振动力学3单自由度系统受迫振动之工程中受迫振动问题、任意周期激励响应和非周期激励响应

1、单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动主讲：周利东太原科技大学机械工程学院2011-10-25单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题回顾：回顾：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题22222)2()1 ()2(1sss )2(12stg 21相对位移相对位移tifDetx)(基座位移规律基座位移规律 ：2111i tmxcxkxmDe)(111tiDex22221)2()1 ()(ssss 21112)(sstgs 绝对位移绝对位移)(21tifDexxx

2、xfkc1xmx0mkxxfc1x支承运动情况支承运动情况单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1 (1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0偏心质量情况偏心质量情况)sin()(1 tetx22221)2()1 (sss 解解1：解解2： 惯性式测振仪惯性式测振仪 tifDex基础位移基础位移x 为为 m 相对于外壳的相对位移相对于外壳的相对位移动力方程动力方程 ：0)(kxxcxxmf tiemDkxxcxm2 Ds

3、ssA22221)2()1 ( 振幅振幅 ：kcmfx单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪DAs 1lim0s当仪器的固有频率远小于外壳振动当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值频率时，仪器读数的幅值 A1 接近接近外壳振动的振幅外壳振动的振幅 D低固有频率测量仪用于测量振低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为动的位移幅值，称为位移计位移计DsssA22221)2()1 (当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值 A1与外壳加速度的幅值

4、成正比与外壳加速度的幅值成正比 )()2()1 (12022221DssA A1 还可写为：还可写为：)(1lim22010DAs 00s高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计加速度计单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪kcmfx2D：被测物体的加速度幅值：被测物体的加速度幅值另一种分析方法另一种分析方法受力图受力图sinfxDt基础位移假定为正弦基础位移假定为正弦:动力学方程动力学方程 ：0)()(ffxxkxxcxm ffkxxckxxcxm x 取绝对

5、位移取绝对位移mxm )(fxxk)(fxxctcDtkDcossin 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪kcmfx叠加原理，解为右端两项解之和叠加原理，解为右端两项解之和 )cos()2()1 (1)sin()2()1 (1)(12221222 tsskcDtsskkDtx)cos(2)sin()2()1 (11222 tstssD21112sstg kcmc20 s2 0smc 002s )cos(2)sin()2()1 ()(11222 tstssDtx21112sstg)cos()2(12)2(11)sin(

6、)2()1 ()2(112212222 tssstsssD22)2(12sinss 22)2(11coss stg212 212222)2()1 ()2(1sss 和前述和前述支承运动支承运动中中的绝对位移法结果的绝对位移法结果相同相同)sin()2()1 ()2(1212222 tsssD)sin( tD令：令：令：令：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪 工程中的受迫振动问题单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 振动的隔离振动的隔离 将作为振源的机器设备与地基隔离，

7、以减少对环境的影响称为将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振主动隔振主动主动隔振隔振系数系数 隔振后传到地基的力幅值隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振前机器传到地基的力：tieF0隔振材料：隔振材料：k，c隔振后系统响应：隔振后系统响应：222)2()1 (1ss )(01 tiekFx21112sstgkFA0mtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离振动的隔离隔振后通过隔振后通过k、c传到地基上的

8、力：传到地基上的力：222)2()1 (1ss )(01 tiekFx21112sstgkxxcF 1stg212sssmcmckc2200020 )(01)( tiekFkic)(2222021)2()1 ()2(1 tiesssF)(01)21 ( tiesiF单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离振动的隔离隔振材料：隔振材料：k，cmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0主动隔振系数主动隔振系数隔振后传到地基的力幅值隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振前机

9、器传到地基的力：tieF0)(22220121)2()1 ()2(1 tiesssFF隔振后通过隔振后通过k、c传到地基上的力：传到地基上的力：22220max1)2()1 ()2(1sssFF 隔振系数：隔振系数：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离振动的隔离隔振材料：隔振材料：k，cmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0例：机器安装在弹性支承上例：机器安装在弹性支承上 已测得固有频率已测得固有频率 Hzfn5 .12阻尼比阻尼比15. 0参与振动的质量是参与振动的质量是 880kg 机器转速机器转速 n2400

