高等数学电子教案1-1

1、1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所所具具有有的的特特征征xxM 列举法列举法描述法描述法,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作一、集合集合数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.RQ,QZ,ZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxB.BA 则则不含任何元素的集合称为

2、不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.集合的运算集合的运算设设A.B是两个集合是两个集合.|的并集的并集与与称为称为或或BABxAxxBA .|的交集的交集为为称为称为且且BABxAxxBA .|的的差差集集与与称称为为且且BABxAxxBA ,.IA此此时时的的子子集集都都是是集集合合如如果果所所研研究究的的任任意意集集合合.,cAAAI记记作作的的余余集集为为称称,为全集为全集称集合称集合I的的余余集集为为集集合合10| xxA,R中中集集在实数在实数设设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：为

3、任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律）交换律ABBA ABBA （2）结合律）结合律)()()()(CBACBACBACBA .10| xxxAc或或例如：例如：（3） 分配律分配律)()()()()()(CBCACBACBCACBA （4） 对偶律对偶律ccccccBABABABA )()(证明（仅证对偶律的第一式）证明（仅证对偶律的第一式）cccccBAxBxAxBxAxBAxBAx 且且且且因为因为)()(所以所以cccBABA )(反之，因为反之，因为 BxAxBxAxBAxcccc且且且且设设A、B是两个非空集合是两个非空集合, 称称| ),(ByAxyxBA 且且为集合为集

4、合A与集合与集合B的直积的直积例如例如:面上全体点面上全体点它是它是xOyyxyx,R,R| )(RR .的集合的集合RR 有有时时将将.R2记为记为cccBABA )(于是于是cccBABA)( 所以所以,)(cBAxBAx oxaboxab),(,|babxax记记作作称称为为开开区区间间 ,|babxax记作记作称为闭区间称为闭区间 3、区间和邻域、区间和邻域设设a和和b都是实数且都是实数且ab.数集数集bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作, ),axxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间

5、长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.邻域邻域: :. 0, 且且是是两两个个实实数数与与设设a,就叫做这邻域的中心就叫做这邻域的中心点点邻域邻域的的称为点称为点aa .叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaUxa a a . 0),( axxaU1).数集数集2).数集数集.邻域邻域的去心的去心称为点称为点 a1 1、映射概念、映射概念,YX:f),(xfy 二、映射二、映射其中其中y 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的像，并记下）的像，并记作作 ,即即)(xffx定义定义 设设X、Y是两个非

6、空集合，如果存在一个法是两个非空集合，如果存在一个法 则则 ，使得对，使得对X中每个元素中每个元素 ，按法则，按法则 ，在，在Y中有唯中有唯一确定的元素一确定的元素y与之对应，则称与之对应，则称 为从为从X到到Y的映射，的映射，记作记作fffx| )()(XxxfXfRf 元元素素的的像像所所组组成成的的集集合合中中所所有有X;XD,Dff 即即记记作作而元素而元素 称为元素称为元素y（在映射（在映射 下）的一个原像下）的一个原像;集合集合X称为映射称为映射 的定义域，的定义域，ffxf称为映射称为映射fR的值域，记作的值域，记作即即或或),(Xf（2）,;,fRyyxXx 而而对对每每个个是

7、是唯唯一一的的的的像像元元素素对对每每个个,;一一个个子子集集的的是是的的值值域域映映射射的的原原像像不不一一定定是是唯唯一一的的元元素素YRfyf.YR,YRff 不一定不一定即即注意：注意：（1） 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域，即定义域;:,;YRYXDff 即即值值域域的的范范围围集集合合.)(,与之对应与之对应有唯一确定的有唯一确定的使对每个使对每个xfyXx ,f对应法则对应法则例例1,.)(,:2是一个映射是一个映射显然显然对每个对每个设设fxxfxf R RR RR R,y,yR:f外外除除中中的的元元素素对对于于注注0

8、 .0|, yyRDffR R.它的原像不是唯一的它的原像不是唯一的例例2,:1|)0 ,(,1| ),(22YXfxxYyxyxX 设设,)0 ,(,),(YxXyx 有有唯唯一一确确定定的的对对于于每每个个YR,XDff 值值域域定定义义域域与之对应。与之对应。是是一一个个映映射射，显显然然f.sin)(,1 , 1, :2222xxfxf 对对每每个个例例3注：注：在几何上映射在几何上映射 表示将平面上以原点为圆心的表示将平面上以原点为圆心的单位圆的点投影到单位圆的点投影到x轴的区间轴的区间-1，1。对于。对于 中的中的元素元素 ，除，除 =（1，0）或（）或（-1，0）外，它的原像不唯

