为在微段dydy上轴上轴力均匀分布（常数）力均匀分布

9、（常数）dy(y)dF(y)FNNqy(y)FN 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形轴力轴力 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FNEA(y)dyFLdN2EAAL2EAqLEAqydyEA(y)dyFLdL22L0LNL 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形注注：FN(y)dy相当于轴力图的微面相当于轴力图的微面积积dy(y)NF 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALA

10、L2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FN结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。中力作用在杆端所引起的变形量的一半。LEAG G另取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作另取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为用在自由端，此时杆件的伸长量为EAGLL1LL2 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形

11、2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 2-6 2-6 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 8-1 8-1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形抗扭刚度抗扭刚度扭率：扭率：ddTpMxG I扭率扭率（单位长度上的扭转角）（单位长度上的扭转角）描述了扭转变形的剧烈程度描述了扭转变形的剧烈程度pG I扭转角：扭转角： 0ddlTplMxxxGIx单

12、位：单位：radrad 8-2 8-2 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形 0ddlTplMxxxGIxTpM lGI当在杆长当在杆长l内扭率为常数时内扭率为常数时当在杆长当在杆长L L内扭率分段为常内扭率分段为常数时，用数时，用求和公式求和公式Ti ipiM lGI 8-2 8-2 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算二、刚度条件二、刚度条件 TpMGI以度每米为单位时以度每米为单位时以弧度每米为单位时以弧度每米为单位时 180TpMGI许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角（1 1）校核强度）校核强度（2 2）设计截面

13、）设计截面（3 3）确定荷载）确定荷载 rad/m/m刚度条件刚度条件刚度条件的应用刚度条件的应用已知已知T T 、D D 和和 已知已知T T 和和 已知已知D D 和和 8-2 8-2 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算例题：圆轴如图所示。已知例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用剪应力材料的许用剪应力 =40MPa，轴的，轴的许用单位扭转角许用单位扭转角 =0. 8/m，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的。试校核该轴的扭转强度和刚度。扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m 8-2 8-2 圆轴扭转时的

14、变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m解：强度校核解：强度校核MPaWTt6301611010836222.+8KN.m3KN.mT T图图1 12 2MPaWTt236167510336111. MPa2361.max满足强度条件满足强度条件分析：虽然分析：虽然T TABABT0M 0 , M 0曲线向下凹曲线向下凹 时时 ： y 0因此因此, , M M 与与 y的正负号相反的正负号相反oxy zEIxM)(2321)( yyzEIxMyy)()( 2321 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-2

15、 8-2 梁的挠曲线的近似微分方程梁的挠曲线的近似微分方程zEIxMy)(此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（或称为小挠度微分方程）梁的挠曲线近似微分方程（或称为小挠度微分方程）近似原因近似原因: (1) : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; (2) ; (2) 略去了略去了 y y 2 2 项。项。2y与与 1 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计, , 故上式可近似为故上式可近似为zEIxMyy)()( 2321 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 zEIx

16、My)(梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程1）公式推导）公式推导再积分一次再积分一次, , 得挠度方程得挠度方程上式积分一次得转角方程上式积分一次得转角方程CM(x)dxyEIEIZZDCxM(x)dxyEI2z式中式中C C 、D D称为称为积分常数积分常数，可通过梁挠曲线的，可通过梁挠曲线的位移边界条件位移边界条件和和变形连续条件变形连续条件来确定。来确定。三、用积分法求梁的变形三、用积分法求梁的变形 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 AB0yA0yB0yA0 AAB在简支梁中，在

17、简支梁中， 左右两铰支座处的挠度左右两铰支座处的挠度 y yA A 和和 y yB B 都应等于零（都应等于零（边界边界）；）；C C左、左、C C右截右截面的面的挠度挠度 、转角相等（、转角相等（变形连续变形连续）。）。在悬臂梁在悬臂梁 中，固定端处的挠度中，固定端处的挠度 y yA A和转角和转角 A A 都应等于零。都应等于零。2）位移边界条件和变形连续条件）位移边界条件和变形连续条件位移边界条件：位移边界条件：y yA A 0 0 ，y yB B 0 0位移边界条件：位移边界条件：y yA A 0 0 ， A A 0 0注意：位移边界条件在支座处注意：位移边界条件在支座处 变形连续条件