10、r/min 不平衡力的幅值不平衡力的幅值 1470N 求：（求：（1）机器振幅，（）机器振幅，（2）主动隔振系数（）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅）传到地基上的力幅 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离振动的隔离解：解：频率比：频率比：2 . 3216020nfns弹性支承的刚度：弹性支承的刚度： Nmk62201043. 5)5 .122(880机器振动的振幅机器振动的振幅 ：)(0291. 0)2()1 (12220mmsskFB 主动隔振系数主动隔振系数 ：149. 0)2()1 ()2(12222 sss传到地基上的

11、力幅传到地基上的力幅 ：NFFm2191470149. 001 振动的隔离振动的隔离 将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为为被动隔振被动隔振被动隔振系数被动隔振系数隔振后设备的振幅隔振后设备的振幅隔振前设备的振幅隔振前设备的振幅tifDex基础位移：基础位移：隔振前振幅：隔振前振幅：D隔振后系统响应：隔振后系统响应：)(2222)2()1 ()2(1)( tiesssDtx2121112sstgstg212 tifDexm隔振前隔振前tifDexkcm隔振后隔振后单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动

12、问题工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离振动的隔离DDmax1 2222)2()1 ()2(1sss 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速 转子的临界转速转子的临界转速气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动临界转速临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率在数值上很接近转子横向振动

13、的固有频率以单盘转子为例以单盘转子为例转轴质量不计转轴质量不计oo1Cl/2l/2圆盘质量圆盘质量 m固定在转轴中部固定在转轴中部圆盘质心圆盘质心 C形心形心 O1偏心距偏心距 CO1e圆盘静止时，形心圆盘静止时，形心O1 与旋转中心与旋转中心O重合重合oo1Cl/2l/2xy轴以角速度轴以角速度 恒速旋转恒速旋转)sin,cos(teytex 由于离心惯性力，轴产由于离心惯性力，轴产生动挠度生动挠度 OO1= ftoCo1yxexfy圆盘俯视图圆盘俯视图粘性阻尼力正比于圆盘粘性阻尼力正比于圆盘形心形心 O1 的速度的速度质心质心C的坐标：的坐标：轴沿轴沿 x 和和 y 方向的横向方向的横向刚

14、度：刚度：348lEIk 形心形心 O1 的坐标（的坐标（x, y）单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速oo1Cl/2l/2xy)sin,cos(teytex 质心运动定理：质心运动定理：toCo1yxexfy圆盘俯视图圆盘俯视图粘性阻尼力正比于圆盘粘性阻尼力正比于圆盘形心形心 O1 的速度的速度质心质心C的坐标：的坐标：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速xckxtexdtdm )cos(22轴沿轴沿 x 和和 y 方向的横向

15、方向的横向刚度：刚度：348lEIk yckyteydtdm )sin(22即：即： tmekyycymtmekxxcxmsincos22 右端项可看作激振力旋转矢量右端项可看作激振力旋转矢量 在在 x 和和 y 方向上的投影，作用点方向上的投影，作用点C，方，方向沿向沿CO1tieme2oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圆盘俯视图圆盘俯视图单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速设：设：tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 )2/(0mc 0/ s22221)2()1 (s

16、ss 21112sstg 0：转子不转动而作横向自由振动时的固有频率：转子不转动而作横向自由振动时的固有频率可得：可得： )sin()cos(1111teytex2122)(eyx 可见，形心可见，形心O1的运动轨迹为一个圆的运动轨迹为一个圆22yxf 1e 2222)2()1 (sses 动挠度：动挠度：oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圆盘俯视图圆盘俯视图tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 )2/(0mc 0/ s22221)2()1 (sss 21112sstg 可见，当阻尼比可见，当阻尼比 较小时，即使转子平衡得很好较小时，即使转子平衡得很好(

17、e 很小很小)，动挠，动挠度度 f 也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速称为也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速称为临界转速临界转速，为：，为：形心形心O1的动挠度：的动挠度：22221)2()1 (ssesef 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速当当 s=1 时：时：2ef mkf 0用每分钟转速表示：用每分钟转速表示：min)/(260rnff oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圆盘俯视图圆盘俯视图 tmekyycymtmekxxcxmsincos22 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动

18、 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速22221)2()1 (sss 21112sstg 当当 时时1 s0 即即有：有：11 1 )sin()cos(1111teytex可得：可得： teytexsincos)sin,cos(teytex 质心质心C的坐标：的坐标：可见，这时质心的坐标为（可见，这时质心的坐标为（0，0）质心质心C与旋转中心与旋转中心O重合重合圆盘和弯曲的轴都绕着质心圆盘和弯曲的轴都绕着质心C旋转旋转自动定心现象自动定心现象例：叶片模拟试验台例：叶片模拟试验台叶片质量叶片质量 158 kg转轴：长转轴：长 610mm，直径，直径 12

