机械振动 第9章第5、6、7节

1、有线性外阻尼作用的均质等截面梁的动力学方程，可以在方程(6.4-7)中增加与 成比例的阻尼项，设c为粘阻系数，有 ty Lxt , xfxt , xyEJtt , xyctt , xyA0 4422(9.5-1)假设模态函数关于阻尼也存在类似的正交性 0d2 ,1,2,LrsrrrscYx Yxxi j (9.5-2)9.5 连续系统的随机响应连续系统的随机响应将变换(9.5-3)代入方程(9.5-1)，得到广义坐标qr(t)(r=1,2,)的相互无关的常微分方程组式中Qr(t)是广义随机力。 应用模态分析法，将解y(x,t)写成模态函数的线性组合，引入变换(9.5-3) 1rrrtqxYt

2、, xy(9.5-4) , 2 , 1 22rtQtqtqtqrrrrrrr(9.5-5) , 2 , 1 d, 0 rxtxfxYtQLrr根据相关函数 与谱密度函数 之间、以及脉冲响应函数以h(t)与复频响应函数H()之间的傅里叶变换对关系式(9.4-40)和(3.11-6)，导出 srQQR srQQS i 1ed d d2ddrsrsrsrsq qrrssQ QsrrrQ QrssssrRhhShRh (9.5-7) Eddddrsrsq qrrrrrsssssrrQ QrssssrRQthQthhRh (9.5-6)利用卷积积分写出方程(9.5-4)的解，并计算平稳响应过程qr(t)

3、与qs(t)之间的互相关函数，得到 利用式(9.5-3)和(9.5-7)计算梁上不同位置x1和x2处的平稳响应过程y(x1,t)与y(x2,t)之间的互相关函数，得到 12121211 *i12 11,E,1ed2rsrsyrsq qrsrsrsQ QrsRx xy x t y x tYx Yx RYx YxHHS(9.5-9) srsrQQs*rqqSHHS(9.5-8)再根据相关函数 与谱密度函数 之间的傅里叶变换对关系，导出 srQQR srQQS设 为载荷f(x1,t)与f(x2,t)之间的互谱密度，则有 ,21xxSf 121212 0 0 i121212 0 0 ,d d1,ed

4、d d2rsLLQ QrsfLLrsfRYx YxRx xx xYx YxSx xx x (9.5-11)从而导出 (9.5-12) 21 0 0 2121dd,xxxxSxYxYSLLfsrQQsr 令上式中x1=x2，即得到响应的自相关函数。再令 =0，得到响应的均方值。由上式还可得到y(x1,t)与y(x2,t)之间的互谱密度为(9.5-10) srQQs*rrssrySHHxYxY,x ,xS112121图 9.5-1例例9.5-1 如图9.5-1所示，一均质等截面简支梁，长度为L，单位体积质量为，等截面横截面积为A，抗弯刚度为EJ，粘阻系数为c，梁上作用一集中力F(t)，是均值为零的

5、平稳正态白噪声过程，自谱S0为已知。求梁上力作用点P处的挠度y(xP,t)的功率谱密度和均方值。 则有 0 i0 120dE1ed2rsrsLrrPrPQ QrsrPsPFrPsPQ QrsQ tYx F txxxYxF tRQ t Q tYxYxRYxYxSSYx YxS PxxtFt , xf解：解：将集中力视为分布在 附近很小一段梁上的分布力，即 Pxx srQQs*rrsPsPrPySHHxYxY,xS11 利用式(9.5-10)计算P点处的挠度y(xP,t)的功率谱密度，得到 则系统的复频响应函数为 224212i 1,2,irrrrHArrEJAcL 代入功率谱密度 ，得到 ,Py

6、xS1124242220iisinsin4rsPPPycALsEJcALrEJLxsLxrLS,xS简支梁的固有频率和正则化模态在例6.6-1中给出 1,2, sin2 2rLxrALxY,AEJLrrr 2 22*0 11,0E,1d2yPPrPsPrsrsRxyxtYxYxSHHP点处挠度的均方值可令式(9.5-9)中 和 =0，导出 Pxxx21 24 23 d2rrrALHcEJr d21,E 20142rrPrPHSxYtxy通常阻尼比r较小，若s与s离开较远，可略去积分中的交叉乘积项，近似写成 积分 可利用前面所述的积分公式，可得 d 2rH代入 得到2,0E,yPPRxyx t2

7、24044121E,sinPPrL Sr xyxtcEJrL 由于偶数阶模态相对梁中点为反对称，中点成为偶数阶模态的节点，因此只有奇数阶模态对响应的均方值作出贡献。由上式还可看出高阶模态对挠度均方值的影响迅速减小。 ,rrcEJSLt ,Ly53144022122E当 时，得到梁中点挠度的均方值为2LxP 严格地说，工程中的许多实际问题都是非线性的，又都是随机的，所以很有必要来研究非线性随机振动问题。 在土木、机械、交通运输、航空航天、生物、海洋、核工程等领域内，对非线性随机振动问题已经作了大量的研究，迄今已经发展了许多精确的或近似的分析方法，主要是FPK方程法、等效线性化法和摄动法。此外，还