9、一。）外，它的原像不唯一。ffR)0 ,(x)0 ,(x,22 fDf是是一一个个映映射射.1 , 1 fR注：注：.)(,yxfDxRyff 使使的的有有且且仅仅有有一一个个对对于于每每一一个个;YXf,YRf上上的的映映射射或或满满射射到到为为则则称称若若 1 1）2 2）;),()(,2121的的单单射射到到为为则则称称有有中中任任意意两两个个不不同同元元素素若若对对YXfxfxfxxX 设设 是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射的映射.f3）若若 既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称 为一一为一一映射。例映射。例1中的映射，既非单射，又非满中的映射，既非单射，又非满射；例

10、射；例2中的映射是满射，但不是单射；中的映射是满射，但不是单射；例例3中的映射为一一映射。中的映射为一一映射。ff2.2.逆映射逆映射,)(,:,xygRyXRgYXfff 对对每每个个令令的的单单射射到到是是设设的的元元素素中中满满足足由由于于对对每每一一个个满满足足其其中中yxfXRyyxfxf )(,.)(.,的逆映射的逆映射为为称称是映射是映射故故存在且唯一存在且唯一fggx,1ffRD .1XRf 值域值域.,1 , 1,1 , 1,arcsin)(22111 ffRDxxxf,1 f记作记作其定义域其定义域 由于只有单射才存在逆映射，所以，在例由于只有单射才存在逆映射，所以，在例1

11、 1、2 2、3 3中只中只有例有例3 3中的映射中的映射 才存在逆映射才存在逆映射 并且并且,1 ff3.复合映射复合映射设有两个映射设有两个映射ZYfYXg21:;:令令其其中中.21YY .).()(,:的的映映射射到到是是则则对对每每个个ZXhxgfxhXxZXh 于是于是记为记为构成的复合映射构成的复合映射和和为映射为映射称映射称映射,gffghXxxgfxgf ),()(fgDR 注：注：.由复合映射的定义可知，映射由复合映射的定义可知，映射g和和 构成复合映射的构成复合映射的条件是：条件是：f2.映射映射 和和 的复合是有顺序的的复合是有顺序的.gf 有意义，有意义，fg与与复复

12、合合映映射射都都有有意意义义和和即即使使有有意意义义并并不不表表示示gffggffg,.也未必相同也未必相同fg例例;arcsin)(,1 , 1,1 , 1 :22xxgxg 对对每每个个设设映映射射222222)(, :uufuf 对对每每个个映映射射R RfgDR ,22因为因为.1 , 1,)(arcsin2)(,2 xxxgfgf且且有有意意义义所所以以1 , 1 gD2 , 224 fR但但 gfDR 无无意意义义故故fg.函数概念函数概念定义设数集定义设数集,R R D则称映射则称映射R RDf :为定义在为定义在D上的函上的函数，通常简记为数，通常简记为Dxxfy ),(其中其

13、中x 称为自变量，称为自变量，y 称为因变量，称为因变量，D称为定义域称为定义域,记为记为.DDDff 即即三、函数三、函数.)(,处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx 函数值的全体所构成的数集函数值的全体所构成的数集.),(|)(DxxfyyDfRf 即即,)(称称为为函函数数的的值值域域或或DfRf函数的两要素函数的两要素：.fDf与与对对应应法法则则定定义义域域如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的函数就是相同的,或者就是不同的或者就是不同的.约定：用算式表达的函数，其定义域是使得算

14、式有意义的自约定：用算式表达的函数，其定义域是使得算式有意义的自变量所能取的一切实数值变量所能取的一切实数值.例如例如1 , 1,12 fDxy函函数数)1 , 1(,112 fDxy函函数数例如例如在函数定义中在函数定义中,对每个对每个Dx ，对应的函数值，对应的函数值y总是总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给定唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给定一个对应法则，按照这个法则，对每个一个对应法则，按照这个法则，对每个,Dx 总有确定的实数总有确定的实数y与之对应，但与之对应，但y值不总是唯一的，值不总是唯一的，则称这种法则确定了一个多值函数。则称这种法则确定了一个多值函数。例

15、如例如 变量变量x和和y之间的对应法则由方程之间的对应法则由方程给出，根据给出，根据可可确确定定出出对对对对每每个个这这一一法法则则,rrx 对对应应内内任任一一个个值值时时取取由由于于,),(rrx )0(222 rryx常数常数.:22xryy 值值应应的的.有两个值有两个值的的y故所给定方程确定了一个多值函数。故所给定方程确定了一个多值函数。),(| ),(Dxxfyyxxoy 平面上的点集平面上的点集函数图形函数图形.),(的的图图形形称称为为函函数数Dxxfy oxy),(yxxyWD )(xfy 例例5Oyx2y.,2),(2轴的直线轴的直线于于它的图形是一条平行它的图形是一条平行