19、0mm 弹性模量弹性模量 E2.07 x 107 N/cm2材料比重材料比重 7.810-3 kg/cm3求：临界转速求：临界转速305 mm305 mm120 mm解：解：转轴质量转轴质量与叶片相比与叶片相比不能忽略不能忽略kgm8 .53108 . 761412322 由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：kgmmm1 .1848 .533517158351721 轴的横向刚度：轴的横向刚度：cmNlEIk/1043. 46461121006. 2484863473 临界转速：临界转速：min/148001 .1841001

20、043. 4302606rmkn 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速转子的临界转速单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励 假定粘性阻尼系统受到的周期激振力：假定粘性阻尼系统受到的周期激振力： )()(TtFtFT 为周期为周期 傅立叶级数展开：傅立叶级数展开： 1110)sincos(2)(nnn

21、tnbtnaatFT21记基频：记基频：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应TnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(222nnnbacnnnbatg1记：记：n 的偶函数的偶函数n 的奇函数的奇函数 110)sin(2nnntnca为任一时刻为任一时刻 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatF运动微分方程运动微分方程 ： 110)sin(2nnntnca1110)sincos(2nnntnbtnaakxxcxm 叠加原理，系统稳态响应叠加原理，系统稳态响应 ：1110)sin()cos(

22、2)(nnnnnnntnkbtnkakatx2222)2()1 (1nssnn 01smk022112snsntgn 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应 12222110)2()1 ()sin()cos(2nnnnnnssnktnbtnaka不计阻尼时：不计阻尼时： 122110)1 (sincos2)(nnnsnktnbtnakatxka20代表着平衡位置代表着平衡位置 当当 作用于系统上所产生的静变形作用于系统上所产生的静变形 20a周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的简

23、谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法谐波分析法 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatF复数形式表示复数形式表示 由欧拉公式由欧拉公式 ：)(21cos111tintineetn)(2sin111tintineeitn TntdtntFTa1cos)(2n的偶函数的偶函数n的奇函数的奇函数nnaannbb单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应 TntdtntFTb1sin)(2,2nnnibaF 200aF 记：记：则：则：22nnnnnibaibaFntinneFtF1)(周期激

24、励的复数形式：周期激励的复数形式： TnnndttnitntFTibaFsin)cos(12112T（取（取 ） 221)(1TTtindtetFT TtindtetFT1)(1 11011222ntinnnntinnneibaeibaa其中：其中：ntinneFtF1)(系统运动方程系统运动方程 ： ntinneFkxxcxm1 与教材（与教材（2.3.3）相同）相同 221)(1TTtinndtetFTF叠加原理，系统稳态响应：叠加原理，系统稳态响应：ntninneAx)(122112snsntgn 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应ntni

25、nneniAx)(11 ntninnenAx)(2121 求导求导 ：代入运动方程代入运动方程 ：ntinnntninnneFekAnicAnmAn11)(1212ninFeicnmnkAn)(1212ninFensisnkAn )21 (22niinFeenssnkAnn 2222)2()1 (01s0200212 kmmckc得得 ：nnnFkA1 2222)2()1 (1nssnn 因此有因此有 ：ntninneAx)(122112snsntgn 系统响应系统响应 ：ntinneFakxxcxm120 nnnFkA1 2222)2()1 (1nssnn ntninneFnssnkx)(2

26、2221)2()1 (1 和和 分别为第分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差 nn单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应例：例：质量弹簧系统受到周期方波激励质量弹簧系统受到周期方波激励 求系统响应求系统响应 TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应610 1 . 00 解：解：激励的周期：激励的周期： 0122 T0弹簧质量系统固有频率弹簧质量系统固有频率 610激励力的基频激励力的基频 ：T26

27、011110)sincos(2)(nnntnbtnaatFTnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(2因因 a0 一周期内总面积为一周期内总面积为0 =0T, 02Ttn1cos2T区间区间 内，内， 关于关于 为反为反对称，对称， 而而 关于关于 对称对称)(tF=0 11sinnntnb)(tF0F0F0T2/Tt单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(22, 0T区间区间 内内)(tF4T关于关于为对称为对称 tn1sin4T而而n取偶数