8、有随机平均法、等效非线性系统法、矩函数微分方程法及各种截断方案、拟静态法、泛函级数展开法及数值模拟(或Monte Carlo)法等。 9.6 非线性系统的随机响应非线性系统的随机响应 单自由度非线性系统在随机激励下，系统的运动方程可表示为 ( , )( )mycykyg y yF t(9.6-1)式中g(y, )为y和 的非线性函数，通常是关于y和 的多项式，是一个正的小参数，F(t)是零均值的平稳随机过程。 yy y 设等效系统的动力学方程可以表示为 ()()( )eqeqmyccykkyF t(9.6-2)式中ceq和keq分别为与g(y, )等效的线性阻尼及刚度系数。 y用式(9.6-2

9、)的解作为式(9.6-1)的近似解。显然，把式(9.6-2)的平稳响应代入式(9.6-1)，形成两个方程之差 ( , )( , )eqeqe y yg y yc yk y(9.6-3)选取ceq和keq，使得22E0E0eqeqeeck，(9.6-4)将式(9.6-3)代入，可得 2qq2qE( , )EE0E( , )EE0eeeqeyg y ycykyyyg y ycyyky(9.6-5)由此可解得22222222EE( , )EE( , )EE(E)EE( , )EE( , )EE(E)eqeqyyg y yyyyg y ycyyyyyyg y yyyyg y ykyyyy(9.6-6)

10、可以证明，满足上式的ceq与keq确实使Ee2达极小值。 则式(9.6-6)可以简化为22E( , )E( , ),eqeqyg y yyg y yckE yE y(9.6-8)当激励F(t)为平稳随机过程时，并且只考虑响应过程y(t)达到平稳后的情形，根据平稳随机过程与其一阶导数过程是正交的性质，即0Eyy(9.6-7)这里要注意，式(9.6-6)和式(9.6-8)并不是求ceq和keq的显式，因为其中含有y(t)或 ，而它们又是由包含待求系数ceq和keq的方程(9.6-2)式解出的，所以合理的ceq和keq需要经过迭代过程来确定。( )y t假定某一次迭代之前ceq和keq已经求得，这时

11、，等效线性系统的响应也可以认为是高斯过程，y(t)和 (t)的联合概率密度为 y222221exp21),(yyyyyyyyp(9.6-9)式中均方响应y和 是依赖于ceq和keq的函数。如F(t)是高斯白噪声，其协方差函数为y )(2)(0SCF(9.6-10)则(9.6-11)( ,)(0202eyeeyccmScckkS例例9.6-1 考虑硬弹簧杜芬振子对高斯白噪声的平稳响应。其非线性系统的动力学方程可表示为 )(),(tFyygkyycym 式中3),(kyyyg试确定其稳态响应。解：解：根据已知条件有3242E( , )E0,E( , )E3Eyg y ykyyyg y ykyky由

12、此得到 203Eeqeqckky，)(E3()(E202tykkcSty 设激励是功率谱密度函数为S0的高斯白噪声，得到由上式可得0)(E)(E30222ckStyty把上式中的 展开为泰勒级数1 120Sck2000128112211121ckSckSckS当取其中的前三项代入Ey2(t)的表达式，得到20023)(EckSckStyckSty02121161)(E解此代数方程，按照Ey2(t)的物理意义，只取其正根为 不确定性主要来源于两个方面： 结构系统的随机响应主要取决于两方面因素：载荷的随机性；结构参数的随机性。v一是统计因素；v二是非统计因素。9.7 随机结构系统的非线性随机振动随

13、机结构系统的非线性随机振动 随机结构响应可分为三种类型： 确定结构的响应分析主要有两种方法：确定结构对随机载荷的响应；随机结构对随机载荷的响应。随机结构对确定载荷的响应；随机有限元法。Monte Carlo数值摸拟方法；一一. .随机场随机场 随机场：是随机过程概念在空间域(场域)上的自然推广，随机场与随机过程名称的不同是由于将时间变量t改为空间坐标x，随机结构的随机参数一般是空间坐标的随机函数，它们可模型化为随机场r(x)。 随机过程与随机场还有一个差别，作为随机过程的参数的时间t有明显的有序性，而作为随机场的参数x的有序性则不那么明显，这个差别将导致它们相关结构的差别。 二二. .随机场的