16、值域值域的定义域的定义域函数函数xWDy 例例6 .), 0),(|00,绝绝对对值值函函数数这这函函数数称称为为它它的的图图形形如如图图值值域域域域的的定定义义函函数数 fxxxxRDxyOxy| xy 例例7 函数函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgnxy sgn:,1 , 0 , 1),(,下下列列关关系系成成立立对对于于任任何何实实数数值值域域它它的的定定义义域域称称为为符符合合函函数数xRDf 例例8 设设x x为任一实数为任一实数. .不超过不超过x x的最大整数称为的最大整数称为x x的整的整数部分，记作数部分，记作 x x. 1 2 3 4 5

17、 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo. 45 . 3 , 1 1, 3 , 12 , 075: 例例如如则则函函数数看看作作变变量量把把,x.,.),(这个图形称为阶梯曲线这个图形称为阶梯曲线它的图形如图它的图形如图值域值域的定义域的定义域ZRDxyf Y=x例例9 函数函数 101,2,1)(xxxxxfy.1)(,), 1 (;2)(, 1 , 0)., 0.xxfxxxfxD对应的函数值时当对应的函数值时当它的定义域是一个分段函数yxOxy2xy 112.函数的几种特性函数的几种特性(1).函数的有界性函数的有界性.,)(DXDxf 数数集集的的定定义义域域为

18、为设设函函数数则则称称恒恒有有使使得得对对任任一一,| )(|,MxfXx 在在就就称称函函数数不不存存在在如如果果这这样样的的有有界界)(,.xfM.上无界上无界X,:)(MXxf对于任意的正数对于任意的正数上无界是指上无界是指在在函数函数.| )(|,11MxfXx 使使得得总总存存在在注注:,M如果存在正数如果存在正数上上在在函函数数Xxf)(2)函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()(21

19、xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()(21xfxf 恒有恒有(3)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,.)(DxDxf如果对于任一关于原点对称的定义域设函数)()(xfxf,.)(,Dxxf如果对于任一为偶函数则称恒成立)()(xfxf.)(,为奇函数则称恒成立xf奇函数奇函数

20、)( xf yx)(xfox-x)(xfy (4)函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个正数如果存在一个正数)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 有有使使得得对对于于任任一一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数反函数反函数,)(:,:1DDffRDff 则则它它存存在在逆逆映映射射单单射射设设函函数数,)(,)(),(1yxfxxyfDfy 满满足足

21、其其中中使使得得对对每每个个.1的反函数为函数则称映射ff),(),(1xfyDxxfy 的的反反函函数数记记成成一一般般地地1, fDf则则它它的的反反函函数数上上的的单单调调函函数数是是定定义义在在若若).(Dfx 注注.)(上的单调函数上的单调函数Df也是也是并且并且在在1, f必定存必定存.,)()(称为中间变量称为中间变量变量变量它的定义域为它的定义域为记作记作构成的复合函数构成的复合函数和和称为由称为由uDgfufyxgu Dxxgfy),(则由下式确定的函数且如果定义域为,)(,.fggDDgDDD的的函数函数的定义域为的定义域为设函数设函数)(,)(xguDufyf 复合函数复

22、合函数)()( ,xgfxgfDx对每一个注：注： 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.例如例如.cot,cot,22xxyvvuuy 可可构构成成复复合合函函数数函函数数4.函数的运算函数的运算:,)(),(2121函函数数的的下下列列运运算算则则我我们们可可以以定定义义这这两两个个的的定定义义域域依依次次为为设设函函数数 DDDDDxgxf:gf ;),()()(Dxxgxfxgf :gf .0)(|,)(;),()()()()( xgxDxxDxxgxfxgfxgxfgf:gf和（差）和（差）积积商商例例11使得及奇函数上的偶函数证明必存在的

23、定义域为设函数),()(),(),()(xhxgllllxf).()()(xhxgxf证证先分析如下：假若先分析如下：假若 这样的这样的g(x)、h(x)存在，存在，使得使得且且).()(),()(),()()(xhxhxgxgxhxgxf ).()()()()(xhxgxhxgxf于是有于是有（1）（2）利用（利用（1）、（）、（2）式，就可作出）式，就可作出g(x)、h(x).这这就启发我们作如下证明：就启发我们作如下证明：).()(21)(),()(21)(xfxfxhxfxfxg 作作则则).()()(21)(),()()(21)(),()()(xhxfxfxhxgxfxfxgxfxhxg 证毕证毕.