18、在分段点变形连续条件在分段点变形连续条件：变形连续条件：CyyCC2121CCy yC1 C1 y yC2C2， C1 C1 C2C2 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。条件确定。AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0Ay 0Ay 0AAy 位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件ALARyyARAL ALARyy 弹簧变形弹簧变形 8-1 8-1 概述概述 8-3

19、8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 注注 意意 当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。方程也随之而异。ABFDabl 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 1 1、正确分段，分别列弯矩方程；、正确分段，分别列弯矩方程；

20、2 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程；分得挠度方程；3 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。步步 骤骤注意：注意：1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处；点处；2、分、分n段，就要列段，就要列n个弯矩方程，就有个弯矩方程，就有n个转角方程和个转角方程和n个挠度方程，因此就有个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出个积分常数，就必须列出2n个补充方程（边界条件和变形连续条件）个补充方程（边界条件和变形

21、连续条件） 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 CDAFB例题例题 ：用积分法求位移时，：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。界条件和变形连续条件。3m3m2mq解：分解：分ACAC、CBCB、BDBD三段三段1位移边界条件：位移边界条件：变形连续条件：变形连续条件：y yA A 0 0y yC1 C1 y yC2C2， C1 C1 C2C223应该列

22、应该列6 6个补充方程个补充方程y yB2 B2 y yB3B3， B2 B2 B3B3A A截面：截面：x x1 1=0=0时，时，C C截面：截面：x x1 1=x=x2 2=3m=3m时，时，B B截面：截面：x x2 2=x=x3 3=6m=6m时，时，B B截面：截面：x x2 2=x=x3 3=6m=6m时，时，y yB B 0 0 x 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 例题例题 ：图示一抗弯刚度为：图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁, , 在自由端受一在自由端受一集中力

23、集中力 P P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, , 并并确定其最大挠度确定其最大挠度 y ymaxmax 和最大转角和最大转角 max max 。 lyABxP P 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 (1) )()(xlPxM弯矩方程为弯矩方程为解：解：挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为(2) )( PxPlxMEIyx)(xMyEI lyABxP P(3) 212CPxPlxEIy对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分)4(6

24、22132CxCPxPlxEIy 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 0,00,0yxyx边界条件为边界条件为 ：C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0将边界条件代入将边界条件代入(3) (4)(3) (4)两式中两式中, ,可得可得(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyxlyABxP P 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 C C1 1=0 C=0 C2 2=

25、0=0(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIy梁的转角方程和挠度方程分别为梁的转角方程和挠度方程分别为EIPxEIPlxy22EIPxEIPlxy6232xlyABxP P 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 max max 及及 y ymaxmax都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处（ ）EIPlyylx33|maxlyABxP PfmaxmaxEIPlEIPlEIPllx22222|max（ ）ymax 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及

26、刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 例题：例题： 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁, , 在全梁上受在全梁上受集度为集度为q q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程转角方程, , 并确定其最大挠度并确定其最大挠度 y ymax max 和最大转角和最大转角 max max 。lABq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 2qlFFRBRAlABq解解: : 由对称性可知，梁

27、的两个支反力为由对称性可知，梁的两个支反力为RARBFRAFRB弯矩方程为弯矩方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为 221222)()(xlxqqxxqlxMx 22)()( xlxqxMEIyx x 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算lABqRARBFRAFRB挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分x 22)()( xlxqxMEIy(c)CxlxqEIy132)32(2(d)CxCxlxqEIy2143)126(2x x 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位