14、相关结构随机场的相关结构 随机场的相关结构一般是指随机场的协方差函数或相关函数。 22expaxxxx,r(9.7-3)2指数型相关结构axxxx,rexp(9.7-2)1三角型相关结构axx axx axxxx,r 01(9.7-1)3高斯型相关结构三三.随机场的离散化随机场的离散化 随机场主要有三种离散化方法： 1. 中点法最早与最简单的方法是取场在有限元中点上随机变量代表该单元的场。 2. 形函数法单元上的随机场由场在单元节点上的随机变量通过形函数进行插值得到。 3. 局部平均法单元上的随机场由场在单元上的局部平均来代表，随机场的相关特性由局部平均的协方差矩阵来描述。 为不失一般性，以图

15、9.7-1表示一个定义于区域上的二维随机场及其剖分形式。图中i表示单元面积，xci表示单元几何形心点，xj表示单元节点编号，单元个数为n，单元节点个数为m。图 9.7-1现以二维随机场为例，说明这三种离散化方法的基本思想。 cir xr x(9.7-4)中点法进行随机场离散是指以单元几何形心点上定义的随机变量r(xci)代替单元随机场r(x)，取 在此基本原则下，原随机场离散为随机变量集合bi=r(xci) (i=1, 2, , n)，各变量的数字特征及变量间相关特征由形心点随机变量bi的相应值决定。如显然，中点法进行随机场离散，只有当单元划分很小或原随机场变异性很小时，才可能有较好的精度。

16、EEicibr x(9.7-5) VarVaricibr x(9.7-6)Cov,Covijcicjb br x,r x(9.7-7)为了改进中点法的精度，通过节点间形函数的插值来逼近原单元内随机场。单元随机场由场在节点上的随机变量通过形函数的插值得到，即 1qiiir xNx r(9.7-8)式中q为单元节点个数，Ni(x)为插值形函数，ri=r(xi)为在xi(i=1, 2, , q)处的离散值。单元随机场数字特征与节点随机变量数字特征之间关系为 1EEqiiir xNxr(9.7-9)式中xk和xl为x域中的任意两点。 qijiljqjkilk,rrxNxNx,rxr11CovCov(9

17、.7-10)在局部平均法中，采用各离散单元的局部平均随机变量代表单元随机场。即取 iiiixxrbid1(9.7-11) iiiixxrbidE1E(9.7-12) iiiiixxxrbiiddVar1Var2 (9.7-13) jijijijixxx,rxrbbijddCov1,Cov (9.7-14)于是，原随机场离散为随机变量集合(bi，i=1, 2, , m)。bi的均值、方差和协方差为 关于随机场的离散，还有加权积分方法、正交展开方法和最优离散化方法等。引用随机变量相关系数概念，上式又可写为 jijijijijixxxrxrxrxrbbijdd,1,Cov (9.7-15) 式中xi

18、与xj分别为i和j域中的点。局部平均法在精度上介于中点法与形函数法之间，但由于采用这类离散化方法易于利用常规有限元公式，因而应用较为广泛。四四.随机结构系统的非线性随机振动分析随机结构系统的非线性随机振动分析 非线性随机结构系统的振动方程为式中M，g，y和F分别为广义质量矩阵，非线性函数向量，位移响应向量和外力向量。 把加速度向量 ，外力向量F和非线性函数向量g在随机参数向量均值 附近展开成二阶泰勒级数，有 bb Ey (9.7-16),t,bFyybgyM (9.7-17)qiqiqjjijiiibbbbbb1112dd21dyyyy 定义阻尼及刚度矩阵为 (9.7-18)qiqiqjjij

19、iiibbbbbb1112dd21dFFFF(9.7-19)iqiiiibbbbd1yKyCgggqijiqjjijijijijibbbbbbbbbbbb11222dd212121yKyCyKyCg(9.7-20)TygC(9.7-21)TygK式中一阶方程(项):零阶方程: 将式(9.7-17)，式(9.7-18)和式(9.7-19)代入方程(9.7-16)式，合并同阶项，可得到与方程(9.7-16)式相一致的零阶方程，一阶方程和二阶方程。(9.7-22)FgyM (9.7-23)iiiibbb1FyKyCyM (i=1,2,q) (9.7-24) iiibbgFF1二阶方程(2项)：式中(

20、9.7-25)2222FyKyCyM (9.7-26),(Cov211122jiqiqjjibbbbyy (9.7-27),(Cov211122jiqiqjjibbbbyy(9.7-28),(Cov211122jiqiqjjibbbbyy(9.7-29)qiqjjijijijijibbbbbbbbbb11222),(Cov2121yKyCgFF从方程(9.7-22)式，(9.7-23)式和(9.7-25)式中解出 ， ， 从而可以确定动力响应的均值，方差和协方差 yyy ,iiib,b,byyy 222yyy ,(9.7-30) jiqiqjji,bbbbCov21E1122yyyyy(9.7-31) jiqiqjji,bbbbCov21E1122yyyyy(9.7-32) jiqiqjji,