28、时，取偶数时，关于关于反对称反对称 ,2TT区间区间 内内)(tF43T关于关于为对称为对称 tn1sin43T而而n取偶数时，取偶数时，关于关于反对称反对称 0nb6 , 4 , 2n因此因此)(tF0F0F0T2/Tt单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(2当当 n 取奇数时取奇数时 0nb6 , 4 , 2nnFtdtnFTtdtntFTbTTn04010014sin8sin)(2 5 , 3 , 1n于是，周期性激励于是，周期性激励 F(t) 可写为：可写为： 5 , 3 , 1

29、1011sin14sin)(nnntnnFtnbtF)5sin513sin31(sin41110 tttF单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应任意周期激励的响应)5sin513sin31(sin4)(1110 tttFtF5 , 3 , 110)sin(4nnntnkFx则有：则有：2222)2()1 (1nssnnn 22112snsntgn 01s其中：其中： 当不计阻尼时：当不计阻尼时： 5 , 3 , 11220sin)1 (14ntnsnnkFx系统运动方程系统运动方程 ：)(tFkxxcxm 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响

30、应任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应 非周期激励的响应非周期激励的响应 对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应 单位脉冲力可利用狄拉克（单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数）分布函数(t) 表示表示 函数也称为函数也称为单位脉冲函数单位脉冲函数，定义为：，定义为： )()(0)( ttt且且1)(dtt)(t的图象用位于时刻的图象用位于时刻、长度为长度为 1 的有向线段表示的有向线段表示 )(tt10单自由度系统受迫振动单自

31、由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应函数：函数： )()(0)( ttt1)(dtt)(t 是一个广义函数是一个广义函数可以看作矩形脉冲、脉冲面积为可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度而脉冲宽度趋于零时的极限趋于零时的极限 即：即： )(lim)(0 tt=为其它ttt 0)(1其中：其中：)(t也可以定义为其它形状的面积为也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲的脉冲 量纲：量纲：1/秒秒 )(tt10)(tt01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应 函数的性质函数的性质: )()()(fdtttf特别地，当时刻特别地，当时

32、刻 t = 0 时，有时，有 ：)0()()(fdtttf实际应用时，通常实际应用时，通常 f (t) 在在0t时才有意义时才有意义 tfdtttf0)()()(冲量为冲量为0I的脉冲力可借助的脉冲力可借助函数表示为：函数表示为： )()(0tItF 当当 I0 =1 时，为单位脉冲力时，为单位脉冲力 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应因而有：因而有： 现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应单位脉冲响应单位脉冲响应记：记： 0+、0- 为单位脉冲力的前后时刻为单位脉冲力的前后时刻 运动微分方程与初始条

33、件可合写为：运动微分方程与初始条件可合写为： 0)0(, 0)0()(xxtkxxcxm 或或脉冲响应脉冲响应 dttkxdtdtxcdtxm)( 乘乘dt ：xd0 dxdtx 在脉冲力作用的瞬间，位移来在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变不及变化，但速度可产生突变 0 xdx令：令：dttxmd)()(tt00-0+单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应dttxmd)(两边在区间两边在区间-00t内对时间积分：内对时间积分： 0000)(dtxmdtt )0()0(1xmxmmx1)0(在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在

34、这一瞬在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，即有：间，位移则来不及有改变，即有：x(0+) = x(0-) 又当又当 t 0+ 时，脉冲力作用已经结束，所以时，脉冲力作用已经结束，所以 t 0+ 时，有：时，有： mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应质量越大，质量越大， 越小越小)0( x 质量越小，质量越小， 越大越大)0( x mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 系统的单位脉冲响应即初始位移为系统的单位脉冲响应即初始位移为零，而初始速度为零，而初始速度为 1/m

35、 的自由振动的自由振动 记为记为 h(t) temthtxdtdsin1 )()(0无阻尼系统：无阻尼系统： tmthtx00sin1 )()( 若单位脉冲力不是作用在时刻若单位脉冲力不是作用在时刻 t = 0，而是作用在，而是作用在 t =时刻：时刻： )(sin1 )()(0 temthdtd解为：解为： 如果系统在如果系统在 t=时刻受到冲量为时刻受到冲量为 I0 的任意脉冲力作用，则系统的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为暂态响应可用脉冲响应函数表示为 ：tthItx),()(0单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应)sinco