28、移 lABqRARBFRAFRBxCxlxqEIy132)32(2CxCxlxqEIy2143)126(2边界条件为边界条件为 ：,0 x0y, lx 0yx x02 C2431qlC 梁的转角方程和挠度方程分别为梁的转角方程和挠度方程分别为)()(3233232244624xlxlEIqxyxlxlEIqy 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 maxABEIql243 xlABqB在在 x=0 和和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值， ARARBFRAFRB 梁的转角方程和挠度方程分别为梁的转角方程和挠度方程分别为)()(3233232

29、244624xlxlEIqxyxlxlEIqy 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 EIqlyylx384542max由对称，在梁跨中点由对称，在梁跨中点 l/2 处有处有 最大挠度值最大挠度值ymax xlABqB A 梁的转角方程和挠度方程分别为梁的转角方程和挠度方程分别为)()(3233232244624xlxlEIqxyxlxlEIqyRARBFRAFRB maxABEIql243 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁

30、的位移积分法计算梁的位移 例题例题 ：图示一抗弯刚度为：图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, , 在在D D点处受一点处受一集中力集中力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求并求D D截面的挠度和截面的挠度和A A、B B截面的转角截面的转角ABPDabl 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 lbPFRAlaPFRB解：梁的两个支反力为解：梁的两个支反力为ABPDablRARBFRAFRB)(axxlbPxFMRA0112)()(lxaaxPxlb

31、PM2xx1 1、分两段分别列弯矩方程、分两段分别列弯矩方程 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 2、两段梁的挠曲线方程分别为、两段梁的挠曲线方程分别为xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程( 0 x a)( a x )l)(axxlbPxFMRA01)()(lxaaxPxlbPM2可见，梁分两段

32、，就有可见，梁分两段，就有4个积分常数个积分常数 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 D D点的连续条件：点的连续条件：在在 x1x2 = a 处处21yyyy21边界条件边界条件在在处，处，在在x = 0处，处，01ylx 02yABPDabl12RARBFRAFRB3 3、边界条件和变形连续条件、边界条件和变形连续条件 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 代入方程可解得：代入方程可解得：021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCx

33、lbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6在在处，处，在在x = 0 处，处，01ylx 02y在在 x1x2 = a 处处21yyyy21 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度

34、方程挠度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 )(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332lEIblPabxA601)(|将将 x = 0 和和 x = l

35、分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角lEIalPabB6)(max当当 a b 时时, , 右支座处截面的右支座处截面的转角绝对值为最大转角绝对值为最大lEIalPablxB62)(|ABPDabl12RARBFRAFRB 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-3 8-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移 )(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332AB

36、PDabl12RARBFRAFRBD截面的挠度：截面的挠度：把把x=a代入代入y1或者或者y2，得，得)(2226abllEIPaby|ax 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移：梁在小变形、弹性范围内工作时梁在小变形、弹性范围内工作时， 梁梁在几项荷载（可以是集中力在几项荷载（可以是集中力, , 集中力偶或分布力）集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项

37、荷载所引起的当每一项荷载所引起的（如均沿（如均沿 y y 轴方向轴方向 ), ), 其其( ( 如均在如均在 xy xy 平面平面内内 ) ) 时时, ,则则。叠加原理叠加原理四、用叠加法求梁的变形四、用叠加法求梁的变形 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移叠加法的分类叠加法的分类直接叠加直接叠加梁上荷载可以化成若干个典型荷载，梁上荷载可以化成若干个典型荷载，每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直接叠加；接叠加；间接叠加间接叠加梁上荷载不能化成直接查表的

38、若干梁上荷载不能化成直接查表的若干个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表中结果进行叠加计算。中结果进行叠加计算。 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移例题：例题：一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度试按叠加原理求梁跨中点的挠度 yC 和支座处横截面和支座处横截面的转角的转角 A 、 B 。A AB BmlC Cq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及

39、刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移解：将梁上荷载分为两项解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图简单的荷载，如图b b、c c 所所示示(b)(b)A AB BmlC CqB BA AC CqB BA AmC C(C) 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移yyyCmCqCAmAqABmBqB)(16384524EImlEIqlycqycmAqAmBqBmA AB BmlC CqA AC CqA AmC CEImlEIql3243( )EImlEIql6243( )查表，得查表，得 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移例题：试利用叠加法，

