高等代数选讲第五讲 线性变换

1、1第五讲第五讲 线性变换线性变换2设设V为数域为数域P上的线性空间，若变换上的线性空间，若变换:VV 满足满足：,VkP kk 则称为线性空间则称为线性空间V上的上的线性变换线性变换. 3几个特殊线性变换几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： :,K VVkV单位变换(恒等变换)：:,E VVV 零变换：0:,0,VVV 41、 为为V的线性变换，则的线性变换，则 (0)0,()( ). 2、线性变换保持线性组合及关系式不变，即线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若若 1122,rrkkk 则则 1122()()()().rrkkk 3、线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的线性变换把线

2、性相关的向量组变成线性相关的向量组向量组. 5线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成3的逆不成立，即 12,r 线性相关，未必线性相关.12,r 6设为线性空间设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们, 的的乘积乘积 为：为： ,V 则则 也是也是V的线性变换的线性变换.（1）满足结合律：满足结合律： （2），E为单位变换为单位变换 EE （3）交换律一般不成立，即一般地，交换律一般不成立，即一般地，7例例1 1 线性空间中，线性变换线性空间中，线性变换 R x D fxfx 0,xDJfxDf t dtfx 00 xJDfxJfxft

3、 dtfxf .DJJD 0 xJfxf t dt 即即.DJE 8(),XAX 例例2 2 设设A、B为两个取定的矩阵，定义变换为两个取定的矩阵，定义变换n nP 则皆为的线性变换，且对有则皆为的线性变换，且对有, n nP ,n nXP ()()( ()()(),XXXBA XBAXB ()()( ()()().XXAXAX BAXB (),XXB n nXP . 9则则 也是也是V的线性变换的线性变换. 设为线性空间设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们, ,V 的的和和 为：为： 10（3） 0为零变换为零变换.00,（4）乘法对加法满足左、右分配律：乘法对加法

4、满足左、右分配律： （1）满足交换律：）满足交换律： （2）满足结合律：）满足结合律： 11E 则称则称为可逆变换，称为的逆变换，记作为可逆变换，称为的逆变换，记作 1. 设为线性空间设为线性空间V的线性变换，若有的线性变换，若有V的变换使的变换使 性质性质 可逆变换可逆变换 的逆变换也是的逆变换也是V的线性变换的线性变换. 1 12设为数域设为数域P上线性空间上线性空间V的一组基，的一组基， 12,n 为为V的线性变换的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出基向量的象可以被基线性表出,设设11 121 2112 122 221122()()()nnnnnnnnn n 1 12 213用矩阵表

5、示即为用矩阵表示即为 121212,nnnA 其中其中 111212122212,nnnnnnA 矩阵矩阵A称为称为线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵. 12,n 142. 2. 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 1. 1. A的第的第i列是列是 在基下的坐标，在基下的坐标，12,n ()i 它是唯一的它是唯一的. 故在取定一组基下的矩阵是唯一的故在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵

6、； 15例例1 设线性空间设线性空间 的线性变换为的线性变换为 3P1231212(,)(,)x xxx xxx 求在标准基下的矩阵求在标准基下的矩阵. 123, 解：解： 3()(0,0,1)(0,0,0) 1()(1,0,0)(1,0,1) 2()(0,1,0)(0,1,1) 1231231 0 0(,)(,) 0 1 01 1 0 16 设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组的一组12,n 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，基，在这组基下，V的每一个线性变换都与的每一个线性变换都与 中中n nP (1) 线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和； (2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；(3