36、s()(00000txxtxetxdddt 任意非周期激励的响应任意非周期激励的响应 当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力可以将激振力 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加看作一系列脉冲力的叠加 对于时刻对于时刻 t =的脉冲力的脉冲力系统受脉冲作用后产生速度增量：系统受脉冲作用后产生速度增量：mdF)( 并引起并引起 t 各个时刻的响应各个时刻的响应 系统的脉冲响应系统的脉冲响应 ：dthFdx)()(dt)(tF单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应其冲量为：其冲量为：dF)(由线性系统的叠加原理，

37、系统对任意激振力的响应应等于系统由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间在时间区间t0内各个脉冲响应的总和内各个脉冲响应的总和 tdthFtx0)()()(得：得：杜哈梅杜哈梅(Duhamel)积分积分 tdtddteFm0)()(sin)(10)(sin1 )()(0 temthdtdtdthFtx0)()()(利用卷积性质：利用卷积性质： tdhtFtx0)()()(若有初始条件，则：若有初始条件，则： tdtddddtdteFmtxxtxetx0)(0000)(sin)(1 )sincos()(00若阻尼为零，则：若阻尼为零，则： tdtFmtxtxtx00000

38、000)(sin)(1)sincos()(单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应 tdtddteFm0)()(sin)(10例：无阻尼弹簧质量系统例：无阻尼弹簧质量系统 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应在在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用求：求： 系统响应系统响应解法一解法一：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应 tdtFmtx000)(sin)(1)( tdtmQ

39、0000)(sin)cos1 (0200tmQ )cos1 (00tkQ 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt00tt （1） 时时单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt tdtFmtx000)(sin)(1)()(sin0)(sin10000000 tttdtdtQmcos)(cos1000000tttQm cos)(cos0000tttkQ 0tt （2） 时时单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应 000 , 00,)(ttttQt

40、F)(tF0Q00tt0tt （2） 时时cos)(cos)(0000tttkQtx 00tt （1） 时时)cos1 ()(00tkQtx 00000000 , cos)(cos0 ),cos1 ()(tttttkQtttkQtx因此，系统响应：因此，系统响应：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应解法二解法二：)(tF0Q00tt 00000000 , cos)(cos0 ),cos1 ()(tttttkQtttkQtx当当t t0 时激振力已经去除，此时系统将以时刻时激振力已经去除，此时系统将以时刻t =t0 时的位移和时的位移和速度为初始条件做自

41、由振动，称为速度为初始条件做自由振动，称为残余振动残余振动t t0 时的响应可以求解如下时的响应可以求解如下先求得先求得t =t0 时刻的位移和速度：时刻的位移和速度： )cos1 ()(0000tkQtx sin)(00000tkQtx t t0 时的响应：时的响应：)(sin)()(cos)()(0000000tttxtttxtx )(sin sin)(cos )cos1 (0000000000tttkQtttkQ cos)(cos0000tttkQ 例例：试确定一个自由度系统对图中施力函数的无阻尼响应：试确定一个自由度系统对图中施力函数的无阻尼响应 tttttQttQtF221211,

42、0,0,)()(tF1Q2Q01tt2t单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应10tt （1） 时时 tdtFmtx000)(sin)(1)( tdtmQ0001)(sin)cos1 (0201tmQ )cos1 (01tkQ )(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)(单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应解法一：解法一：21ttt（2） 时时 tdtFmtx000)(sin)(1)()(sin)(sin111020010 tttdtQdtQm)(cos1 cos)(cos11

43、002010010ttQtttQm )(cos1 cos)(cos1020101ttkQtttkQ )(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)(单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应tt 2（3） 时时 tdtFmtx000)(sin)(1)()(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)()(sin)(sin1211020010 tttdtQdtQm)(cos)(coscos)(cos1102002010010ttttQtttQm )(cos)(coscos)(cos102020101

44、ttttkQtttkQ 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应解法二：解法二：)(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt一个自由度系统对矩形冲量的无阻尼反应：一个自由度系统对矩形冲量的无阻尼反应： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(00000000tttttkQtttkQtxt0：矩形冲量持续的时间：矩形冲量持续的时间单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应)(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt应用（应用（1）式：）式： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(00000000tttttkQtttkQtx10tt （1） 时时)cos1 ()(01tkQtx 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 非周期激励的响应非周期激励的响应)(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt对于对于Q1的反应，应用（的反应，应用（2）式：）式： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(0000000