40、求图所示抗弯刚度为例题：试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为 EI 的的简支梁跨中点的挠度简支梁跨中点的挠度 y yC C 和两端截面的转角和两端截面的转角 A A , , B B 。l2lABC Cq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移解：解： 可视为正对称可视为正对称荷载与反对称荷载荷载与反对称荷载两种情况的叠加。两种情况的叠加。l2lABC CqABC Cq/2C CA AB B2q2q 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移EIqlEIlqyC768538425441)(（1 1

41、）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下EIqlEIlqBA482423311)(ABC Cq/2 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移（2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下可将可将ACAC段和段和BCBC段分别视为受均布线荷载作用且长度段分别视为受均布线荷载作用且长度为为 在跨中在跨中C C截面处，截面处，但，但 且该截面的且该截面的 C CA AB B2q2q 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移3

42、22( )( )2224ABqlEI02yCC CA AB B2q2qEIql3843C CA AB B2q2q（2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移将相应的位移进行叠将相应的位移进行叠加加, , 即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(EIqlyyyCCC7685421EIEIEIqlqlqlAAA12838448333321l2lABC Cq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算

43、8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移例题：一抗弯刚度为例题：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示, , 试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表, , 求截面求截面 B B 的转角的转角 B B 以及以及 A A 端和端和BC BC 中点中点 D D 的挠度的挠度 y y A A 和和 y yD D 。 A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B 截面截成两段，将

44、截面截成两段，将AB AB 段看成段看成 B B 端固定的悬臂梁，端固定的悬臂梁，BC BC 段看成简支梁。段看成简支梁。A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的变形及刚度计算梁的变形及刚度计算 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移2q2qA AB BB B 截面两侧的相互截面两侧的相互作用力为：作用力为：qaMB2 2qa2qaqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移2

45、qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q简支梁简支梁 BCBC 的受力情的受力情况与外伸梁况与外伸梁 AC AC 的的 BCBC 段的受力情况相同段的受力情况相同由简支梁由简支梁 BC BC 求得求得的的 B B ，y yD D，就是外就是外伸梁伸梁 AC AC 的的 B B ，y yD DA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q简支梁简支梁 BC BC 的变形就的变形就是是M MB B 和均布荷载和均布荷载 q q 分别引起变形的叠加。分别引起变形的叠加。q qB B

46、C CD DB BC CD DqaMB2 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移(1)(1)求求 B B ，f fD DfDqBqq qB BC CD DfMBDMBBB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlBq32433EIqaEIlMBBMB3233EIEIqaqlyDq243845544EIEIMqalMyBDB41642EIqaMBBBqB33EIMqayyyBDDqD244由叠加原理得由叠加原理得 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移2q2qA AB B(2) (2) 求求 f fA A由于简支梁上由于简支梁上 B B 截面的转动，代动截面的转动，

47、代动 AB AB 段一起作刚体运段一起作刚体运动，使动，使 A A 端产生挠度端产生挠度 y y1 1 悬臂梁悬臂梁 AB AB 本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使 A A 端产生挠度端产生挠度 y y2 2y2y1qaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qB 8-4 8-4 叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移yyyyaBA221EIqay8242)(EIEIEIqaqaqayA12437444因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为查表，得查表，得2q2qA AB BqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qA AB BC CD Dq qBBy2y1EIqaB33 8-5 8-5 梁的刚度校核梁的刚度校核maxlflf式中：式中：fmax 为梁上最大的挠度；为梁上最大的挠度；l 为梁的跨长；为梁的跨长； f / l 为为梁的许可挠度与的跨长比值。梁的许可挠度与的跨长比值。刚度条件（一般只校核挠度）刚度条件（一般只校核挠度）注意：注意：1、建筑结构即要满足强度条件，同时也要满足刚